2022-2023学年江苏省南京市某中学高一年级上册期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1.已知集合4="*-3工=0b5={1,2,3},则().

A.{3}B.{1,2,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】解方程求得集合A,由并集定义可求得结果.

【详解】A={^x2-3x=0}={0,3},AAUB={0,1,2,3).

故选：D.

2.命题“VxeR,f+lNl”的否定为()

A.3XSR,X2+1<1B.VXSR,X2+1<1C.3xeR,x2+l<lD.VjceR,x2+l<l

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.

【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题，

所以命题“必；€&/+121”的否定为“3%€氐％2+1<1”.

故选：C.

3.下面各组函数中表示同一个函数的是()

A.f(x)=|x|,g(x)=(五)B./(x)=x,g(x)=(&)2

x2-1.向[1,x>0,

c.f(x)=--,g(x)=x+lD.=—l,g(x)=^

x-]xx<0.

【答案】A

【分析】对于每个选项中的两个函数，分别看它们的定义域、对应关系以及值域是否一样，即可判

断是否为同一函数.

【详解】A中g(x)=J/=|x|，和〃x)=|x|定义域和解析式相同，因此为同一函数；

B中/。)=*定义域是R,而g(x)=(«)2的定义域是[0,+co),二者不是同一函数；

C中前者函数的定义域中XH1,后者可以，因此不是同一函数；

D中前者函数定义域中xwO,而后者可以，因此二者不是同一函数,

故选：A.

4.对于实数”,6,c,“a>b”是历2，，的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，%>尸4a2>改2”必须有。2>0这一条件.解：主

要考查不等式的性质.当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边.故选B

【解析】不等式的性质

点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件.

5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据〃满足K=10"T,已知某同学视力的五

分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：师=1.25）

A.0.6B.0.8C.1.2D.1.5

【答案】B

【分析】当L=4.9时丫=10-=105=/，即可得到答案.

【详解】由题意可得当L=4.9时V=1。7=10皿=［订*总=0.8

故选：B

A.B.

【分析】根据函数奇偶性排除A,再由l>x>0时/(x)<0,x>l时/(x)>0排除BC即可.

x(2x-2~x)

【详解】V/x)=-4-——定义域为{x|》N±l},关于原点对称，

W-1

XXx

-x(2T-2\x(2-2~]

f=II.=I，,=/(^)-故〃x)是偶函数，排除A；

rA1-1W-1

当l>x>0时，2*>2，即2*-2一*>0,|x|T<0,所以/(X)<0,当X>1时，又有k|一1>0,因此

/(x)>0,排除B,C.

故选：D.

(2a-4)x+5,x<4

7.若函数〃x)=在R上单调递增，则a的取值范围为()

x2-2ax+l,x>4

A.(2,4]B.(2,可C.[4,+oo)D.(2,+»)

【答案】B

【分析】由于函数在R上单调递增，所以函数在每段上要为增函数，且当x=4时,

x2-2ax+7>(2a-4)x+5,从而可求得答案

2a-4>0

17

【详解】由题意得心4,解得

4(2a-4)+5<16-8«+7'

故选：B

8.定义在R上的奇函数在(-8,0)上单调递减，且/(3)=0,则满足犷(x+l)20的x的取值范围

是()

A.[^,-l]u[O,+<»)B.[-2,0]o[l,4]

C.[-4,-l]u[0,2]D.S，T3O,2]

【答案】C

【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积

大于等于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数Ax)在(YO,0)上单调递减，且/(3)=0,

所以/(x)在(0,y)上也是单调递减，且/(-3)=0,/(0)=0,

所以当xe(F,-3)50,3)时，/(x)>0,当xe(-3,0)53,e)时，/U)<0,

所以由■VAx+lRO可得：

｛：；2+14。或3或户°

解得-44x4-1或04x42,

所以满足对'。+1)*0的8的取值范围是［-4,—1|5。,2|,

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关结合奇函数的有关性质求解不等式的问题，解题思路如下：

(1)根据奇函数某个区间上的单调性以及所给的函数的一个零点，得出R上图象的特征；

(2)对于不等式对Xx+l)*。，分类转化为不等式组，求得结果；

(3)在解题的过程中，不要忽略x=0.

二、多选题

9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为

1%是有理数

D(x)=:月丁用将，关于函数D(x)有以下四个命题，其中真命题是()

［0,x是无理数

A.Vxe/?,D(D(x))=lB.eR,D(x+y)=D(x)+D(y)

C.函数D(x)是偶函数D.函数D(x)是奇函数

【答案】ABC

【解析】根据自变量x是有理数和无理数进行讨论，可判定A、C、D,举特例根据x=a和x=6可

判断B即可得到答案.

