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文档简介
专题19空间向量与立体几何(填空题)
一、填空题
1.若日=(1,1,0),五=(—1,0,2),则与n+5共线的单位向量是.
【试题来源】山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】±„半
I55)
【解析】5=(1,1,0),^=(-1,0,2),@+6=(0/,2),
所以修+均=VO2+12+22=小,根据单位向量的关系式。=土卫《,
\a+b\
可得单位向量。=土。,乎,2^].故答案为士0,-^-,—^-.
2.己知向量£=(一2,3,1),6=(1,-2,4),则£+B=.
【试题来源】广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末
【答案】(TL5)
【解析】因为£=(-2,3,1),3=(1,一2,4),所以1+1=(一1』,5).故答案为(TJ5).
3.在平行六面体ABC。—A'B'C'D中,ABAD=ZAAB=ZAAD=6()°,AB=3,
AD=4,A4'=5,则AC'=.
【试题来源】北京市人民大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学阶段检测
【答案】V97
【解析】由平行六面体的特征可知/;二通+而+疝,所以
画『=(而+而+而)2=病+而QE+2而.而+2时而+2昉而
=9+16+25+2x3x4x—+2x3x5x—+2x4x5x—=50+12+15+20=97.
222
所以AC'=历,故答案为历.
4.己知£=(—2,3,/〃),^=(2,-1,1),若£_L人则实数机的值为.
【试题来源】江苏省盐城中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】7
【解析】因为aJ_5,所以a/=On—2x2+3x(—1)+机=0,解得加=7.故答案为7.
5.在正四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则庵.觉的值为.
【试题来源】广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期月考(一)(理)
【答案】-1
【解析】由题意,设丽=£,丽=瓦方=",建立空间的一个基底丘瓦"},
在正四面体中巫=,(£+»),33=2—
2
.1__]____,,2
所以PE-BC--(a+b')-(c-b)=—(a-c—a-b+b-c-h)
22
=-^(2x2cos60°-2x2cos60°+2x2cos600-2x2)=一1.
6.在平行六面体ABC。一AAG。中,ZBA4,=ZDAA,=ZBAD=60°,且所有棱长均
为2,则对角线AG的长为.
【试题来源】山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试
【答案】2灰
【解析】AB-AD=2x2xcos60°=2-福•湎=2x2xcos60'=2,
AD-例=2x2xcos60=2.
2/\2222
.•.福=(而+通+同一=而一+昉+福一+2被砺+2丽・福+2而•丽=24
4G=|砌=2的
7.在三棱锥P-ABC中,24_L底面ABC,AB±BC,PA=3,AB=6,BC=2,
若E,尸是PC的三等分点,则异面直线AE与8户所成角的余弦值_________.
【试题来源】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考(理)
237301
【答案】
602
【解析】如图所示:以AB为%轴,AP为z轴,平面ABC内垂直于AB的直线为>轴建
立空间直角坐标系,则A(0,0,0),8(百,0,0),C(/2,0),尸(0,0,3),
—■1——2—.则E伸1,2’264
PE=-PC,PF=-PC,
33
33\7
则荏得10旃"甘,契
23
23y/301
则cos(荏,乔卜=-广乡l
网网舟棒602
故异面直线AE与M所成角的余弦值为生叵.故答案为23师
602602
8.在空间直角坐标系中,定义:平面a的一般方程为
Ax+By+Cz+D=O(A,B,C,DeR,A2+B2+C2*0),点P(如为为)到平面a的距
I+By。+Cz0+£)|
离1=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心。到侧面
VA2+B2+C2
的距离等于__________
【试题来源】山东省枣庄三中2020-2021学年高二年级10月份质量检测考试
【答案】正
5
【解析】如图,以底面中心0为原点建立.空间直角坐标系。一孙z,
则0(0,0,0),A(l,1,0),B(-l,1,0),P(0,o,2),
设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,
A+B+D=0
将尸坐标代入计算得,—A+B+O=0,解得4=0,B=—D,C=--D,
2C+O=0
:.-Dy--Dz+D=0,即2y+z-2=0,,4==拽.故答案为遗
'2-74+155
9.已知结论:在平行四边形ABC。中,有而=丽+无力,且此结论可以推广到空间,
即在平行六面体ABC。-A&GR中,有数;=通+通+区.某结晶体的形状为平行六
面体,其中以顶点A为端点的三条棱长都为2,且它们彼此的夹角都是y,则其体对角线4c
的长度是__________
A
【试题来源】河北省巨鹿中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】2夜
【解析】根据空间向量的运算法则,可得率=而+4瓦+A瓦
2
则对=(4A+福'+病')2
----*2—--♦2»2.►——..一♦.
