2020-2021学年新题速递高二数学19 空间向量与立体几何（填空题）12月理（解析版）

专题19空间向量与立体几何(填空题)

一、填空题

1.若日=(1,1,0),五=(—1,0,2),则与n+5共线的单位向量是.

【试题来源】山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】±„半

I55)

【解析】5=(1,1,0),^=(-1,0,2),@+6=(0/,2),

所以修+均=VO2+12+22=小，根据单位向量的关系式。=土卫《，

\a+b\

可得单位向量。=土。，乎，2^].故答案为士0,-^-,—^-.

2.己知向量£=(一2,3,1),6=(1,-2,4),则£+B=.

【试题来源】广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末

【答案】(TL5)

【解析】因为£=(-2,3,1),3=(1,一2,4),所以1+1=(一1』,5).故答案为(TJ5).

3.在平行六面体ABC。—A'B'C'D中，ABAD=ZAAB=ZAAD=6()°,AB=3,

AD=4,A4'=5,则AC'=.

【试题来源】北京市人民大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学阶段检测

【答案】V97

【解析】由平行六面体的特征可知/;二通+而+疝，所以

画『=(而+而+而)2=病+而QE+2而.而+2时而+2昉而

=9+16+25+2x3x4x—+2x3x5x—+2x4x5x—=50+12+15+20=97.

222

所以AC'=历，故答案为历.

4.己知£=(—2,3,/〃)，^=(2,-1,1),若£_L人则实数机的值为.

【试题来源】江苏省盐城中学2019-2020学年高二上学期期末

【答案】7

【解析】因为aJ_5，所以a/=On—2x2+3x(—1)+机=0,解得加=7.故答案为7.

5.在正四面体P-ABC中，棱长为2,且E是棱AB中点，则庵.觉的值为.

【试题来源】广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期月考(一)(理)

【答案】-1

【解析】由题意，设丽=£,丽=瓦方="，建立空间的一个基底丘瓦"},

在正四面体中巫=，(£+»),33=2—

2

.1__]____,,2

所以PE-BC--(a+b')-(c-b)=—(a-c—a-b+b-c-h)

22

=-^(2x2cos60°-2x2cos60°+2x2cos600-2x2)=一1.

6.在平行六面体ABC。一AAG。中，ZBA4,=ZDAA,=ZBAD=60°,且所有棱长均

为2,则对角线AG的长为.

【试题来源】山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试

【答案】2灰

【解析】AB-AD=2x2xcos60°=2-福•湎=2x2xcos60'=2,

AD-例=2x2xcos60=2.

2/\2222

.•.福=(而+通+同一=而一+昉+福一+2被砺+2丽・福+2而•丽=24

4G=|砌=2的

7.在三棱锥P-ABC中，24_L底面ABC,AB±BC,PA=3,AB=6，BC=2,

若E,尸是PC的三等分点，则异面直线AE与8户所成角的余弦值_________.

【试题来源】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考(理)

237301

【答案】

602

【解析】如图所示：以AB为％轴，AP为z轴，平面ABC内垂直于AB的直线为＞轴建

立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,8（百,0,0）,C（/2,0）,尸（0,0,3）,

