人教A版新教材高中数学第二册学案1：8.4.1平面

8.4.1平面

『导学聚焦』

考点学习目标核心素养

了解平面的概念，会用图形与字

平面的概念直观想象

母表示平面

能用符号语言描述空间中的点、

点、线、面的位置关系直观想象

直线、平面之间的位置关系

能用图形、文字、符号三种语言

三个基本事实及推论描述三个基本事实，直观想象、逻辑推理

理解三个基本事实的地位与作用

『问题导学J

预习教材内容，思考以下问题：

1.教材中是如何定义平面的？

2.平面的表示方法有哪些？

3.点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？

4.三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？

「新知初探J

1.平面

⑴平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.平面是向

四周的.

(2)平面的画法

我们常用矩形的直观图，即表示平面.当水平放置时，常把平行四边形的一边画成；当平面

竖直放置时，常把平行四边形的一边画成.

(3)平面的表示方法

我们常用希腊字母a,小y等表示平面，如平面a、平面以平面y等，并将它写在代表平

面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个

顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面a,也可以表示为平面、平面或者

平面.

2237c

■名师点拨

(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量.

(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的.

2.点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，I,m是直线,a,4是平面.

文字语言符号语言图形语言

A在/上AIAI

A在/外AI-J/

A在a内Aa/

.A

A在a外ACa

/在a内Lak—'/

--------1

/在外

aLaA_/

1,加相交于A

1,a相交于AIC\a=A

a,夕相交于/

■名师点拨

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用或叫”

表示.

(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“6”或表示.

(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“u”或“0”表示.

3.平面的性质

基本

文字语言图形语言符号语言

事实

A,B,C三点不共线

基本过的三个点，一个平

/.%/n存在唯一的平面a

事实1面

使A,B,C®a

如果一条直线上的

AW/,B£l,且

基本在一个平面内，那么

BGan

事实2这条直线在这个平面

内

如果两个不重合的平

基本面有一个公共点，那PGa,且PC夕n

事实3么它们有且只有一条电

过该点的

■名师点拨

在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分

画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.如下图①，图②所示:

4.平面性质的三个推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图(1).

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图(2).

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图(3).

『基础自测』

fil判断(正确的打“4”，错误的打“x”)

(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面.()

(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些.()

(3)直线“与直线6相交于点A,可用符号表示为aCb=4()

(4)平面ABCD的面积为100m2.()

(5)过三点A,B,C有且只有一个平面.()

A./eaB.PCI

C.luaD.PGa

臼下面是一些命题的叙述语(A,8表示点，。表示直线，a,夕表示平面)，其中命题和叙述方

法都正确的是()

A.因为Ada,BWa,所以ABGa

B.因为aCa,a",所以aCl”=a

C.因为AGa,qua,所以AGa

D.因为A0a,aua,所以ACa

得已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：

(1)点C与平面人.

⑵点A与平面a：.

(3)直线AB与平面a：.

(4)直线CO与平面a：.

(5)平面a与平面“：.

［探究互动』

探究点一图形、文字、符号语言的相互转化

『例1』(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形.

平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.

(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示.

anp=l,AS/,ABda,ACu/j.

【规律方法】

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相

互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

F跟踪训练」

1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

(1)点P与直线A8；

(2)点C与直线AB；

⑶点M与平面AC；

(4)点Ai与平面4C；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面AB与平面AC.

2.根据下列条件画出图形：

平面an平面力=直线AB,直线“ua,直线bu£,a//AB,b//AB.

探究点二点、线共面问题

F例2J证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

［规律方法］

证明点、线共面的常用方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面小最后证明平

面a,£重合.

「跟踪训练」已知直线。〃b,直线/与a,。都相交，求证：过a,b,/有且只有一个平面.

探究点三三点共线、三线共点问题

「例3J如图所示，在正方体A8C£>-4BiGZ)i中，E、F分别为AB、的中点.求证：CE,

DRD4三线交于一点.

『互动探究」

『变条件、变问法J若将本例条件中的'£尸分别为A8,A4的中点”改成“E,尸分别为AB,

A4i上的点，且。iFCCE=AT,求证：点。、A、M三点共线.

【规律方法】

(1)证明三点共线的方法

潘亮我电而不:藤后［而m看冥

方法―一：这两个平面的公共点，根据基本事实3可知,

:这些点都在两个平面的交线上

方.一■瓦餐,席1碗比一春量属，在点证麻为

i一点也在此直线上

(2)证明三线共点的步骤

步骤一海庙褊泰篦线灰面直金耳二.

