2022年北京市燕山地区九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′＝BB′，A′B′＝2，则AB的长为（）A．1 B．2 C．4 D．82．如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（）A． B． C． D．3．下列两个图形，一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形C．两个等边三角形 D．两个矩形4．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他升高了（）A． B． C． D．5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B． C． D．7．如图，A，B是反比例函数y=图象上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC＝BD＝OC，S四边形ABCD＝9，则k值为（）A．8 B．10 C．12 D．1．8．如图，PA与PB分别与圆O相切与A、B两点，∠P=80o，则∠C=（）A．45 B．50 C．55 D．609．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（）A．5m

B．2m

C．5m

D．10m10．已知Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=11．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是()A． B． C． D．312．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠BAD=70°，则∠ADC等于（）A．50° B．55° C．65° D．70°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为__________．14．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心画圆，与轴交于；两点，与轴交于两点，当时，的取值范围是____________.15．数据2，3，5，5，4的众数是____．16．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)17．如图是拦水坝的横断面，斜坡的高度为米，斜面的坡比为，则斜坡的长为________米．（保留根号）18．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第_____象限．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算：|1﹣﹣2cos45°+2sin30°（2）解方程：x2﹣6x﹣16＝020．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．21．（8分）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、.（1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标；（2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出、之间的数量关系式；（3）若、为动点，与是否相似？为什么？22．（10分）阅读材料，解答问题：观察下列方程：①；②；③；…；（1）按此规律写出关于x的第4个方程为，第n个方程为；（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．23．（10分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为多少步．24．（10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？25．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．①求点H的坐标；②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．26．已知函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1（m≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；（1）当m＞0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1图象截x轴上的线段长度小于1．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据位似图形的对应边互相平行列式计算，得到答案．【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴A′B′∥AB，∴△PA′B′∽△PAB，∴＝＝，∴AB＝4，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．2、A【解析】连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.【详解】连结BE，∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，∴点E是△ABC的内心，∴BE平分∠ABC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，∵，∴AD=BD，如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，∠BDO＝∠ADO＝45°，在CD的延长线上，作DF＝DA，则∠AFB＝45°，即∠AFB+∠AEB＝180°，∴A、E、B、F四点共圆，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DE＝DA＝DF，∴点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，则点C的运动路径长为：，DA＝R，点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，C、E两点的运动路径长比为：，故选A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.3、C【解析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可；所应用判断方法:两角对应相等，两三角形相似.【详解】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，

∴两个等边三角形一定相似，

故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、A【分析】根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x，AC=2x，根据AB=1000m，利用勾股定理求解．【详解】解：根据题意作出图形，∵坡度为1：2，∴设BC=x，AC=2x，∴，∵AB=1000m，∴，解得：，故选A.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形然后求解．5、D【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.6、D【解析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，∵C为的三等分点，∴的度数为60°，∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形，∵Q为OA的中点，∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,∴OQ=,由勾股定理可得，CQ=,∵D为AP的中点,∴OD⊥AP，∵Q为OA的中点，∴DQ=,∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为.故选D【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.7、B【分析】分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝OD•t＝t•5t，则OD＝5t，所以B点坐标为（5t，t），于是AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，再利用S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB得到•5t•5t﹣•4t•4t＝9，解得t2＝2，然后根据k＝t•5t进行计算．【详解】解：分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，∵A，B是反比例函数y=图象上两点，∴k＝OD•t＝t•5t，∴OD＝5t，∴B点坐标为（5t，t），∴AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，∵S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB，∴•5t•5t﹣•4t•4t＝9，∴t2＝2，∴k＝t•5t＝5t2＝5×2＝2．故选：B．【点睛】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．8、B【分析】连接AO，BO，根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°，根据∠P=80°得出∠AOB=100°，利用圆周角定理即可求出∠C．【详解】解：连接AO，BO，∵PA与PB分别与圆O相切与A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=80°，∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，∴∠C=，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容．9、B【详解】解：由题意得：BC：AB=1：2，设BC=x，AB=2x，则AC===x=10，解得：x=2．故选B．10、D【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．【详解】∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，∴AB＝，A、sinA＝，故此选项错误；B、cosA＝，故此选项错误；C、tanA＝，故此选项错误；D、tanB＝，故此选项正确．故选：D．