=(4A+A]B[+A。]+244耳+2AA•AZ)1+2Ag•A。1)
=4+4+4+2x2x2x(—;)+2x2x2x(—;)+2x2x2x;=8.所以町|=2立
10.空间直角坐标系中,已知A(2,3,-1),8(2,6,2),C(1,4,T),则直线AB与AC的夹
角为.
【试题来源】江西省宜春市期末统考高二年级数学试卷(理)
【答案】60°
【解析】因为丽=(0,3,3),北=(-1,1,0),所以福.於=3,|通|二3夜,]恁卜夜,
则由向量的数量积公式可得直线AB与AC的夹角的余弦为cos(AB,/)=言=:,故
直线AB与AC的夹角为60,,应填答案60.
11.如图,平行六面体ABCD-AiBiGDi中,|ABRA£)|=|A4j=l,ZBAD=ZBAAi
=120°,ZDAAi=60°,则线段AG的长度是.
【试题来源】吉林省白城市济北区第一中学2019-2020学年高二上学期期中(理)
【答案】行
【解析】VAQ=AB+AD+AA^,
AQ2=AB+AD+AA^+2AB-AD+2AB-AJ\+2彷羽
—
=l+l+l+2xlxlx+2x1x1x(—)+2xlxlx—=2>AC}=V2,故答案为'\/^'.
12.已知在空间四边形043。中,砺=瓦砺=反反点M在。4上,且OM=3M4,
N为BC中点、,用Z,瓦"表示丽,则丽等于
【试题来源】山东省烟台市高二上学期期末考试数学(理)
31-1
【答案】ClHbHC
422
【解析】如图::MN=ON-OM,ON=^(OB-OV),
,-,MN=-(OB+OC)--OA=--a+-b+-c.
24422
一3一1一一
13.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,iLOP=-OA+-OB+tOC,若P,A,
48
B,C四点共面,则实数r=
【试题来源】海南省文昌中学2019-2020学年高二上学期第二次月考
【答案】|
O
―-3—►1—•—►
【解析】P,A,B,C四点共面,且。P=一。4+—。8+,。。,
48
3111
:+弓+,=1,解得,二6.故答案为
4OOO
14.已知空间中两点A(—5(—2,2,3),在。轴上有一点C到A、B两点距离
相等,则C点坐标为.
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】fo,o,1
\2J
【分析】设点。的坐标为(0,01),利用空间中两点间的距离公式结合=忸。可求得r
的值,进而可求得点C的坐标.
【解析】设点C的坐标为(0,0"),由于|47|=忸。|,
则{32+产+(_1)2={22+(_2/+(/_3)2,整理得2,-3=0,解得f=T,
因此,点c的坐标为(o,o,故答案为(o,o,
15.若直线/的方向向量为*=(1,0,2).平面。的法向量为力=(—2,0,—4),则直线/与平
面a的关系为.
【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】Ika
【解析】因为么=_21,所以2//7,因此故答案为
16.已知点A(x,1,2)和点3(2,3,4),且AB=2指,则实数x的值是.
【试题来源】江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020学年高一下学期5月检测
【答案】6或-2
【解析】已知点A(x,1,2)和点8(2,3,4),所以=J(x—2)2+(1-3)2+(2-4)2=2卡,
E|J(X-2)2=16,解得x=6或%=-2,故答案为6或-2.
17.若空间向量2=(1,—1,0),^=(-1,2,1),2=(24,加)共面,则〃?=.
【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】3
【分析】空间向量3=(1,-1,0),B=(T,2,1),2=(2,1,加)共面,可得存在实数X,〃
使得;、=丸)+〃力,利用向量的线性运算与向量相等即可得出.
