高中数学选择性必修3课件：7 5 正态分布(人教A版)

7.5正态分布1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.理解正态曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响.课标要求素养要求通过本节的学习，使学生了解正态分布的特征，能够利用正态曲线分析实际问题，提升数学抽象、数学建模及数据分析素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.正态曲线函数f(x)＝__________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数.显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为

.我们称f(x)为

，称它的图象为正态密度曲线，简称

.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从

，记为X～

N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，

时，称随机变量X服从标准正态分布.1正态密度函数正态曲线正态分布σ＝12.正态曲线的特点x＝μ若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝

____，D(X)＝______.3.正态分布的期望与方差μσ24.正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________________；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________________；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.0.68270.95450.9973点睛(1)正态曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；(2)正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形面积为1；(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

1.思考辨析，判断正误×提示

函数中σ的意义为标准差.(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(

)提示

正态曲线与x轴围成的面积为定值1.×1.思考辨析，判断正误×提示

函数中σ的意义为标准差.(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(

)提示

正态曲线与x轴围成的面积为定值1.×(3)正态曲线可以关于y轴对称.(

)(4)正态分布定义中的式子实际上是指随机变量X的取值在区间[a，b]上的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(

)√√C3.设随机变量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),则c等于(

) A.0 B.σ C.－μ D.μD解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.4.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于__________.2解析∵X～N(2，9)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，课堂互动题型剖析2课堂互动题型剖析2题型一正态曲线的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差.思维升华解由于该正态密度函数是一个偶函数，【例2】设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1≤X≤3)；题型二利用正态分布的对称性求概率解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3≤X≤5).解∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，【迁移1】

(变换所求)例2条件不变，求P(X≥5).【迁移2】

(变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(

) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2C解析∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.思维升华【训练2】

设X～N(1，1)，试求： (1)P(0<X≤2)；解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(2<X≤3)；解∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，(3)P(X≥3).解∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？题型三正态分布的实际应用解由于外直径X～N(4，0.52)，则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]，即[2.5，5.5]之内取值的概率为0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.0027，而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.思维升华【训练3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，则该班成绩在90分以上的同学有多少人？

解∵成绩服从正态分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%.

设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.1.牢记4个知识点 (1)正态曲线的概念； (2)正态曲线的特点； (3)正态分布的期望与方差； (4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率.2.掌握3种方法 (1)利用图象求正态密度函数的方法； (2)利用正态曲线的对称性求概率的方法； (3)利用“3σ”法求正态总体在某个区间内取值概率的方法.3.注意1个易错点

正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(

) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15C解析P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.2.某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm，9.3cm，则可认为(

) A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常

解析因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，

记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3∉I.故选A.A3.设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(

) A.3 B.4 C.5 D.6

解析因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.B4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

)C附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.2386 B.2718 C.3414 D.4772解析由P(－1≤X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，则阴影部分的面积为0.34135，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×0.34135≈3414.5.设X～N(1，σ2)，其正态密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分点的个数的估计值为(

)B附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.12076 B.13173C.14056 D.7539解析由题意得，P(X≤－1)＝P(X

≥3)≈0.02275，∴P(－1<X<3)≈1－0.02275×2＝0.9545.∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，故估计落入阴影部分的点的个数为20000×(1－0.34135)＝13173.二、填空题6.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝__________.7.设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2<X<4)＝__________.1－2p即P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p.8.某市有48000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有__________人.16385三、解答题9.设X～N(3，42)，试求： (1)P(－1≤X≤7)；解∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(7≤X≤11)；解∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，(3)P(X＞11).解∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长但不拥挤，到达时间X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？

解还有7分钟时：

若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率因为P1<P2，所以应选第二条路线.同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)BC解析由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正确；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正确，D错.10.135913.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：14.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分)，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)，已知P(X<75)＝0.3，P(X>95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学. (1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80，85)，(85，95)，(95，100)内各有一位同学的概率；解P(80<X<85)＝0.5－P(X<75)＝0.2，P(85<X<95)＝0.5－0