备考2025届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点2圆锥曲线在实际生活中的应用

命题点2圆锥曲线在实际生活中的应用例3（1）[2024高三名校联考（二）]如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后（A，F2，B三点共线），分别经过点C和点D，且cos∠BAC＝－35，AB⊥BDA.52 B.173 C.102 解析如图，连接AF1，BF1，设｜AF2｜＝m，｜BF2｜＝n，由双曲线的定义可得｜AF1｜＝2a＋m，｜BF1｜＝2a＋n，由cos∠BAC＝－35，可得cos∠F1AF2＝35，在Rt△AF1B中，sin∠F1AF2＝2a＋n2a＋m＝45①，（2a＋n）2＋（m＋n）2＝（在△AF1F2中，可得4c2＝m2＋（2a＋m）2－2m（2a＋m）·35③由①②可得n＝23a，m＝43a，代入③可得9c2＝17（2）某学习小组探讨一种卫星接收天线（如图1所示）时，发觉其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形态为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.2m，深度为1m，则该抛物线的标准方程为y2＝6.76x.解析如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上，｜AB｜＝5.2.设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），由已知条件可得，点A（1，2.6）在抛物线上，所以2p＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为y2＝6.76x.训练2[2024上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气概雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF（部分）组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知｜AB｜＝44m，∠A＝45°，｜AC｜＝4m，｜CD｜＝5m，立柱｜DN｜＝5.55m.图1 图2（1）求立柱｜CM｜及横梁｜MF｜；（2）求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高｜OH｜.解析（1）由∠A＝45°，可知｜CM｜＝｜AC｜＝4m.因为四边形ABFM是等腰梯形，由对称性知：｜AC｜＝｜BE｜＝4m，所以｜MF｜＝｜CE｜＝｜AB｜－｜AC｜－｜EB｜＝44－4－4＝36（m）.（2）由（1）知｜CH｜＝｜AH｜－｜AC｜＝18，所以点M的横坐标为－18，则N的横坐标为－（18－5）＝－13.设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，由图形，知｜y1－y2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），将点M，N的坐标代入，得（－18）2＝－2py1，（－13）2＝－2py2，两式相减，得2p（y2－y1）＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线的方程为x因此，当x＝－18时，y＝－1100x2＝－1100×324＝－故｜y1｜＝3.24，所以桥梁的拱高｜OH｜＝3.24＋4＝7.24（m）.强化训练1.[命题点2/2024北京市陈经纶中学模拟]如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝163，｜F1F2｜＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为13解析以F1F2的中点为原点，F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由BC⊥F1F2及椭圆性质可得，BC为椭圆的通径，所以｜F1B｜＝b2a＝163，｜F1F2｜＝2c＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝42，所以截口BAC2.[命题点2/2024东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，依据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC所在抛物线的方程为x2=-80y，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为解析设桥拱所在抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），由题图可知，曲线经过点C（20，－5），代入方程得202＝－2p×（－5），解得p＝40，所以桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y.因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：（x－14）2＝－2p'y，由题图知抛物线C1经过点C（20，－5），则（2