—■1——2—.则E伸1,2’264

PE=-PC,PF=-PC,

33

33\7

则荏得10旃"甘,契

23

23y/301

则cos（荏，乔卜=-广乡l

网网舟棒602

故异面直线AE与M所成角的余弦值为生叵.故答案为23师

602602

8.在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为

Ax+By+Cz+D=O(A,B,C,DeR,A2+B2+C2*0)，点P(如为为)到平面a的距

I+By。+Cz0+£)|

离1=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面

VA2+B2+C2

的距离等于__________

【试题来源】山东省枣庄三中2020-2021学年高二年级10月份质量检测考试

【答案】正

5

【解析】如图，以底面中心0为原点建立.空间直角坐标系。一孙z,

则0（0,0,0）,A（l,1,0）,B（-l,1,0）,P（0,o,2）,

设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,

A+B+D=0

将尸坐标代入计算得，—A+B+O=0,解得4=0，B=—D，C=--D,

2C+O=0

:.-Dy--Dz+D=0,即2y+z-2=0,,4==拽.故答案为遗

'2-74+155

9.已知结论：在平行四边形ABC。中，有而=丽+无力，且此结论可以推广到空间，

即在平行六面体ABC。-A&GR中，有数;=通+通+区.某结晶体的形状为平行六

面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为2,且它们彼此的夹角都是y,则其体对角线4c

的长度是__________

A

【试题来源】河北省巨鹿中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】2夜

【解析】根据空间向量的运算法则，可得率=而+4瓦+A瓦

2

则对=（4A+福'+病'）2

----*2—--♦2»2.►——..一♦.

=（4A+A]B[+A。]+244耳+2AA•AZ）1+2Ag•A。1）

=4+4+4+2x2x2x（—；）+2x2x2x（—；）+2x2x2x；=8.所以町|=2立

10.空间直角坐标系中，已知A（2,3,-1）,8（2,6,2）,C（1,4,T）,则直线AB与AC的夹

角为.

【试题来源】江西省宜春市期末统考高二年级数学试卷（理）

【答案】60°

【解析】因为丽=(0,3,3),北=(-1,1,0),所以福.於=3，|通|二3夜,］恁卜夜，

则由向量的数量积公式可得直线AB与AC的夹角的余弦为cos(AB,/)=言=:，故

直线AB与AC的夹角为60,，应填答案60.

11.如图，平行六面体ABCD-AiBiGDi中，|ABRA£)|=|A4j=l,ZBAD=ZBAAi

=120°,ZDAAi=60°,则线段AG的长度是.

【试题来源】吉林省白城市济北区第一中学2019-2020学年高二上学期期中(理)

【答案】行

【解析】VAQ=AB+AD+AA^,

AQ2=AB+AD+AA^+2AB-AD+2AB-AJ\+2彷羽

—

=l+l+l+2xlxlx+2x1x1x(—)+2xlxlx—=2>AC}=V2,故答案为'\/^'.

12.已知在空间四边形043。中，砺=瓦砺=反反点M在。4上，且OM=3M4,

N为BC中点、,用Z,瓦"表示丽，则丽等于

【试题来源】山东省烟台市高二上学期期末考试数学(理)

31-1

【答案】ClHbHC

422

【解析】如图：:MN=ON-OM,ON=^(OB-OV),

,-,MN=-(OB+OC)--OA=--a+-b+-c.

24422

一3一1一一

13.O为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，iLOP=-OA+-OB+tOC,若P,A,

48

B,C四点共面，则实数r=

【试题来源】海南省文昌中学2019-2020学年高二上学期第二次月考

【答案】|

O

―-3—►1—•—►

【解析】P，A，B,C四点共面，且。P=一。4+—。8+，。。，

48

3111

：+弓+，=1,解得，二6.故答案为

4OOO

14.已知空间中两点A(—5(—2,2,3),在。轴上有一点C到A、B两点距离

相等，则C点坐标为.

【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】fo,o,1

\2J

【分析】设点。的坐标为(0,01),利用空间中两点间的距离公式结合=忸。可求得r

的值，进而可求得点C的坐标.

【解析】设点C的坐标为(0,0"),由于|47|=忸。|,

则{32+产+(_1)2={22+(_2/+(/_3)2，整理得2，-3=0,解得f=T，

因此，点c的坐标为(o,o,故答案为(o,o,

15.若直线/的方向向量为*=(1,0,2).平面。的法向量为力=(—2,0,—4)，则直线/与平

面a的关系为.

【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】Ika

【解析】因为么=_21，所以2//7，因此故答案为

16.已知点A(x,1,2)和点3(2,3,4),且AB=2指，则实数x的值是.

【试题来源】江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020学年高一下学期5月检测

【答案】6或-2

【解析】已知点A(x,1,2)和点8(2,3,4),所以=J(x—2)2+(1-3)2+(2-4)2=2卡,

E|J(X-2)2=16,解得x=6或％=-2,故答案为6或-2.

17.若空间向量2=(1,—1,0),^=(-1,2,1),2=(24,加)共面，则〃?=.

