新高考高中数学核心知识点全透视专题15.4应用导数研究函数的性质(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题15.4应用导数研究函数的性质（专题训练卷）一、单选题1．(2023·全国高考真题（理））函数的图像大致为()A． B．C． D．2．（2023·广东东莞�高二期末）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．3．（2023·江苏常熟�高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4.（2023·海南高三月考）已知函数，则()A．是奇函数，且在上单调递减B．是奇函数，且在上先递减再递增C．是偶函数，且在上单调递减D．是偶函数，且在上先递减再递增5．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．6．（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数在内恰有个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2023·海南高三月考）若，则下列结论一定正确的是()A． B． C． D．8.（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题9.（2023·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点C．函数在区间上单调递增D．函数在处切线的斜率小于零10.（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（）A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)11．（2023·全国高二课时练习）（多选）对于函数，以下选项正确的是（）A．有2个极大值 B．有2个极小值 C．1是极大值点 D．1是极小值点12.（2023·海南高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（）A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于三、填空题13．（2023·全国高二课时练习）函数的增区间为________，减区间为________.14．（2023·全国高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.15．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1].若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________.16．（2023·全国高二课时练习）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.四、解答题17.（2023·全国高三专题练习）已知函数，，讨论函数的单调区间.18．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值点以及极值；（3）求函数的值域.19.（2023·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.20.(2023·北京高考真题（理））设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．21.(2023·北京高考真题（理））已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．22．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数，.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）求函数在区间上的最小值.专题15.4应用导数研究函数的性质（专题训练卷）一、单选题1．(2023·全国高考真题（理））函数的图像大致为()A． B．C． D．答案：B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.2．（2023·广东东莞�高二期末）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知，当时，当时，所以增区间为．故选：D．3．（2023·江苏常熟�高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A【解析】，，∵函数在区间内单调递增，∴导函数恒成立，则恒成立，故.故选：A．4.（2023·海南高三月考）已知函数，则()A．是奇函数，且在上单调递减B．是奇函数，且在上先递减再递增C．是偶函数，且在上单调递减D．是偶函数，且在上先递减再递增答案：C分析：根据已知条件求出，进而求出的奇偶性，最后利用导函数求在上的单调性即可求解.【详解】由可得，，故为偶函数，从而AB错误；由，当时，，故在上单调递减，所以C正确，D错误.故选：C.5．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据题意构造函数，利用导数研究函数的单调性，根据单调性结合即可求解.【详解】设，则，又，，所以，所以在上单调递减，由可得，故A错；由可得，即，故B错；由可得，即，故C错；因为，所以，得，故D正确.故选：D6．（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数在内恰有个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：D分析：利用辅助角公式将函数化为，再根据函数在内恰有个极值点，可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为，所以，又因为函数在内恰有个极值点，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.7．（2023·海南高三月考）若，则下列结论一定正确的是()A． B． C． D．答案：C分析：结合已知条件，首先对求导，进而求出的单调区间即可求解.【详解】由题意可得，的定义域为，，当；，故在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以与无法确定大小，且，，故ABD错误，C正确.故选：C.8.（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D分析：判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.【详解】∵∴又，∴函数为奇函数，又，且仅时，∴函数在R上为增函数，∴函数为R上的增函数，不等式可化为，∴∴∴或，∴实数的取值范围是，故选：D.二、多选题9.（2023·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点C．函数在区间上单调递增D．函数在处切线的斜率小于零答案：BC【解析】由图象得时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，故选：BC．10.（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（）A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)答案：AB分析：根据给定条件构造函数，利用导数探讨函数的单调性即可判断作答.【详解】依题意，令，则，于是得在R上单调递减，而ln2>0，2>0，则，，即，，所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).故选：AB11．（2023·全国高二课时练习）（多选）对于函数，以下选项正确的是（）A．有2个极大值 B．有2个极小值 C．1是极大值点 D．1是极小值点答案：BC分析：求导，分析导函数在其零点附近的符号即可分析出极值情况.【详解】由题得．令，解得；令，解得即，递增，，递减.于是是极小值点，是极大值点，则有2个极小值，1是极大值点．故选：BC.12.（2023·海南高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（）A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于答案：AC分析：求，设的两根分别为和，由和求出单调区间和极值点，计算的值可判断AB；计算，结合立方和公式计算的值可判断CD，进而可得正确选项.【详解】由可得，因为，所以，设的两根分别为和，则，，由可得：或，由可得：，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极大值，在时取得极小值，所以，的两极值点之和等于2，故选项A正确，选项B不正确；因为，，的两极值之和为，故选项C正确，选项D不正确，故选：AC.三、填空题13．（2023·全国高二课时练习）函数的增区间为________，减区间为________.答案：分析：利用导数与函数单调性的关系可求出原函数的增区间和减区间.【详解】因为，则，由可得，由可得.所以，函数的增区间为，减区间为.故答案为：；.14．（2023·全国高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.答案：0分析：求出导函数，由求得值，然后确定的正负，得单调性和极值．【详解】解：由题意知，，解得，，，令，解得或，令，解得，则函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数的极大值为.故答案为：0；．15．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1].若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________.答案：##分析：首先由条件可知，当时恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值问题.【详解】由已知条件得f′(x)＝2a＋.∵f(x)在(0，1]上是增函数，∴f′(x)≥0，即在x∈(0，1]上恒成立，即，而g(x)＝在(0，1]上是增函数，∴g(x)max＝g（1）＝.∴.当时，对x∈(0，1]有f′(x)≥0，且仅在x＝1时，f′(x)＝0.∴时，f(x)在(0，1]上是增函数.∴a的取值范围是.故答案为：16．（2023·全国高二课时练习）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.答案：分析：由题意可转化为导函数在区间上有3个不同的实数根，通过分离常数，转化为求函数的最值问题求解.【详解】.因为在上有3个不同的极值点，所以在上有3个不同的实根，所以在上有2个不同的实根（且不等于1）.由，得.令，则，显然函数在单调递减，在单调递增.又，因为，所以.故答案为：四、解答题17.（2023·全国高三专题练习）已知函数，，讨论函数的单调区间.答案：答案见解析分析：求得，求得函数的定义域为，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.【详解】由题意，函数的定义域为，且，①当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，解得或，令，解得，所以在、上单调递增，在上单调递减；③当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数在上单调递增；④当时，令，解得或，令，解得，所以在、上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减.18．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的极值点以及极值；（3）求函数的值域.答案：(1)；

(2)极值点为，极小值为，极大值为；

(3)分析：(1)利用导数，求出，即可求出切线方程；(2)令得，讨论函数的变化情况，从而得到函数的极值；(3)由(2)知函数的单调性，确定函数的值域.【详解】由函数，知的定义域为R，得，(1)曲线在处的切线斜率为，又，所以曲线在处的切线方程为：；(2)令，得，即函数的极值点为，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在时取得极小值，在时取得极大值；(3)由(2)知在和单调递减，在单调递增，又时，；时，，所以函数的值域为.19.（2023·全国高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.分析：（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.20.(2023·北京高考真题（理））设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．答案：(1)1(2)（，）【解析】（Ⅰ）因为=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f(1)=3e≠0．所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，则当x∈(，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<