河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评理科数学试卷

河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得,所以.故选C.2.已知复数，则（）A.1B.C.D.【答案】A3.已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题得双曲线的渐近线方程为，即.所以，故选B.4.若向量，向量，则（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】由题得,故选A.5.已知命题，命题.若为真命题，且为假命题，则函数的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为假命题,所以函数不是偶函数,故选项B不满足题意.对于选项A，如果满足，则，显然不满足题意，所以选项A不满足题意.对于选项C，如果满足，则，满足题意.对于选项D,如果满足，则所以，而，所以选项D不满足题意，故选C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（）A.31B.52C.D.【答案】B【解析】由三视图可知几何体原图为如图所示的几何体,所以,所以几何体的表面积=52，故选B.7.我国东汉时期的数学名著《九章算术》中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为，鸡的总价为，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的的值分别为（）A.7,58B.8,64C.9,70D.10,76【答案】C【解析】按照程序框图运行，，所以x=9,y=70.故选C.8.已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题得解得：，所以（k∈Z），设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则，．由于方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即，解得，故选D．9.函数与在同一坐标系内的图象不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数的图像,在选项C中,上面的图像是函数的图像,下面的是函数的图像,所以,所以,由题得,因为a<0,所以恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图像，故选C.10.已知是球表面上四点，点为的中点，若,，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知与都是边长为2的正三角形，如图，过与的中心M,N分别作所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心O，在Rt中，∠MEO=60°，,所以OE=2ME=,所以球O的半径,所以求O的表面积为.故选B.........................11.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题得直线AB的方程为即y=x1,设A，联立所以，|AB|=所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.所以该圆E的方程为.所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足∠PDQ，所以，整理得.解之得，故选D.点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了.如果不用数形结合，本题解题会很复杂.12.已知函数，若与的值域相同，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题得所以函数f(x)在（0,1）上是增函数，在（1，+）是减函数.所以，f(x)的值域为.设中，f(x)=t，则，所以y=f(t)与y=f(x)值域相同.因为函数f(x)在（0,1）上是增函数，在（1，+）是减函数，所以所以，故选A.点睛：本题的难点主要是难在转化，与的值域相同如何转化？这里要结合函数的单调性和函数的值域分析.转化的数学思想是高中数学中很重要的数学思想，要理解掌握和灵活运用.函数的分析转化，主要是分析函数的图像和性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数为___________．【答案】【解析】对于,它的通项公式为.所以的系数为2=12.故填12.14.已知不等式组表示的平面区域为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】由题得不等式组对应的可行域如图所示，当直线经过点A(3，4)时，直线的纵截距最大，z最小，且z的最小值为.当直线经过点C（1,0）时，直线的纵截距最小，z最大，且z的最大值为.所以，所以，故填.15.已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点___________对称.【答案】【解析】由题得所以是奇函数，所以函数的图象关于点对称.故填.16.在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为___________．【答案】【解析】由题得由题得所以,当且仅当时取等号.所以的最大值为,故填点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点是得到后，如何求tanA的最大值.转化成利用基本不等式求cosA的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的公差，其前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先通过已知条件求出d的值，再写出数列的通项.(2)第（2）问，先化简，再利用裂项相消求和，最后证明.试题解析：（1）由得，，因为成等比数列，所以，即，整理得，即，因为，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以，所以.18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码年份.（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：，，，【答案】(1)预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元，(2)以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用公式求出线性回归方程，再根据线性回归方程预测.(2)第（2）问，先完成2×2列联表，再求出的观测值，最后下结论.试题解析：（1）由题意得，，所以，所以，所以关于的线性回归方程为.由于，所以当时，，所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.（2）由题可得列联表如下：故的观测值，由于，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，.（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)棱上不存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】试题分析：（1）第（1）问，把平面平面平面(2)第（2）问，先利用向量法得到直线与平面所成角的方程，再探究方程的解的情况，从而得到解答.试题解析：（1）因为四边形是平行四边形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，如图，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则由，，可得，所以，假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，，设平面的法向量为，则,即，令，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，整理得，因为，所以，故无解，所以棱上不存在与点不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为.20.已知椭圆的离心率，且椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在定点，使得直线恒过点【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于a,b的一个方程组，再解方程组即可.(2)第（2）问，对直线的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线DE的方程，再判断其方程是否过定点.试题解析：（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，所以直线与圆的一个交点在椭圆上，所以，由解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入得，，所以，即.设，则，因为直线与直线的斜率之和为，所以，整理得，所以直线的方程为，显然直线经过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，因为直线与直线的斜率之和为，设，则，所以，解得，此时直线的方程为，显然直线经过定点.综上，存在定点，使得直线恒过点.点睛：本题的关键是计算，先要把直线DE的方程和椭圆的方程联立，得到比较复杂的韦达定理，再把韦达定理代入=，化简得到,计算量比较大，如果计算出错，则结果出错.所以我们在计算时要认真细心.21.已知函数.（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于.【答案】(1)函数在上单调递増(2)见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性.(2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.试题解析：（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递増.（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于.点睛：本题的难点在后，要证明f(t).这时，要再构造函数，求它的单调性和最值，从而找到突破口.在导数解答里，构造函数是一个常规技巧，我们要理解掌握和灵活运用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若是曲线上两点，求的值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再把普通方程化成极坐标方程.(2)第（2）问，先根据已知条件求出，再代入化简求值.试题解析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，即，由，可得曲线的极坐标方程为，因为曲线经过点，所以，解得(负值舍去