【解析】•••空间向量2=(1,—1,0),S=(-1,2,1),"=(2,1,相)共面,
2=A-//
二存在实数4,4使得建心+1=-4+2〃,解得机=3.故答案为3.
m=4
18.在空间直角坐标系。一邙中,点”是xOy平面内的直线x+y=2上的一点,若点M
到点N(6,4,l)的距离最小,则点M的坐标为.
【试题来源】安徽省六安市第•中学2020-2021学年高二上学期第一次段考(理)
【答案】(2,0,0)
【分析】由题可设M(x,2—羽0),则阿N|=J(x-6)?+(2-x-49+1,利用二次函数
求最小值,即可得取最小值时点M的坐标.
【解析】由题可设M(x,2-x,0),
则|MN|=^(%-6)2+(2-%-4)2+1=^2(%-2)2+33,
所以当x=2时,|刚取最小值,此时点M坐标为(2,0,0).故答案为(2,0,0).
19.在正方体ABCD-AB£R中,则直线BC,与平面AtBD所成角的正弦值为
【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】&
3
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
设该正方体的棱长为1,所以0(0,0,0),5(1,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),
因此丽=(1,1,0),3c=(T,°,D,必=(1,°,1),设平面A18。的法向量为G=(x,y,z),
nlDBn-DB=0x+y=O
所以《___=><__=>令九=1,所以y=z=-l,
n_LDA,n-D\=0x+z=0
因此3=(1,-1,一1),设则与[的夹角为a,直线BG与平面48。所成角为
所以有sin9=|cosa
20.如图所示,在长方体ABCD—4B|CQ|中,。为AC的中点.用AB,AD,AA,表示0匕,
则OC}=-----------
【试题来源】2021年高考数学(理)一轮复习-题型全归纳与高效训练突破
【答案】^AB+^AD+AA^
【解析】因为阮=;恁=3(.片+击),
所以西=无+兀=((丽+而)+丽=g通+;而+羽.
故答案为有+g加+丽二
21.在正四棱锥S-ABCD中,0为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且
SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.
【试题来源】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末
【答案】30。
【解析】如图所示,以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=O8=OC=a(a>0),则A(a,0,0),8(0,a,0),CLa,0,0),P(0,-|-,|).
则CA=(2a,0,0),AP=(—a,——,—),CB=(«,a,0).
设平面PAC的法向量为],则3J.AP,n±CA,
2ax=0
即“aa八,得x=0,令y=1,则z=1,;.〃=(0,1,1),
—ax—y+—z=0
.x2
CBn_a_1
则cos<CB,n〉=所以〈区,3>=60。.
\CB\\n\~>/2->j2a~2
所以直线BC与平面B4C所成的角为90°-60°=30°.故答案为30。.
22.如图,在三棱锥V—A5C中,顶点。在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分
别在x,z轴上,。是线段A3的中点,且AC=BC=2,当NV<DC=60。时,异
面直线AC与VD所成角的余弦值为.
【试题来源】人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试
【答案】叵
4
【解析】由题意,4(2,0,0),3(0,2,0),C(0,0,0),D(l,l,0),
当NVDC=60°时,在用△VDC中,CD=叵,VC=",VD=2五,
所以叭0,0,遥),所以恁=(一2,0,0),所以cos〈正,口>=।卷,篇]=—孝,
所以异面直线AC与⑺所成角的余弦值为也.故答案为也.
44
23.四棱柱ABC£>—A6IC|D|中,ZA,AD=ZDAB=60°,AtA=AB=AD=1,则
AC,=.
【试题来源】平顶山市高二上学期期末调研考试数学(理)
【答案】>/6
【解析】AQ=AB+AD+X\,所以
+2(ABAD+ADA^+ABA^^
l+l+l+2Hxlx-x3j=V6,故填卡.