【详解】对于A中，若自变量x是有理数，则。口(幻］=。⑴=1,

若自变量X是无理数，则。[ax)]=D(O)=l,所以A是真命题；

当X=0是无理数，y=6是无理数，则x+y=&+石是无理数，

则D(x+y)=O,D(x)+D(y)=O+O=O,满足D(x+y)=D(x)+D(y),所以B正确；

对于C,当x为有理数时，则一为有理数，

则。(r)=£>&)=1.

当x为无理数时，则-x为无理数，

则。(-x)=£>(x)=O.

故当xeR时，£>(-%)=£>(x),

函数为偶函数，所以C是真命题；

对于D中，若自变量x是有理数，则-x也是有理数，可得£>(X)+D(T)=1+1=2,

所以D(x)不是奇函数，D不正确.

所以D是假命题；

故选：ABC.

10.已知关于x的不等式加+bx+c>0的解集为{x|-3<x<2},下列说法正确的是()

A.a<0

B.a-\-b+c>G

C.不等式反+c>0的解集为{x|x>6}

D.不等式—+bx+q〈0的解集为{x.gvxcg}

【答案】ABD

【分析】根据已知条件得-3和2是方程加+bx+c=0的两个实根，且。<0,根据韦达定理可得

b=a,c=-6a,根据6=a,c=-6。且〃<0,对四个选项逐个求解或判断即可.

【详解】因为关于x的不等式以2+法+°>0解集为{R-3<X<2},

所以-3和2是方程以2+bx+c=0的两个实根，且兴0,故A正确；

bc,.

所以—3+2=—,—3x2=—,所以6=a,c=—6a,

aa

因为Q+/?+C=Q+Q—6a=-4<z,又a<0,所以a+Z?+c>0,故B正确；

不等式Z?x+c>0可化为ar-&z>0,因为〃<0,所以x<6,故C错误；

不等式cr?-bx+a<0可化为Fox"+以+]<0,又〃<0,

所以即(2》_1乂3》+1)<0,解得一g<x<g,故D正确.

故选：ABD.

11.下列选项正确的是()

4

A.若则〃+—的最小值为4

a

e幺+3

B.若xeR则京I的最小值是2

C.若而<0,则2+2的最大值为-2

ba

D.若正实数x,y满足x+2y=l,则2+，的最小值为8

xy

【答案】CD

【分析】结合基本不等式一正，二定，三相等条件分别检验各选项，即可判断.

【详解】解：当"0时，A显然不成立;

令1=正+2，则，..血,

y=3三=47^结合对勾函数单调性可知，当f=0时，取得最小值逑，B错

“+2yjx2+2t2

误；

若"<0,则\+'=T(-/+(-3)1,-2^-^--=-2,

当且仅当-2=一：即。=_〃时取等号，此时取得最大值—2,C正确；

ab

正实数孙满足x+2y=l,则2+=+=4+"+±..4+2^^=8,

xyxyxy\xy

4vx1121

当且仅当2=一且x+2y=l,即〉=:，》=彳时取等号，此时一+一的最小值为8,。正确.

xy42xy

故选：CD.

12.已知〃x)是定义在R上的奇函数，当XE(YO,0)时，f(x)=-x2+2x,下列说法正确的是()

A.xe(0,4w)时，函数解析式为/(x)=/-2x

B.函数在定义域R上为增函数

C.不等式f(3x-2)<3的解集为(—,1)

D.不等式/(力-/+》一1>0恒成立

【答案】BC

【解析】对于A,利用奇函数定义求xe(0,yo)时，函数解析式为/(X)=Y+2X；对于B,研究当

xe(9,0)时，/(x)的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知/(x)在R上的单调性：对于C,求

出了(1)=3,不等式f(3x-2)<3,转化为f(3x-2)</(l),利用单调性解不等式；对于D,分类讨

论xe(0,+00)与xe(9,0)两种情况是否恒成立.

