高中数学选择性必修一课件：3 1 2 第二课时 椭圆的方程及性质的应用(人教A版)

第二课时椭圆的方程及性质的应用课标要求素养要求1.巩固椭圆的简单几何性质.2.会判断直线与椭圆的位置关系.3.能利用弦长公式解决相关问题.通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.问题如何求解椭圆上的点到其焦点的最大距离和最小距离？1.点与椭圆的位置关系＝<>2.直线与椭圆的位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交______解Δ______0相切_____解Δ_____0相离_____解Δ____0两>一＝无<3.弦长公式利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式拓展深化[微判断]×√1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(

)提示因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.√[微训练][微训练]消y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，[微思考]1.直线与椭圆有几种位置关系？

提示有三种位置关系：相离、相切、相交.2.求直线被椭圆截得的弦长的一般步骤是什么？

提示(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2；(5)代入弦长公式求得弦长.题型一直线与椭圆位置关系的判断【例1】当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件： (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；(2)当Δ>0时，得－5<m<5，此时直线l与椭圆有两个公共点；(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.规律方法判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.题型二直线与椭圆的相交弦问题【例2】在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.解法一如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).规律方法研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.由于AB的中点恰好为P(4，2)，即x＋2y－8＝0.题型三最短距离问题并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0得m2＝16，∴m＝±4，规律方法本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.【训练3】已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.2.解决直线与椭圆的综合问题，需要正确地应用转化思想、数形结合思想，经常利用设而不求的方法，利用一元二次方程根与系数的关系解决，其中要注意根的判别式.二、素养训练答案DA.(－2，0) B.(0，1)C.(2，0) D.(0，1)或(0，－1)A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.答案B故|AB|＝1.故选C.答案C所以c2＝3，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，∴b>c，∴a2>2c2，三、审题答题(示范四)与椭圆有关的综合问题(1)求椭圆的方程；(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值④.联想解题满分心得椭圆中的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题；(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定函数的取值范围；④利用基本不等式求出函数的取值范围；⑤利用函数值域的求法，确定函数的取值范围.备用工具&资料满分心得椭圆中的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目中的条件和结论明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题；(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定函数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3.弦长公式利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式拓展深化[微判断]×√1.若直线的斜率