24.在正四面体P—ABC中,M是K4上的点,且PM=2M4,N是BC的中点,若
MN=xPA+yPB+zPC,则x+》+z的值为
【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】;
由空间向量基本定理得X=—2,y=-,z=-.故x+y+z=J.故答案为
32233
25.已知直线a,£>的方向向量分别为加=(4,攵,左一2)和〃=(%,%+3,6),若a//b,则%=
【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】6
4kk-1
【解析】因为a//b,所以7=/二=<一,解得&=6,故答案为6.
kk+36
【名师点睛】本题考查根据空间向量的共线关系求解参数,难度较易.已知
=_L
a=(xi,yi,zl),b=(x2,y2,z2)(xix2yly2ziz2^0),若Z//B,^-=-.
X2必Z2
26.已知点P(2,3,-1),则点P关于坐标原点对称点的坐标为.
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】(-2,-3,1)
【分析】点(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b,-c).
【解析】点尸(2,3,-1),则点尸关于坐标原点对称点的坐标为(-2,-3,1).
27.己知£=(4,一2,6),6=(-1,4,一2),"=(4,5,2),若B,)三向量共面,则;1=
【试题来源】山东省滨州市博兴县第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】5
【解析】a>b>c三向量共面,则存在列“,使得c=/〃a+〃方,
3
m--
4m-n=42
则c=(4,5,A)=(4m—〃,一2m+4〃,6m-2〃),即<-2m+4n=5,解得<〃=2
6m-271=22=5
故答案为5.
—>—>―>_、、、
28.已知Q=(—2,1,3),b=(3,—4,2)»c=(7,2,5)»若b9c共面,则实数4=
【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
123
【答案】
13
【分析】由空间向量的共面定理,列出方程组求出实数X的值.
【解析】由a=(—2,1,3),8=(3,—4,2),c=(7,几,5),旦〃,」共面,
所以存在实数〃?,n,使得最=加£J,即(7,4,5)=加(一2,1,3)+〃(3,<2),
-2m+3〃=7
131131123
列方程组,得〈机一4〃=%,解得加=一,n=一:所以4=---4x—=-----.
ccu1313131313
3m+2〃=5
29.己知之=(几+1,0,2),1=(6,2〃-1,22),若力/。且;与]反向,则』+〃=
【试题来源】天津师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】-2
2
k(4+1)=6
【分析】根据题意可设了=上[,且k<0,然后可得出<2〃-1=0,根据人解出入,4即
w=2几
可得出;1+〃的值.
【解析】因为://],且:与]反向,所以设%=k<0.
4(2+1)=6k=~3
所以(6,2//-1,24)=%(/1+1,0,2),所以修以一匚。,因为k<0,所以=g,
2k=2Z
z——j
所以X+〃=—.故答案为—.
22
x-3y+z+l=0
30.空间坐标系中,过点尸(2,1,1)且与直线、二c.八垂直的平面方程为
3x-2y-2z+l=0
【试题来源】广东省中山市华侨中学港澳台班2019-2020学年高二上学期期末
【答案】8x+5y+7z-28=0
【分析】设两条直线的方向向量分别为1=(L—3,1),£=(3,—2,—2),设平面的法向量为
3=(x,.y,z),根据=0,■%■=(),即可求出平面的法向量3,从而可得所求平面方程.
【解析】设两条直线的方向向量分别为1=(1,一3,1),1=(3,-2,-2),设所求平面的一个
8
x--y
n-e=0x-3y+z=Q5
法向量为n=(x,y,z)则山”]即<;,令y=5,得
n-e=03x—2y—2z=0
2z=y
5
x=8,z=7,所以3=(8,5,7),故所求平面方程为8(x—2)+5(y-l)+7(z—1)=0,
即8x+5y+7z—28=0.故答案为8x+5y+7z—28=0
31.如图,E是棱长为2的正方体的棱A4的中点,尸为棱AB上的一点,且NGE尸=90。,
则线段AF的长为
【试题来源】浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】《
【解析】由题意:以点。为原点,建立空间直角坐标系,如图,并设=
则E(2,0,l),F(2,r,0),Cj(0,2,2),则而=(0/—1),星=(—2,2,1)
因为NGEF=90°,所以乔_L骂,则方•骂=0,
所以〃一1=0,解得r=,,所以线段A尸的长为
22
32.在直三棱柱ABC-AAG中,AC=3,3C=3,AB=3j5,AA=2,则异面直线4。
与BG所成角的余弦值为.