【详解】对于A,设xe(0,+«)),一xe(f,0),则/(-x)=-2x,

又fM是奇函数,所以/(x)==X2+2X,

即xe(0,zo)时，函数解析式为〃制=/+2%，故A错；

对于B,f(x)=-x2+2x,对称轴为x=l,所以当xe(y,0)时，f(x)单调递增，由奇函数图像关于

原点对称，所以TV)在R上为增函数，故B对；

对于C,由奇函数在R上为增函数，贝l]xe(0,+oo)时，f(x)=/+2x=3,解得药=1,3=-3(舍去),

即/⑴=3,

所以不等式/(3x-2)<3,转化为/(3x-2)</(1),

又/(x)在R上为增函数，得3x-2<1,解得x<l,

所以不等式的解集为(7」)，故C对；

对于D,当xe(-oo,0)时，/(x)=-x2+2x

f(x)-x?+x-1=—x2+2.x-x?+x-1=—2.x2+3x—1=(-2x+l)(x—1)<0>

2

当xw(0,+oo)时，f(x)=x+2x

f(x)-x2+x-l=x?+2X-X?+x-l=3x-l不恒大于0,故D错；

故选：BC

【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

(1)把不等式转化为/的模型；

(2)判断函数f(x)的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号脱掉，得到具体的不

等式(组)来求解，但要注意奇偶函数的区别.

考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：

(1)已知函数类型，用待定系数法求解析式；

(2)己知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；

(3)已知f(x)求;lg(x)],或已知〃g*)]求f(x),用代入法、换元法或配凑法；

(4)若〃x)与/(二)或/(-x)满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解:

X

三、填空题

13.函数〃幻=>/^斤+一二的定义域为___________.

X--4

【答案】口,2)以(2,内)

【分析】根据被开方数不小于零，分母不为零列式计算即可.

[%—1之0

【详解】由已知得，“八，解得X2I且"2

[X-4^0

故函数定义域为口，2)=(2,W).

故答案为：U,2)=(2,内).

14.已知集合&={-1,0,。2},8={-1,公，若AnB=8,则实数“的值为.

【答案】1

【分析】由An8=B可得3qA,列式计算并借助集合元素的互异性判断作答.

【详解】在集合4={-1,0,叫,8={-1,可中，且〃片-1,即a*0且aH-l,

因AnB=8,则8=A,于是得〃2=〃，而。工0,因此a=l,

所以实数。的值为1.

故答案为：1

(2Xr<0

15.设函数〃x)=J；，则满足〃％-1)</(2力的元的取值范围是__________.

[l,x>0

【答案】(-1,1)

【分析】分段函数不等式问题，可以结合图像或通过分类讨论解决.

【详解】/(X)如图所示：

当x40时，函数〃x)=2'单调递增，贝4(x)v/(o)=l,要使〃x+l)<〃2x),

x-l<0

|1<0

则2x<0或2Q0'解得T<x<°或―即一1VXV1.

2x>x-\

故答案为：(-1,1)

111

16.已知x>0,y>o,且--+-=则x+y的最小值为_______.

x+3y2

【答案】5

f1]、

【解析】首先利用条件变形x+y=2[(x+3)+y]--3,展开后利用基本不等式求最小值.

(x+Jyy

【详解】x+y=2[(x+3)+y][±+£)-3

=2(2+后+亨>3N2(2+2后耳卜=5,

v+3

当且仅当3=:一时，等号成立，

所以x+y的最小值为5.

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：利用“1”的变形，是本题的关键，x+y=2[(x+3)+y][士+；]-3.

四、解答题

17.计算：

32

2

(1)21og32-log3—+log38

++e)°+(£|2

(2)

【答案】(1)2；

(2)g.

【分析】利用对数和指数累运算公式计算即可.

32

【详解】(1)原式二log34-10837+10838

=1°8vx^x8

=2.

5211

（2）原式

3322

2x+1

18.己知〃x）=------

x+1

（1）用定义证明“X）在区间［1,+8）上是增函数；

（2）求该函数在区间［2,4］上的最大值与最小值以及取最值时x的值.

【答案】（1）证明见详解；（2）==/Wmin=/（2）=——=|.

4+152+13

【分析】（1）用单调性定义证明，任取玉，x2e［l,+«））,且王<马，然后证明了（xJ-As））。；

（2）由（1）的单调性易得最值.

【详解】⑴任取为，工月1,用），且为<々，则/㈤一氏）=盟-言1=西流而

V}<xt<x29/.x,-x2<0,（%,+1）（^+1）>0,

故函数〃X）在区间［1,+8）上是增函数.

（2）由（1）知函数Ax）在区间⑵4］上是增函数,

_r（A\_2x4+1_9.〃X

••/（©max—/«）一—-"'/（X）min_-/Q4）_—2_2+-1-_5~•

II1JLIJLJ

19.已知集合4={刈工-4|43},8={川x2-2ar+（«2-4）<0）.

