高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)5.1三角函数的定义(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

5.1三角函数的定义（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一扇形的弧长与面积【例1-1】(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．【例1-2】(2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知点，是圆：上两点，动点从出发，沿着圆周按逆时针方向走到，其路径长度的最小值为（

）A． B．C． D．【例1-3】(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.3．(2023·上海·高三专题练习）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.考点二三角函数的定义【例2-1】(2023·河南）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（

）A． B．或 C． D．【例2-2】(2023·全国·模拟预测）已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（

）A． B． C． D．2．(2023·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐标系中，已知角的终边与圆相交于点，角满足，则的值为（

）A． B． C． D．3．(2023·重庆八中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点在第一象限内.若，则（

）A． B． C． D．考点三判断三角函数值的正负【例3-1】．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【例3-2】(2023·陕西·西安中学模拟预测（文））已知，则（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·全国·高三专题练习（理））若，的化简结果是（

）．A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·重庆八中高三阶段练习）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（

）A． B． C． D．2(2023·全国·高三专题练习）已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习（理））如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．考点四三角函数线【例4-1】（2023·河南·高三阶段练习（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．【例4-2】(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）设,则下列命题:①;②;③是单调减函数.其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．33．(2023·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A． B．C． D．5.1三角函数的定义（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一扇形的弧长与面积【例1-1】(2023·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．答案：【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积所以莱洛三角形的面积是.故答案为：【例1-2】(2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知点，是圆：上两点，动点从出发，沿着圆周按逆时针方向走到，其路径长度的最小值为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】设点在的终边，在的终边上，设,，优弧的圆心角为弧长=，故选:C【例1-3】(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（

）A．12π B．8π C．6π D．4π答案：C【解析】如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.易知，，又，，∴，则，∴P的轨迹长度为6π，故选：C.【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，，所以，所以，设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，由正弦定理得，所以，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：A．2．(2023·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.答案：【解析】如图，在棱长为6的正方体中，则平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，，，由，知，化简整理得，，圆心，半径的圆，所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的其中，，，则由弧长公式知故答案为：.3．(2023·上海·高三专题练习）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.答案：【解析】因为球的半径为，球面上两点，的最短距离为，所以，设经过，两点的平面截球所得的圆面为圆，则平面，且，所以截面圆圆的半径，连接，因为，，所以线段，在中，，，由余弦定理可得：，所以，所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积，即为：，故答案为：.考点二三角函数的定义【例2-1】(2023·河南）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（

）A． B．或 C． D．答案：D【解析】．因为，，，所以，所以，故选：D．【例2-2】(2023·全国·模拟预测）已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题知，点到原点的距离为，，，.故选：C.【一隅三反】1．(2023·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】角和角的终边关于直线对称，则，．．故选：C．2．(2023·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐标系中，已知角的终边与圆相交于点，角满足，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由三角函数定义可知，，，，，故选：．3．(2023·重庆八中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点在第一象限内.若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为角的终边与单位圆的交点在第一象限内，所以，.因为，所以，即，将代入，得，即，解得，当时，（舍）；当时，；所以.故选：C.考点三判断三角函数值的正负【例3-1】．(2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：C【解析】因为角第二象限角,所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．【例3-2】(2023·陕西·西安中学模拟预测（文））已知，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，，所以另解：因为，所以，，所以．故选：C【例3-3】(2023·全国·高三专题练习（理））若，的化简结果是（

）．A． B． C． D．答案：C【解析】由，，得，故选：C．【一隅三反】1．(2023·重庆八中高三阶段练习）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】由三角函数定义，，所以，对于A选项，当时，，时，，时，，所以选项A符号无法确定；对于B选项，，所以选项B符号确定；对于C选项，，故当时，，时，，时，，所以选项C的符号无法确定；对于D选项，，所以选项D符号确定.所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.故选：AC.2(2023·全国·高三专题练习）已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为是第二象限角，所以，，则，，所以为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，所以选项A不一定正确；可能不存在，选项B也不一定正确；又，，是第一象限或第三象限角，则选项C正确，选项D不一定正确.故选:C．3．(2023·全国·高三专题练习（理））如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由于，则．设与相平行的直线的方程为，当直线过点时，；当直线过点和时，；直线过点和时，．则由图中阴影部分可得或，这里．则一定有．考点四三角函数线【例4-1】（2023·河南·高三阶段练习（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为时，，，所以，又，所以故选：D【例4-2】(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】先证明：当0＜x＜时，如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函数在上单调递增，所以又由函数在上单调递减，则所以所以，即故选：C．【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由已知点在第一象限得：，，即，，当，可得，．当，可得或，．或，．当时，或．，或．故选：B．2．(2023·全国·高三专题练习）设,则下列命题:①;②;③是单调减函数.其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】对于①，在如图所示的单位圆中，设，则,因为，所以由可得，即，所以①正确；对于②，令，所以，因为