【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测
4
【答案】—
13
【分析】先由题意可得C4、CB、两两垂直,以。点为坐标原点,以CA、CB、CC1方
向分别为4轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,求出直线与BG的方向向量,根据
向量夹角余弦值即可得出结果.
【解析】因为AC=3,3C=3,A3=3j5,所以角C为直角,又直棱柱中,侧棱与底面垂
直,所以CA、CB、两两垂直,以C点为坐标原点,以CA、CB、C6方向分别为x轴,
y轴,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0,0,0),G(0,0,2),4(3,0,2),8(0,3,0),
所以冠=(—3,0,—2),Bq=(0,-3,2),设异面直线4。与BG所成角为夕,
则cos6=cos(存明)|=当驾=^义?=《故答案为土
\71|AC||BC,|V974XV9741313
33.已知三棱柱ABC—A4cl的所有棱长均为2,侧棱底面A8C,若£厂分别是
线段8片,AG的中点,则异面直线4E与。尸所成角的余弦值是
【试题来源】衢州市、湖州市、丽水市2020-2021学年高三上学期II月教学质量检测
【答案】|
【分析】以A为原点建立空间直角坐标系,求得向量荏,方的坐标,然后由
\AE-CF\
COS一।求解.
阿w
【解析】建立如图所示空间直角坐标系:
则A(0,0,0),E(G』,l),C(0,2,0)/(0,l,2),所以近=(6,1,1),#=(0,7,2),
所以H荏同卜给=焉《故答案为、
34.已知a=(l,3,〃z),B=(2〃,6,-4),若£//B,则£/=
【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测(-)
【答案】28
【分析】由Z//B可建立关系求出〃?,〃,再根据坐标即可求出£4.
1372Z
【解析】由题知一=一=—,所以〃=1,加=一2,
2〃6T
则0.b=lx2+3x6+(—2)x(-4)=28.故答案为28.
35.在空间直角坐标系中,若三点4(1,-1,4),仇2,00),(?(1,4,-2)满足:
则实数a的值为.
【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试
【答案】—9
【分析】先根据点的坐标得到A"的坐标表示,再根据向量垂直对应的数量积为
零计算出。的值即可.
【解析】由题意/=(l,a+l,_0,/=(0,0+1,_2_〃),庭=(_1,0,_2),
所以(42公)应=(l,_a_lM+4).(_l,0,_2)=_l_2(a+4)=_2a_9=0,
99
解得a=—.故答案为-;
22
36.在长方体A8CO-AgCA中,A&=A5=2,AO=1,点居G分别是A6,CG的中
点,则点Q到直线GF的距离为.
【试题来源】北京科技大学附属中学2020—2021学年高二上学期数学期中试题
…V42
【答案】--
3
【解析】如图,以。为原点,£)A为x轴,。。为V轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
则〃(°,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),FDf=(-1,-1,2),FG=(-1,1,1),
二点2到直线G尸的距离:E用卜卜悬缁厂向卜岛:华・
点D,到直线GF的距离为—.故答案为—.
33
【名师点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是(1)观察图形,建立恰当的空间直
角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,
利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;
(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
37.如图,平行六面体ABCD-A.B^D,中,AB=AD=AA]=],
ZBAD=ND4A=NR4A=60",则BD}=
【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考
【答案】V2
【分析】用基底表示出国,然后利用向量数量积的运算,求得|瓯"I.
【解析】因为闲'=必—而=屈+羽—与,
2
所以西之=(而+丽_AB)=AD+丽之+AB+2而.丽-2AD,AB-2丽•拔
=1+1+1+2XCOS600-2XCOS600—2xcos600-2-所以BD=\BD]|=\[2.
38.若向量2=(1",4),B=(—2,1,1),Z,b夹角为钝角,则丸的取值范围是.
【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】(一℃,一77)。(—不1)
22
【分析】根据向量£与坂的夹角为钝角,则7B<o,求得7的范围,在将♦与B共线旦反向
的情况排除即可.
【解析】因为向量公与坂的夹角为钝角,所以£4=(1,4,)•(—2,1,1)=-2+2/1<0,
解得;1<1.当Z与坂共线时,设2=&坂(K0),可得,:一),,解得
即当x=—;时,向量々与B共线且反向,此时£石<0,但々与B的夹角不是钝角.