（1）当a=l时，求AUB,BCCRA；

（2）若,求实数。的取值范围.

（注：从①AuB=A；②BICRA=0；③“xeA”是“xWB”的必要不充分条件.这三个条件中任选一

个，补充在上面的问题横线处，并进行解答，如果选择多个条件进行解答，则按照选择的第一个计

分.）

【答案】（1）AuB=1x|-l<x<7},5n^A=1x|-l<x<l}

（2）条件选择见解析，［3,5］

【分析】（1）当。=1时，B={x|-l<x<3},结合交并补的混合运算求解即可;

(2)若选①，A<JB=A,则结合边界值建立不等式即可求解：若选②，化简得

3={杂-24》4〃+2},%4={小<1或x>7},再结合边界值建立不等式即可求解;若选③,“xeA”

是“xe8”的必要不充分条件，则B。A,再结合边界值建立不等式即可求解.

【详解】(1)当”=1时，B={X|X2-2X-3<0}={X|-1<X<3},又A={X|14X47},

所以AuB={x|-14x47},3A={x|x<l或x>7},所以8C6RA={X|-14X<1}；

(2)若选择①AuB=A,则B=

因为8=卜卜2-2ax+^a2-4)<0^=^x\a-2<x<a+2^,

所以解得34x45.所以实数”的取值范围为［3,5］；

若选择②=

因为8=卜卜*-2ax+^a2-4j<Oj=^x\a-2<x<a+2^,

且4A={x|x<l或x>7},

\a-2>\i

所以〃+2<7,解得3W5.所以实数。的取值范围为r［3,5］；

若选择③“xeA”是“xe夕'的必要不充分条件，贝”0A,

因为8二卜卜？-2ox+(/-4)wo}=^x\a-2<x<a+2^,A={x［l<x<71,

所以《：；；；,解得34x45.所以实数〃的取值范围为［3,5］；

20.在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的

矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿

化造价为200元/m,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元m\设

矩形的长为x(m)

X

(1)将总造价y(元)表示为长度X(m)的函数：

(2)如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休

闲锻炼的场地?(近=1.414)

【答案】（l）y=18400+400卜+等,

xe（4,50）

(2)仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地

【分析】(1)由题干直接列式;

(2)根据不等式可得Ymm，进而可判断是否能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

【详解】(1)解：由矩形的长为x(m),则矩形的宽为—(m),

200

则中间区域的长为(x-4)m,宽为-4m,则定义域为xw(4,50),

x

（x-4）^—-4^+200200-（x-4）|^--4

则y=100x

18400+400（x+迎j

整理得y=XG（4,50）.

(2)解：x+—>2.L—=2072,当且仅当》=理时取等号,

xVxx

即x=10&e（4,50）.

所以当x=10板时，总造价最低为18400+80000=2.9712万元<3万元.

故仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

21.已知函数/⑺=%2-（加+2）x+2a,m&R.

(1)若f(x)20对任意的xeR恒成立，求实数"，的取值范围;

(2)若“X)在(f,3)上单调递减，求实数〃?的取值范围；

(3)解关于x的不等式〃')>0.

【答案】⑴2

(2)m>4

⑶答案见解析

【分析】(1)由条件可得△=(利+2)2-8.40,解出即可;

(2)由/(x)的开口方向和对称轴可建立不等式求解；

(3)由/(力=/一(，*+2卜+2相>0得：(x)(x-2)>0,然后分m>2、机=2、团<2三种情

况解出不等式即可.

【详解】(1)因为/(力20对任意的xeR恒成立，

则判别式4=(，〃+2y-8/n<0

即A=/H2—4机+4=(机-2)~<0

所以〃z=2

(2)因为函数f(x)=x2_(m+2)x+25的图象为开口向上的抛物线，

其对称轴为直线户等

由二次函数图象可知，f(x)的单调递减区间为

因为〃x)在(—,3)上单调递减，所以岁之3

所以m24

(3)由/(x)=d—(a+2)%+2+>0得:(X-/77)(X-2)>0

由(工_机)(工_2)=0得工="7或x=2

①当加=2时，不等式的解集是卜|力2}

②当加>2时，不等式的解集是(f,2)UW，M)

③当机<2时，不等式的解集是(f,机)U(2,小动

综上，①当机=2时，不等式的解集是3户2}

②当初>2时，不等式的解集是(V,2)UW，M)

③当机<2时，不等式的解集是(f,m)U(2,M)

22.对于函数/(x),若存在x°eR,使/(毛