【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研

【答案】3

【分析】空间向量3=(1,-1,0)，B=(T,2,1),2=(2,1,加)共面，可得存在实数X,〃

使得；、=丸)+〃力，利用向量的线性运算与向量相等即可得出.

【解析】•••空间向量2=(1,—1,0)，S=(-1,2,1),"=(2,1,相)共面，

2=A-//

二存在实数4,4使得建心+1=-4+2〃，解得机=3.故答案为3.

m=4

18.在空间直角坐标系。一邙中，点”是xOy平面内的直线x+y=2上的一点，若点M

到点N(6,4,l)的距离最小，则点M的坐标为.

【试题来源】安徽省六安市第•中学2020-2021学年高二上学期第一次段考(理)

【答案】(2,0,0)

【分析】由题可设M(x,2—羽0),则阿N|=J(x-6)?+(2-x-49+1,利用二次函数

求最小值，即可得取最小值时点M的坐标.

【解析】由题可设M(x,2-x,0),

则|MN|=^(%-6)2+(2-%-4)2+1=^2(%-2)2+33，

所以当x=2时，|刚取最小值，此时点M坐标为(2,0,0).故答案为(2,0,0).

19.在正方体ABCD-AB£R中，则直线BC,与平面AtBD所成角的正弦值为

【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】&

3

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

设该正方体的棱长为1,所以0(0,0,0),5(1,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),

因此丽=(1,1,0),3c=(T，°，D，必=(1，°，1)，设平面A18。的法向量为G=(x,y,z),

nlDBn-DB=0x+y=O

所以《___=><__=>令九=1,所以y=z=-l,

n_LDA,n-D\=0x+z=0

因此3=（1,-1,一1）,设则与［的夹角为a,直线BG与平面48。所成角为

所以有sin9=|cosa

20.如图所示，在长方体ABCD—4B|CQ|中，。为AC的中点.用AB,AD,AA,表示0匕，

则OC}=-----------

【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

【答案】^AB+^AD+AA^

【解析】因为阮=；恁=3（.片+击），

所以西=无+兀=（（丽+而）+丽=g通+；而+羽.

故答案为有+g加+丽二

21.在正四棱锥S-ABCD中，0为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且

SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.

【试题来源】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末

【答案】30。

【解析】如图所示，以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

设OD=SO=OA=O8=OC=a(a>0),则A(a,0,0),8(0,a,0),CLa,0,0),P(0,-|-,|).

则CA=(2a,0,0),AP=(—a,——,—),CB=(«,a,0).

设平面PAC的法向量为］,则3J.AP,n±CA,

2ax=0

即“aa八，得x=0，令y=1,则z=1，；.〃=(0,1,1)，

—ax—y+—z=0

.x2

CBn_a_1

则cos<CB,n〉=所以〈区,3>=60。.

\CB\\n\~>/2->j2a~2

所以直线BC与平面B4C所成的角为90°-60°=30°.故答案为30。.

22.如图，在三棱锥V—A5C中，顶点。在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B,V分

别在x,z轴上，。是线段A3的中点，且AC=BC=2,当NV<DC=60。时，异

面直线AC与VD所成角的余弦值为.

【试题来源】人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试

【答案】叵

4

【解析】由题意，4(2,0,0),3(0,2,0),C(0,0,0),D(l,l,0),

当NVDC=60°时，在用△VDC中，CD=叵,VC="，VD=2五,

所以叭0,0,遥），所以恁=（一2,0,0）,所以cos〈正，口＞=।卷,篇］=—孝,

所以异面直线AC与⑺所成角的余弦值为也.故答案为也.

44

23.四棱柱ABC£＞—A6IC|D|中，ZA,AD=ZDAB=60°,AtA=AB=AD=1,则

AC,=.

【试题来源】平顶山市高二上学期期末调研考试数学（理）

【答案】＞/6

【解析】AQ=AB+AD+X\,所以

+2(ABAD+ADA^+ABA^^

l+l+l+2Hxlx-x3j=V6,故填卡.