综上:入的取值范围是—故答案为(—8,-;)口(一;,1)
39.己知南垂直于正方形ABCQ所在的平面,M,N分别是CQ,尸C的中点,并且以=
AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN=.
【试题来源】2021年高考数学(理)一轮复习-题型全归纳与高效训练突破
【答案】叵
2
【解析】连接尸。,因为M,N分别为CD,PC的中点,
所以MN=gp。,乂尸((),0,1),0(0,1,0),
所以PD=J()2+(一]/+]2=正,所以MN=+~.
40.已知在长方体ABCD-AIBIGDI中,AB=BC=1,AAi=2,E是侧棱BBi的中点,则直线
AE与平面AIEDI所成角的大小为.
【试题来源】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期末(理)
【答案】90
【分析】建立空间直角坐标系,得到相关点的坐标后,求出直线AE的方向向量为后=(0,1,
1)和平面AIEDI的法向量n=(0,1,1),然后利用向量的共线可得直线AE与平面AFDi垂直,
于是得所求角为90.
【解析】以。为原点,以D4,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则4(1,0,0),E(l,1,1),4(1,0,2),D1(O,0,2),
于是衣=(0,1,1),乖=(0,1,-1),g=Gl,0,0).
设平面4ED1的法向量为〃=(x,y,z),
n-AE=y-z=0,[y=z,i/、
则<2—7八得「八令z=l,得〃=(0,U).
n-A.D,=-x=0,[x=0,v7
所以工豆〃7,故直线AE与平面垂直,即所成角为9()。.故答案为90。
【名师点睛】本题考查空间位置关系的向量解法,将几何问题转化为数的运算的问题处理,
解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量,由
于解题时需要进行数的运算,因此还要注意计算的准确性.
41.已知如图,PA.PB、PC互相垂直,且长度相等,E为AB中点,则直线CE与平面也C
所成角的正弦值为.
B
【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试
6
【解析】PA.PB、PC互相垂直,以P为坐标原点,PA.PB、PC分别为x,y,z轴,
/方
设尸A=2,则平面朋C的法向量可以为力=(2,0,0),£(1,0,1),C(0,2,0),
万•国2_V6
CE=(L-2,1),直线CE与平面用C所成角的正弦值为
同同一2.遥一6
42.一个结晶体的形状为平行六面体,以同一个顶点为端点的三条棱长均为6,且它们彼此
的夹角均为60。,则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为.
【试题来源】曾都一中,枣阳一中,襄州一中,宜城一中2019-2020学年高二上学期期中
【答案】676
【分析】设A月=1,而=B,第=",根据平行四边形法则,对角线ZC;=a+B+L
再结合条件,利用向量的模即可求出对角线长.
【解析】设丽=£,AD=b'A4j=c,因为AC;=44+4万+A4;=£+b+),所以
ACJ=(。+8+c)=a+b+c+2a^b+2a»c4-2b^c=36+36+36+6x6x6xcos60°=216,
所以对角线|可卜6".故答案为6#.
43.在空间中,四条不共线的向量砺、0B>0C>前两两间的夹角均为a.贝ijcosa
的大小为.
【试题来源】北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】―1
3
【分析】不妨设I0A|=|031=|0C|=|0。|=1,因为向量Q4、OB、0C共线,所以存在
UUU1
实数a,b,c使得OD^aOA+bOB+cOC,在等式两边同时乘以。。得
(a+》+c)cosa=l,然后在等式两边同时乘以砺、无、反,化简后相加可解得结果.
