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文档简介
专题15.4应用导数研究函数的性质(专题训练卷)一、单选题1.(2023·全国高考真题(理))函数的图像大致为()A. B.C. D.2.(2023·广东东莞�高二期末)函数的单调递增区间是()A. B. C. D.3.(2023·江苏常熟�高二期中)若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.(2023·海南高三月考)已知函数,则()A.是奇函数,且在上单调递减B.是奇函数,且在上先递减再递增C.是偶函数,且在上单调递减D.是偶函数,且在上先递减再递增5.(2023·云南昆明一中高三月考(理))已知定义在上的函数的导函数为,,则下列不等关系成立的是()A. B.C. D.6.(2023·辽宁大连·高三期中)已知函数在内恰有个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.(2023·海南高三月考)若,则下列结论一定正确的是()A. B. C. D.8.(2023·河南许昌·高三月考(理))已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是()A. B.C. D.二、多选题9.(2023·江苏高二期末)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是()A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零10.(2023·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f(x)的导函数为,且,对任意的x∈R恒成立,则()A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)11.(2023·全国高二课时练习)(多选)对于函数,以下选项正确的是()A.有2个极大值 B.有2个极小值 C.1是极大值点 D.1是极小值点12.(2023·海南高三月考)已知,函数,则以下结论正确的是()A.的两极值点之和等于 B.的两极值点之和等于C.的两极值之和等于 D.的两极值之和等于三、填空题13.(2023·全国高二课时练习)函数的增区间为________,减区间为________.14.(2023·全国高二课时练习)已知函数在处取得极小值,则________,的极大值是_______.15.(2023·全国高二课时练习)已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,则a的取值范围为__________.16.(2023·全国高二课时练习)已知函数在区间上有3个不同的极值点,则实数a的取值范围是__________.四、解答题17.(2023·全国高三专题练习)已知函数,,讨论函数的单调区间.18.(2023·西城·北京十五中高三月考)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)求函数的极值点以及极值;(3)求函数的值域.19.(2023·全国高考真题(文))设函数,其中.(1)讨论的单调性;(2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.20.(2023·北京高考真题(理))设函数=[].(1)若曲线在点(1,)处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围.21.(2023·北京高考真题(理))已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.22.(2023·西城·北京十五中高三月考)已知函数,.(1)若曲线在点处的切线垂直于直线,求的值;(2)求函数在区间上的最小值.专题15.4应用导数研究函数的性质(专题训练卷)一、单选题1.(2023·全国高考真题(理))函数的图像大致为()A. B.C. D.答案:B【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:为奇函数,舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此选B.2.(2023·广东东莞�高二期末)函数的单调递增区间是()A. B. C. D.答案:D【解析】由已知,当时,当时,所以增区间为.故选:D.3.(2023·江苏常熟�高二期中)若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案:A【解析】,,∵函数在区间内单调递增,∴导函数恒成立,则恒成立,故.故选:A.4.(2023·海南高三月考)已知函数,则()A.是奇函数,且在上单调递减B.是奇函数,且在上先递减再递增C.是偶函数,且在上单调递减D.是偶函数,且在上先递减再递增答案:C分析:根据已知条件求出,进而求出的奇偶性,最后利用导函数求在上的单调性即可求解.【详解】由可得,,故为偶函数,从而AB错误;由,当时,,故在上单调递减,所以C正确,D错误.故选:C.5.(2023·云南昆明一中高三月考(理))已知定义在上的函数的导函数为,,则下列不等关系成立的是()A. B.C. D.答案:D分析:根据题意构造函数,利用导数研究函数的单调性,根据单调性结合即可求解.【详解】设,则,又,,所以,所以在上单调递减,由可得,故A错;由可得,即,故B错;由可得,即,故C错;因为,所以,得,故D正确.故选:D6.(2023·辽宁大连·高三期中)已知函数在内恰有个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案:D分析:利用辅助角公式将函数化为,再根据函数在内恰有个极值点,可得,从而可得出答案.【详解】解:,因为,所以,又因为函数在内恰有个极值点,所以,解得,所以实数的取值范围是.故选:D.7.(2023·海南高三月考)若,则下列结论一定正确的是()A. B. C. D.答案:C分析:结合已知条件,首先对求导,进而求出的单调区间即可求解.【详解】由题意可得,的定义域为,,当;,故在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以与无法确定大小,且,,故ABD错误,C正确.故选:C.8.(2023·河南许昌·高三月考(理))已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围是()A. B.C. D.答案:D分析:判断函数的奇偶性和单调性,利用函数的性质解不等式.【详解】∵∴又,∴函数为奇函数,又,且仅时,∴函数在R上为增函数,∴函数为R上的增函数,不等式可化为,∴∴∴或,∴实数的取值范围是,故选:D.二、多选题9.(2023·江苏高二期末)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是()A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零答案:BC【解析】由图象得时,,时,,故在单调递减,在单调递增,故是函数的极小值点,故选:BC.10.