24.在正四面体P—ABC中，M是K4上的点，且PM=2M4，N是BC的中点，若

MN=xPA+yPB+zPC,则x+》+z的值为

【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高二下学期期末

【答案】；

由空间向量基本定理得X=—2,y=-,z=-.故x+y+z=J.故答案为

32233

25.已知直线a,£>的方向向量分别为加=(4,攵，左一2)和〃=(%,%+3,6),若a//b，则％=

【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】6

4kk-1

【解析】因为a//b,所以7=/二=<一，解得&=6,故答案为6.

kk+36

【名师点睛】本题考查根据空间向量的共线关系求解参数，难度较易.已知

=_L

a=(xi,yi,zl),b=(x2,y2,z2)(xix2yly2ziz2^0),若Z//B，^-=-.

X2必Z2

26.已知点P(2,3,-1),则点P关于坐标原点对称点的坐标为.

【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】(-2,-3,1)

【分析】点(a,b，c)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b,-c).

【解析】点尸(2,3,-1),则点尸关于坐标原点对称点的坐标为(-2,-3,1).

27.己知£=(4,一2,6),6=(-1,4,一2),"=(4,5,2),若B，)三向量共面，则；1=

【试题来源】山东省滨州市博兴县第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】5

【解析】a>b>c三向量共面，则存在列“，使得c=/〃a+〃方，

3

m--

4m-n=42

则c=（4,5,A）=（4m—〃,一2m+4〃,6m-2〃），即<-2m+4n=5,解得<〃=2

6m-271=22=5

故答案为5.

—>—>―>_、、、

28.已知Q=（—2,1,3）,b=（3,—4,2）»c=（7,2,5）»若b9c共面,则实数4=

【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

123

【答案】

13

【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数X的值.

【解析】由a=(—2,1,3)，8=(3,—4,2)，c=(7,几,5)，旦〃，」共面，

所以存在实数〃?，n,使得最=加£J，即(7,4,5)=加(一2,1,3)+〃(3,<2),

-2m+3〃=7

131131123

列方程组，得〈机一4〃=%,解得加=一,n=一：所以4=---4x—=-----.

ccu1313131313

3m+2〃=5

29.己知之=(几+1,0,2)，1=(6,2〃-1,22)，若力/。且;与］反向，则』+〃=

【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】-2

2

k(4+1)=6

【分析】根据题意可设了=上［，且k<0,然后可得出<2〃-1=0,根据人解出入，4即

w=2几

可得出；1+〃的值.

【解析】因为：//］,且:与］反向，所以设％=k<0.

4(2+1)=6k=~3

所以(6,2//-1,24)=%(/1+1,0,2),所以修以一匚。,因为k<0,所以=g,

2k=2Z

z——j

所以X+〃=—.故答案为—.

22

x-3y+z+l=0

30.空间坐标系中，过点尸(2,1,1)且与直线、二c.八垂直的平面方程为

3x-2y-2z+l=0

【试题来源】广东省中山市华侨中学港澳台班2019-2020学年高二上学期期末

【答案】8x+5y+7z-28=0

【分析】设两条直线的方向向量分别为1=(L—3,1),£=(3,—2,—2),设平面的法向量为

3=(x,.y,z),根据=0,■%■=(),即可求出平面的法向量3,从而可得所求平面方程.

【解析】设两条直线的方向向量分别为1=(1,一3,1),1=(3,-2,-2),设所求平面的一个

8

x--y

n-e=0x-3y+z=Q5

法向量为n=(x,y,z)则山”]即＜；,令y=5,得

n-e=03x—2y—2z=0

2z=­y

5

x=8，z=7,所以3=(8,5,7),故所求平面方程为8(x—2)+5(y-l)+7(z—1)=0,

即8x+5y+7z—28=0.故答案为8x+5y+7z—28=0

31.如图，E是棱长为2的正方体的棱A4的中点，尸为棱AB上的一点，且NGE尸=90。，

则线段AF的长为

【试题来源】浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】《

【解析】由题意：以点。为原点，建立空间直角坐标系，如图，并设=

则E(2,0,l),F(2,r,0),Cj(0,2,2),则而=(0/—1)，星=(—2,2,1)

因为NGEF=90°,所以乔_L骂，则方•骂=0,

所以〃一1=0,解得r=，,所以线段A尸的长为

22

32.在直三棱柱ABC-AAG中，AC=3,3C=3,AB=3j5,AA=2,则异面直线4。

与BG所成角的余弦值为.