漏明复不太£京而存言王:异宜应言不

步骤二

;平面相交

潘蓟爰或¥i±施晨~次而海乳三爹兵反…

『跟踪训练」

1.如图，已知平面a,夕，且始夕=/,设梯形A8C£＞中，AD//BC,且A8ua,CDuQ.求证:

AB,CD,/共点.

2.如图，在四边形A8CZ）中，已知AB〃CD,直线AB,BC,AD,0c分别与平面a相交

于点E,G,H,F.求证：E,F,G,"四点必定共线.

『达标反馈』

I.能确定一个平面的条件是（）

A.空间三个点B.一个点和一条直线

C.无数个点D.两条相交直线

2.经过同一条直线上的3个点的平面（）

A.有且只有一个B.有且只有3个

C.有无数个D.不存在

3.如果直线nu平面a,直线匕u平面a,MWa,N&b,M0,N0,贝|()

A.luaB.l<ta

C.ICia—MD.ir\a—N

4.如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()

A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点

C.仅有两个公共点D.有无数个公共点

5.说明语句“/ua,wAa=A,A£/表示的点、线、面的位置关系，并画出图形.

★参*考*答*案★

「新知初探J

1.(1)无限延展

(2)平行四边形横向竖向

(3)ABCDACBD

2.SCGu

IC\m=AaC\p=l

3.不在一条直线上有且只有

两个点lua

公共直线楙=1,且PC/

「基础自测』

S「答案」：(l)x(2)x(3)<(4)x(5)x

何『解析」：选A.选项B,C,D中直线a在平面a外，选项A中直线a在平面a内.

@『解析」：选A.观察图知：PCI,P&a,/ua,则/ea是错误的.

也『解析」：选C.对于A,直线AB在平面a内，应.为ABua,故A错误;

对于B,直线a在平面a,£内，应为aua,aup,故B错误:

对于C,因为Ada，qua,所以Ada,故C正确；

对于D,A^a,aua,有可能AGa,故D错误.故选C.

❺「答案J：3c邮(2)ACa(3)ABCa=B(4)CQua⑸aC£=BD

『探究互动』

探究点一图形、文字、符号语言的相互转化

『例U

『解』(1)符号语言表示：平面平面平面ABCC平面A£>C=AC.用图形

表示如图①所示.

(2)文字语言叙述为：点A在平面a与平面B的交线/上，直线AB,AC分别在平面a,6内，

图形语言表示如图②所示.

r跟踪训练」

1.解：⑴点Pe直线AB.

⑵点CC直线AB.

(3)点MG平面AC

(4)点A淳平面AC

(5)直线A8A直线3。=点B.

(6)直线A8u平面AC.

(7)平面48。平面AC=直线AB.

探究点二点、线共面问题

『例2J

『解』已知：如图所示，1\C\11—A,12nh=B,l\C\l3—C.

求证：直线/”12,/3在同一平面内.

证明：法一：(纳入平面法)

因为/£/2=A,所以/1和/2确定一个平面a.

因为，2C/3=B,所以BG/2.

又因为bua,所以BGa.同理可证Cda.

又因为Be*C曰3,所以bua.

所以直线/1，12,/3在同一平面内.

法二：(辅助平面法)

因为/£/2=A，所以/1，/2确定一个平面a.

因为/2(1/3=8,所以/2,/3确定一个平面K

因为Ae/2，hua,所以Ada.

因为AG/2，1口,所以

同理可证8Ga,CG«,CG4

所以不共线的三个点A,B,C既在平面a内，又在平面夕内.

所以平面a和6重合，即直线人12,A在同一平面内.

『跟踪训练』

证明：如图所示.由已知a〃从

所以过小〃有且只有一个平面a.

设“n/=A,br\i=B,

所以Ada,BWa,且Ae/,fie/,

所以/ua.即过a,b,/有且只有一个平面.

探究点三三点共线、三线共点问题

『例3J

『证明』连接EF,D\C,A\B,

因为E为48的中点，F为A4i的中点，所以EF幺;4B

又因为Ai8幺。C所以E/吆

所以E,F,2，C四点共面，可设QiFnCE=P.

又OiFu平面4£)|D4,CEu平面4BCC,

所以点P为平面A\D\DA与平面ABCD的公共点.

又因为平面AIQID4rl平面ABCD=DA,

所以据基本事实3可得PGD4,

即CE,D\F,D4三线交于一点.

「互动探究」

「变条件、变问法」

证明：因为。i/T!CE=M,且。iFu平面AIDIDA,

所以MG平面AI£>ID4,同理MG平面BCD4,

从