【解析】不妨设I赤|=|而|=|觉|=|而1=1,因为向量砺、砺、反共线,所以存在
实数a,b,c使得历函而+c元,
^\ODOD=aOAOD+bOBOD+cOCOD^
所以Off=a\OA\\OD\cosa+b\OB\\OD|cosa+c|OC||O£)|cosa,
所以1=acosa+)cosa+ccosa,即(a+b+c)cosa=1,
又丽•砺=Q苏+〃砺・西+C武•西,
所以|OD\\OA\cosa=a+h\OB||OA|cosa+c\OC\\OA|cosa,
所以cosa=a+bcosa+ccosa,即。=(1一人一c)cosa,
同理可得)=(1一。-c)cosa,c=(l-a-b)cosa,
所以Q+Z?+C=(1—/?一。+1—。一c+1—a-Z?)cosa,
12
所以-----=(3-------)cosa,所以3cos2a—2cosa-1=0,
cosacosa
所以cosa=-'或cosa=l(舍).故答案为一,
33
【名师点睛】根据空间向量基本定理得到丽=。)+人砺+c反后,在其两边同时乘以
甜、OA'OB'0C»利用向量的数量积运算是解题关键.
44.已知三棱锥A—5CD的三条侧棱4氏ACAO两两垂直,其长度分别为。也c.点A在
底面BCD内的射影为0,点A,及C,。所对面的面积分别为名,品,S。,品.在下列所给
的命题中,正确的有.(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥4-BCD外接球的表面积为(储+/+c?)乃;
②、八,S&BCO=SJ;
③S:<Sj+Sc3+Sj;
④若三条侧棱与底面所成的角分别为%,一,%,WJsin2a,+sin2+sin2=1;
⑤若点M是面BCD内一个动点,且AM与三条侧棱所成的角分别为。2,4,%,则
222
cosa2+cosP2+cos/2=1.
【试题来源】安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测(理)
【答案】①②④⑤
【分析】由一棱锥A—BCD的三条侧棱AB,AC,A。两两垂直,则将三棱锥A-BCD补成
长方体ABAC—。(汨石,可判断①,由凡AO'O1与RuOAD相似,可判断②,取特殊
值,当a=8=c=l时,可判断③,分别以AB,AC,AD为x,y,z轴,建立空间直角坐标
系,利用向量法可判断⑤,当M与。重合时,AOL面BCD,由各侧棱与底面所成角与
侧棱与所AO成角互为余角,可判断④.
【解析】由三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AO两两垂直,则将上棱锥A-BCD补成
长方体AB尸C-ZX汨E,连接。。并延长交5c于O',则40J_BC
对①:三棱锥A-BCD外接球和长方体ABFC-DGHE的外接球相同.
则长方体ABFC-DGHE的对角线AH=yla2+b2+c2
则长方体ABFC-DGHE的外接球的直径为AH
所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4%R2=(a2+b2+c2)7r,故①正确.
对②:由凡与RUO'AO相似,则O'A2=O,OX。'。
又SA=gBCO'DS.BCO=;BCOO,S^=[^BC-O'A\=^BC2O,A2
所以S-SKCO=SJ,故②正确・
i3
对③:当〃=/?=c=l时,Sj=Sj=Sj=g,则Sj+Sj+Sj=w
而心X6回此时S:>Sj+Sc3+Sj,故③不正确.
(22)88
对⑤:分别以AB,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设M(x,y,z)
则AM=(x,y,z),|AA1|=++,AB=(«,O,O),AC=(O,Z?,O),AD=(0,0,c)
AMA3(AM-ACJAM-ADY
所以cos*23a+cos2p+cos2y
222u画必叫飞画•同+〔画画L
x2y2z2
所以⑤正确.
\AMf\AMf\AMf
对④:当M与。量合时,40_1_面8。0,由⑤有cos?%+cos?尸2+cos?%=1,
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所A。成角互为余角,可得④正确.
故答案为①②④⑤.
【名师点睛】本题考查空间线面、线线、面积关系,外接球的表面积等问题,考查补形的思
想方法应用,属于难题.
二、双空题
45.已知N=(T,2,x),B=(2,-l,3),如果W/B,贝”=;如果aJ_B,》=
【试题来源】浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考
.小,10
【答案】-6—
3
【解析】因为汗=(-4,2,x),b=(2,—1,3),且值〃5,所以。=几5,
[-4=22,
2=—2
则<2=-4,解得,_,因为a-b=0则—4x2+2x(—l)+3x=。,
x=o
x-3Ai
解得x=—,故答案为-6,—
33
46.已知直三棱柱ABC-AAG中,ZABC=120°,43=2,BC
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