(2023·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f(x)的导函数为,且,对任意的x∈R恒成立,则()A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)答案:AB分析:根据给定条件构造函数,利用导数探讨函数的单调性即可判断作答.【详解】依题意,令,则,于是得在R上单调递减,而ln2>0,2>0,则,,即,,所以f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0).故选:AB11.(2023·全国高二课时练习)(多选)对于函数,以下选项正确的是()A.有2个极大值 B.有2个极小值 C.1是极大值点 D.1是极小值点答案:BC分析:求导,分析导函数在其零点附近的符号即可分析出极值情况.【详解】由题得.令,解得;令,解得即,递增,,递减.于是是极小值点,是极大值点,则有2个极小值,1是极大值点.故选:BC.12.(2023·海南高三月考)已知,函数,则以下结论正确的是()A.的两极值点之和等于 B.的两极值点之和等于C.的两极值之和等于 D.的两极值之和等于答案:AC分析:求,设的两根分别为和,由和求出单调区间和极值点,计算的值可判断AB;计算,结合立方和公式计算的值可判断CD,进而可得正确选项.【详解】由可得,因为,所以,设的两根分别为和,则,,由可得:或,由可得:,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以在时取得极大值,在时取得极小值,所以,的两极值点之和等于2,故选项A正确,选项B不正确;因为,,的两极值之和为,故选项C正确,选项D不正确,故选:AC.三、填空题13.(2023·全国高二课时练习)函数的增区间为________,减区间为________.答案:分析:利用导数与函数单调性的关系可求出原函数的增区间和减区间.【详解】因为,则,由可得,由可得.所以,函数的增区间为,减区间为.故答案为:;.14.(2023·全国高二课时练习)已知函数在处取得极小值,则________,的极大值是_______.答案:0分析:求出导函数,由求得值,然后确定的正负,得单调性和极值.【详解】解:由题意知,,解得,,,令,解得或,令,解得,则函数在区间和上单调递增,在区间上单调递减,所以函数的极大值为.故答案为:0;.15.(2023·全国高二课时练习)已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,则a的取值范围为__________.答案:##分析:首先由条件可知,当时恒成立,参变分离后,转化为求函数的最值问题.【详解】由已知条件得f′(x)=2a+.∵f(x)在(0,1]上是增函数,∴f′(x)≥0,即在x∈(0,1]上恒成立,即,而g(x)=在(0,1]上是增函数,∴g(x)max=g(1)=.∴.当时,对x∈(0,1]有f′(x)≥0,且仅在x=1时,f′(x)=0.∴时,f(x)在(0,1]上是增函数.∴a的取值范围是.故答案为:16.(2023·全国高二课时练习)已知函数在区间上有3个不同的极值点,则实数a的取值范围是__________.答案:分析:由题意可转化为导函数在区间上有3个不同的实数根,通过分离常数,转化为求函数的最值问题求解.【详解】.因为在上有3个不同的极值点,所以在上有3个不同的实根,所以在上有2个不同的实根(且不等于1).由,得.令,则,显然函数在单调递减,在单调递增.又,因为,所以.故答案为:四、解答题17.(2023·全国高三专题练习)已知函数,,讨论函数的单调区间.答案:答案见解析分析:求得,求得函数的定义域为,分、、、四种情况讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数的增区间和减区间.【详解】由题意,函数的定义域为,且,①当时,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减;②当时,令,解得或,令,解得,所以在、上单调递增,在上单调递减;③当时,对任意的,且不恒为零,此时,函数在上单调递增;④当时,令,解得或,令,解得,所以在、上单调递增,在上单调递减.综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在、上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在、上单调递增,在上单调递减.18.(2023·西城·北京十五中高三月考)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)求函数的极值点以及极值;(3)求函数的值域.答案:(1);
(2)极值点为,极小值为,极大值为;
(3)分析:(1)利用导数,求出,即可求出切线方程;(2)令得,讨论函数的变化情况,从而得到函数的极值;(3)由(2)知函数的单调性,确定函数的值域.【详解】由函数,知的定义域为R,得,(1)曲线在处的切线斜率为,又,所以曲线在处的切线方程为:;(2)令,得,即函数的极值点为,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以函数在时取得极小值,在时取得极大值;(3)由(2)知在和单调递减,在单调递增,又时,;时,,所以函数的值域为.19.(2023·全国高考真题(文))设函数,其中.(1)讨论的单调性;(2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.答案:(1)的减区间为,增区间为;(2).分析:(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据及(1)的单调性性可得,从而可求a的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为,又,因为,故,当时,;当时,;所以的减区间为,增区间为.(2)因为且的图与轴没有公共点,所以的图象在轴的上方,由(1)中函数的单调性可得,故即.20.(2023·北京高考真题(理))设函数=[].(1)若曲线在点(1,)处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围.答案:(1)1(2)(,)【解析】(Ⅰ)因为=[],所以f′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)=[ax2–(2a+1)x+2]ex.f′(1)=(1–a)e.由题设知f′(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.若a>,则当x∈(,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)<0在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<
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