高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)8.2二项式定理(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

8.2二项式定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一指定项的系数【例1-1】(2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4【例1-2】(2023·广东模拟）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（）A．-210 B．3360 C．210 D．16【例1-3】(2023·广州模拟）若，则．【一隅三反】1．(2023·汕头模拟）的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A．84 B．56 C．35 D．213．(2023·莆田三模）（多选）下列说法正确的是（）A．展开式中的常数项为-32B．展开式中的各项系数之和为1C．展开式中的系数为40D．展开式中的二项式系数之和为3224．(2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）A．n=9 B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1考点二多项式的系数【例2-1】(2023·济南二模）的展开式中，常数项为（）A．2 B．6 C．8 D．12【例2-2】．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（）A．-480 B．480 C．-240 D．240【例2-3】(2023·临沂二模）已知的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中的系数为（）A．-120 B．-40 C．40 D．120【一隅三反】1．(2023·浙江模拟）在的展开式中含和含的项的系数之和为（）A．-674 B．-675 C．-1080 D．14852．(2023·芜湖模拟）在的展开式中，项的系数为（）A．5 B．-5 C．15 D．-153．(2023·聊城模拟）的展开式中项的系数为（）A．-120 B．-40 C．80 D．2004．(2023·商丘模拟）已知的展开式中各项系数之和为-32，则该展开式中含的项的系数为（）A．-30 B．-20 C．-15 D．-10考点三系数和【例3】(2023·岳阳模拟）（多选）已知则（）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·潮州二模）设，则．2．(2023·云南模拟）若，则的值为．3．设（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100，求下列各式的值．（1）a0；（2）a1+a2+a3+…+a100；（3）a1+a3+a5…+a99；（4）（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2；（5）|a0|+|a1|+…+|a100|．考点四二项式定理的运用【例4-1】(2023·潍坊模拟）除以7的余数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【例4-2】．（2023·全国·高二课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为A．106 B．107 C．108 D．109【一隅三反】1.（2023·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．132．（2023·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（）A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二3．（2023·全国·高二课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.348.2二项式定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一指定项的系数【例1-1】(2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．故答案为：C【例1-2】(2023·广东模拟）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（）A．-210 B．3360 C．210 D．16答案：B【解析】数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，故二项式为，其展开式的通项公式，令，解得，故常数项为.故答案为：B.【例1-3】(2023·广州模拟）若，则．答案：-56【解析】由题意可知，，展开式的通项公式为，由，得出求的项是.令，解得，所以.故答案为：-56.【一隅三反】1．(2023·汕头模拟）的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】由题意的展开式的，令，得，当时，n取到最小值3.故答案为：B．2．(2023·江阴模拟）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A．84 B．56 C．35 D．21答案：B【解析】因为二项式为，所以其展开式中，含项的二项式系数为：，，，，，.故答案为：B3．(2023·莆田三模）（多选）下列说法正确的是（）A．展开式中的常数项为-32B．展开式中的各项系数之和为1C．展开式中的系数为40D．展开式中的二项式系数之和为32答案：A,C,D【解析】对于A，常数项应为，则A符合题意；对于B，令，得，即展开式中的各项系数之和为-1，则B不符合题意；对于C，展开式的通项公式为，令，得，则，即展开式中的系数为40，则C符合题意；对于D，展开式中的二项式系数之和为，D符合题意.故答案为：ACD24．(2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）A．n=9 B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1答案：A,D【解析】由，可得n=9，则A判断正确；B判断错误；的展开式的通项公式为令，则，则展开式的常数项是.C判断错误；展开式中所有项的系数和是.判断正确.故答案为：AD考点二多项式的系数【例2-1】(2023·济南二模）的展开式中，常数项为（）A．2 B．6 C．8 D．12答案：D【解析】，展开式的通项为：，当即时，，所以的展开式中，常数项为12.故答案为：D.【例2-2】．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（）A．-480 B．480 C．-240 D．240答案：A【解析】看成是6个相乘，要得到.分以下情况：6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为-480.故答案为：A【例2-3】(2023·临沂二模）已知的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中的系数为（）A．-120 B．-40 C．40 D．120答案：A【解析】在二项式中，令，可得，解得，的展开式通项为，因为，在，令，可得，在中，令，可得，因此，展开式中的系数为.故答案为：A.【一隅三反】1．(2023·浙江模拟）在的展开式中含和含的项的系数之和为（）A．-674 B．-675 C．-1080 D．1485答案：A【解析】，则的系数为1，的系数为，所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．故答案为：A．2．(2023·芜湖模拟）在的展开式中，项的系数为（）A．5 B．-5 C．15 D．-15答案：B【解析】，表示5个相乘，展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，第二种是中选出4个和1个，所以展开式中含有项有和，所以项的系数为.故答案为：B3．(2023·聊城模拟）的展开式中项的系数为（）A．-120 B．-40 C．80 D．200答案：B【解析】的展开式通项为，因为，在中，令可得，在中，令可得，因此，展开式中项的系数为.故答案为：B.4．(2023·商丘模拟）已知的展开式中各项系数之和为-32，则该展开式中含的项的系数为（）A．-30 B．-20 C．-15 D．-10答案：D【解析】令得，，解得，所以的展开式中含的项的系数为．故答案为：D.考点三系数和【例3】(2023·岳阳模拟）（多选）已知则（）A． B．C． D．答案：A,D【解析】因为，令，则，A符合题意；令，则，所以，B不符合题意；令，则，所以，，，所以，C不符合题意；对两边对取导得，再令得，D符合题意；故答案为：AD【一隅三反】1．(2023·潮州二模）设，则．答案：9【解析】在中，令得，，，所以，．故答案为：9.2．(2023·云南模拟）若，则的值为．答案：-32【解析】令，可得。故答案为：-32。3．设（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100，求下列各式的值．（1）a0；（2）a1+a2+a3+…+a100；（3）a1+a3+a5…+a99；（4）（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2；（5）|a0|+|a1|+…+|a100|．答案：（1）a0=2100（2）﹣2100（3）．（4）1（5）【解析】在（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100中，（1）令x=0可得a0=2100．（2）令x=1，可得2100+a1+a2+a3+…+a100=①，∴a1+a2+a3+…+a100=﹣2100．（3）令x=﹣1，可得得2100﹣a1+a2﹣a3+…+a100=②，由①②求得a1+a3+a5…+a99=．（4）由①②还可得到a0+a2+…+a100=，∴（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2=（a0+a1+a2+…a100）（a0﹣a1+a2+…+a100）=（2﹣）100•（2+）100=1．（5）|a0|+|a1|+…+|a100|即（2+x）100的展开式中各项系数的和，在（2+x）100的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为．考点四二项式定理的运用【例4-1】(2023·潍坊模拟）除以7的余数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】，则，又是7的倍数，故余数为3.故答案为：D.【例4-2】．（2023·全国·高二课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为A．106 B．107 C．108 D．109答案：B【解析】∵，∴.故选B【一隅三反】1.（2023·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．13答案：D【解析】由，∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，∴，当k=1时，m=13满足题意.故选：D2．（2023