【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测

4

【答案】—

13

【分析】先由题意可得C4、CB、两两垂直，以。点为坐标原点，以CA、CB、CC1方

向分别为4轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出直线与BG的方向向量，根据

向量夹角余弦值即可得出结果.

【解析】因为AC=3,3C=3,A3=3j5,所以角C为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂

直，所以CA、CB、两两垂直，以C点为坐标原点，以CA、CB、C6方向分别为x轴,

y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(0,0,0),G(0,0,2),4(3,0,2),8(0,3,0),

所以冠=(—3,0,—2),Bq=(0,-3,2),设异面直线4。与BG所成角为夕，

则cos6=cos(存明)|=当驾=^义?=《故答案为土

\71|AC||BC,|V974XV9741313

33.已知三棱柱ABC—A4cl的所有棱长均为2,侧棱底面A8C,若£厂分别是

线段8片，AG的中点，则异面直线4E与。尸所成角的余弦值是

【试题来源】衢州市、湖州市、丽水市2020-2021学年高三上学期II月教学质量检测

【答案】|

【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，求得向量荏,方的坐标，然后由

\AE-CF\

COS一।求解.

阿w

【解析】建立如图所示空间直角坐标系:

则A（0,0,0）,E（G』,l）,C（0,2,0）/（0,l,2）,所以近=（6,1,1）,#=（0,7,2）,

所以H荏同卜给=焉《故答案为、

34.已知a=(l,3,〃z),B=(2〃,6,-4),若£//B，则£/=

【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（-）

【答案】28

【分析】由Z//B可建立关系求出〃?，〃，再根据坐标即可求出£4.

1372Z

【解析】由题知一=一=—,所以〃=1,加=一2,

2〃6T

则0.b=lx2+3x6+(—2)x(-4)=28.故答案为28.

35.在空间直角坐标系中，若三点4(1,-1,4),仇2,00),(?(1,4,-2)满足：

则实数a的值为.

【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试

【答案】—9

【分析】先根据点的坐标得到A"的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为

零计算出。的值即可.

【解析】由题意/=(l,a+l,_0,/=(0,0+1,_2_〃),庭=(_1,0,_2)，

所以(42公)应=(l,_a_lM+4).(_l,0,_2)=_l_2(a+4)=_2a_9=0，

99

解得a=—.故答案为-；

22

36.在长方体A8CO-AgCA中，A&=A5=2,AO=1,点居G分别是A6,CG的中

点，则点Q到直线GF的距离为.

【试题来源】北京科技大学附属中学2020—2021学年高二上学期数学期中试题

…V42

【答案】--

3

【解析】如图，以。为原点，£)A为x轴，。。为V轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则〃(°，0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),FDf=(-1,-1,2),FG=(-1,1,1)，

二点2到直线G尸的距离：E用卜卜悬缁厂向卜岛:华・

点D,到直线GF的距离为—.故答案为—.

33

【名师点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是（1）观察图形，建立恰当的空间直

角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，

利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系;

（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

37.如图，平行六面体ABCD-A.B^D,中，AB=AD=AA]=],

ZBAD=ND4A=NR4A=60"，则BD}=

【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考

【答案】V2

【分析】用基底表示出国，然后利用向量数量积的运算，求得|瓯"I.

【解析】因为闲'=必—而=屈+羽—与，

2

所以西之=（而+丽_AB）=AD+丽之+AB+2而.丽-2AD，AB-2丽•拔

=1+1+1+2XCOS600-2XCOS600—2xcos600-2-所以BD=\BD]|=\[2.

38.若向量2=（1",4）,B=（—2,1,1）,Z，b夹角为钝角，则丸的取值范围是.