【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．11、A【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=.故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.12、B【解析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=90°，即可求得∠ADB=20°，再由圆内接四边形的对角互补可得∠C=110°，因，即可得BC=DC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BDC=∠DBC=35°，由此即可得∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．【详解】解：连接BD，∵AD是半圆O的直径，∴∠ABD=90°，∵∠BAD=70°，∴∠C=110°，∠ADB=20°，∵，∴BC=DC，∴∠BDC=∠DBC=35°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据题意分别求出A,B,D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式，从而找到顶点，即可找到OE的高度．【详解】根据题意有∴设抛物线的表达式为将A,B,D代入得解得∴当时，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握待定系数法是解题的关键．14、【解析】作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC.当CD=6和CD=时在中求出半径MC,然后在中可求的值，于是范围可求.【详解】解：如图1，当CD=6时，作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC，∵，∴ME=4,MF=3,∵ME⊥CD,CD=6,∴CE=3,∴,∴MA=MC=5,∵MF⊥AB,∴==,如图2，当CD=时，作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC，∵，∴ME=4,MF=3,∵ME⊥CD,CD=,∴CE=,∴,∴MA=MC=8,∵MF⊥AB,∴==,综上所述，当时，.故答案是：.【点睛】本题考查了三角函数在坐标系和圆中的应用，作辅助线构造直角三角形利用垂径定理求出半径是解题的关键.15、1【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故答案为：1．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．16、<【解析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.【详解】当时，，当时，，，即，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.17、【分析】由题意可知斜面坡度为1：2，BC=6m，由此求得AC=12m，再由勾股定理求得AB的长即可.【详解】由题意可知：斜面坡度为1：2，BC=6m，∴AC=12m，由勾股定理可得，AB=m．故答案为6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度构造直角三角形是解决问题的关键．18、一【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）1；（1）x1＝8，x1＝﹣1【分析】（1）根据二次根式的乘法、加减法和特殊角的三角函数值可以解答本题；（1）根据因式分解法可以解答此方程．【详解】（1）|1﹣|+﹣1cos45°+1sin30°＝﹣1+1﹣1×+1×＝﹣1+1﹣+1＝1；（1）∵x1﹣6x﹣16＝0，∴（x﹣8）（x+1）＝0，∴x﹣8＝0或x+1＝0，解得，x1＝8，x1＝﹣1．【点睛】本题考查解一元二次方程、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．20、（1）；（2）1．【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【详解】（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=米，BE=CE•tanβ=×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=1（米）答：乙建筑物的高度DC为1m．21、（1）、、；（2）；（3），证明详见解析.【分析】（1）先利用A,B两点求出两个反比例函数的解析式，然后根据C点与A点纵坐标相同，D点与B点横坐标相同即可得到C,D的坐标，然后P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同；（2）分别把A,C的坐标表示出来，再利用菱形的性质和点P的坐标即可求出答案；（3）设点的坐标为，分别表示出点A,B,C,D的坐标，求出的长度，能够得出，所以【详解】（1）解：∵点在上，点在上∴∴∵轴，轴∴A,C的纵坐标相同，B,D的横坐标相同，点P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同∴当时，代入到中得，∴点当时，代入到中得，∴点∴，，（2）∵点的坐标为∵轴，轴∴A,C的纵坐标与点P的纵坐标相同当时，代入到中得，∴点当时，代入到中得，∴点∵四边形是菱形∴∴∴（3）解：证明：设点的坐标为则点的坐标为、点的坐标为点的坐标为、点的坐标为，，，，即又【点睛】本题主要考查反比例函数和相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.22、（1）9，2n+1；（2）2n+1，见解析【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．【详解】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．（2）x+＝2n+1，观察得：x1＝n，x2＝n+1，将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x＝n是方程的解；将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，则经检验都为原分式方程的解．【点睛】本题主要考查的是分式方程的解，根据所给方程找出规律是解题的关键．23、【分析】根据平行证出△CDK∽△DAH，利用相似比即可得出答案.【详解】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴，即，∴CK=答：KC的长为步．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的应用，难度适中，解题关键是找出相似三角形.24、（1）；（2）当销售单价定为74元或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）根据题意结合每周获得的利润W=销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；【详解】解：（1）依题意有：；

（2）依题意有：

W=（80-50-x）（10x+160）===-10（x-7）2+5290，

因为x为偶数，

所以当销售单价定为80-6=74元或80-8=72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润=W得出函数关系式是解题关键．25、（Ⅰ）a＝﹣，抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H的坐标为（2，6）；②证明见解析.【分析】(I）根据该抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），可