【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研

【答案】（一℃,一77）。（—不1）

22

【分析】根据向量£与坂的夹角为钝角，则7B<o,求得7的范围，在将♦与B共线旦反向

的情况排除即可.

【解析】因为向量公与坂的夹角为钝角，所以£4=（1,4，）•（—2,1,1）=-2+2/1<0,

解得;1<1.当Z与坂共线时，设2=&坂（K0）,可得，:一）,，解得

即当x=—；时，向量々与B共线且反向，此时£石<0，但々与B的夹角不是钝角.

综上：入的取值范围是—故答案为（—8,-；）口（一；,1）

39.己知南垂直于正方形ABCQ所在的平面，M,N分别是CQ,尸C的中点，并且以=

AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN=.

【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破

【答案】叵

2

【解析】连接尸。，因为M,N分别为CD,PC的中点，

所以MN=gp。，乂尸（（），0,1）,0（0,1,0）,

所以PD=J（）2+（一]/+]2=正，所以MN=+~.

40.已知在长方体ABCD-AIBIGDI中，AB=BC=1,AAi=2,E是侧棱BBi的中点，则直线

AE与平面AIEDI所成角的大小为.

【试题来源】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期末（理）

【答案】90

【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE的方向向量为后=（0,1,

1）和平面AIEDI的法向量n=（0,1,1）,然后利用向量的共线可得直线AE与平面AFDi垂直,

于是得所求角为90.

【解析】以。为原点，以D4,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),E(l,1,1),4(1,0,2),D1(O,0,2),

于是衣=（0，1，1），乖=（0，1,-1），g=Gl，0,0）.

设平面4ED1的法向量为〃=（x,y,z）,

n-AE=y-z=0,[y=z,i/、

则＜2—7八得「八令z=l，得〃=（0,U）.

n-A.D,=-x=0,[x=0,v7

所以工豆〃7,故直线AE与平面垂直，即所成角为9（）。.故答案为90。

【名师点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，

解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由

于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性.

41.已知如图，PA.PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面也C

所成角的正弦值为.

B

【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试

6

【解析】PA.PB、PC互相垂直，以P为坐标原点，PA.PB、PC分别为x,y,z轴,

/方

设尸A=2,则平面朋C的法向量可以为力=（2,0,0）,£（1,0,1）,C（0,2,0）,

万•国2_V6

CE=（L-2,1）,直线CE与平面用C所成角的正弦值为

同同一2.遥一6

42.一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6,且它们彼此

的夹角均为60。，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为.

【试题来源】曾都一中，枣阳一中，襄州一中，宜城一中2019-2020学年高二上学期期中

【答案】676

【分析】设A月=1，而=B，第="，根据平行四边形法则，对角线ZC；=a+B+L

再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长.

【解析】设丽=£,AD=b'A4j=c,因为AC；=44+4万+A4；=£+b+）,所以

ACJ=（。+8+c）=a+b+c+2a^b+2a»c4-2b^c=36+36+36+6x6x6xcos60°=216,

所以对角线|可卜6".故答案为6#.

43.在空间中，四条不共线的向量砺、0B>0C>前两两间的夹角均为a.贝ijcosa

的大小为.

【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】―1

3

【分析】不妨设I0A|=|031=|0C|=|0。|=1,因为向量Q4、OB、0C共线，所以存在

UUU1

实数a,b,c使得OD^aOA+bOB+cOC，在等式两边同时乘以。。得

（a+》+c）cosa=l,然后在等式两边同时乘以砺、无、反，化简后相加可解得结果.

【解析】不妨设I赤|=|而|=|觉|=|而1=1，因为向量砺、砺、反共线，所以存在

实数a,b,c使得历函而+c元，

^\ODOD=aOAOD+bOBOD+cOCOD^

所以Off=a\OA\\OD\cosa+b\OB\\OD|cosa+c|OC||O£)|cosa，

所以1=acosa+）cosa+ccosa,即（a+b+c）cosa=1,

又丽•砺=Q苏+〃砺・西+C武•西，

所以|OD\\OA\cosa=a+h\OB||OA|cosa+c\OC\\OA|cosa，

所以cosa=a+bcosa+ccosa，即。=（1一人一c）cosa,

同理可得）=（1一。-c）cosa,c=（l-a-b）cosa,

所以Q+Z?+C=（1—/?一。+1—。一c+1—a-Z?）cosa,

12

所以-----=（3-------）cosa,所以3cos2a—2cosa-1=0，

cosacosa

所以cosa=-'或cosa=l（舍）.故答案为一,

33

【名师点睛】根据空间向量基本定理得到丽=。）+人砺+c反后，在其两边同时乘以

甜、OA'OB'0C»利用向量的数量积运算是解题关键.

44.已知三棱锥A—5CD的三条侧棱4氏ACAO两两垂直，其长度分别为。也c.点A在

底面BCD内的射影为0,点A,及C,。所对面的面积分别为名,品，S。，品.在下列所给

的命题中，正确的有.（请写出所有正确命题的编号）

①三棱锥4-BCD外接球的表面积为（储+/+c?）乃；

②、八,S&BCO=SJ；

③S：＜Sj+Sc3+Sj；

④若三条侧棱与底面所成的角分别为%,一,%,WJsin2a,+sin2+sin2=1；

⑤若点M是面BCD内一个动点，且AM与三条侧棱所成的角分别为。2，4，％，则

222

cosa2+cosP2+cos/2=1.

【试题来源】安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测（理）

【答案】①②④⑤

【分析】由一棱锥A—BCD的三条侧棱AB,AC,A。两两垂直，则将三棱锥A-BCD补成

长方体ABAC—。（汨石，可判断①，由凡AO'O1与RuOAD相似，可判断②，取特殊

值，当a=8=c=l时，可判断③，分别以AB，AC,AD为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法可判断⑤，当M与。重合时，AOL面BCD，由各侧棱与底面所成角与

侧棱与所AO成角互为余角，可判断④.

【解析】由三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AO两两垂直，则将上棱锥A-BCD补成

长方体AB尸C-ZX汨E，连接。。并延长交5c于O',则40J_BC

对①：三棱锥A-BCD外接球和长方体ABFC-DGHE的外接球相同.

则长方体ABFC-DGHE的对角线AH=yla2+b2+c2

则长方体ABFC-DGHE的外接球的直径为AH

所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4%R2=（a2+b2+c2）7r,故①正确.

对②：由凡与RUO'AO相似，则O'A2=O,OX。'。

又SA=gBCO'DS.BCO=；BCOO,S^=[^BC-O'A\=^BC2O,A2

所以S-SKCO=SJ，故②正确・

i3

对③：当〃=/?=c=l时，Sj=Sj=Sj=g,则Sj+Sj+Sj=w

而心X6回此时S：＞Sj+Sc3+Sj,故③不正确.

(22)88

对⑤：分别以AB,为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.设M（x,y,z）

则AM=(x,y,z),|AA1|=++,AB=(«,O,O),AC=(O,Z?,O),AD=(0,0,c)

AMA3(AM-ACJAM-ADY

所以cos*23a+cos2p+cos2y

222u画必叫飞画•同+〔画画L

x2y2z2

所以⑤正确.

\AMf\AMf\AMf

对④：当M与。量合时，40_1_面8。0，由⑤有cos?%+cos?尸2+cos?%=1，

由各侧棱与底面所成角与侧棱与所A。成角互为余角，可得④正确.

故答案为①②④⑤.

【名师点睛】本题考查空间线面、线线、面积关系，外接球的表面积等问题，考查补形的思

想方法应用，属于难题.

二、双空题

45.已知N=(T,2,x),B=(2,-l,3),如果W/B，贝”=；如果aJ_B，》=

【试题来源】浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考

.小,10

【答案】-6—

3

【解析】因为汗=(-4,2,x),b=(2,—1,3),且值〃5，所以。=几5，

[-4=22,

2=—2

则＜2=-4,解得，_,因为a-b=0则—4x2+2x(—l)+3x=。,

x=­o

x-3Ai

解得x=—,故答案为-6,—

33

46.已知直三棱柱ABC-AAG中，ZABC=120°,43=2，BC