福建省莆田市秀屿区毓英中学2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

数学（满分150分，完卷时间120分钟）一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.下列各数中是无理数（）A.1.010010001 B. C. D.答案：C解析：详解：是无理数，1.010010001，，是有理数，故选：C．2.杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，有最高2600000人同时在抖音收看直播．将数字2600000用科学记数法表示应为（）．A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：，共有位数字，的后面有位，，故选：D．3.按如图摆放的几个几何体，左视图为三角形的是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：A、左视图是长方形，不符合题意；B、左视图是三角形，符合题意；C、左视图是圆，不符合题意；D、左视图是长方形，不符合题意；故选：B．4.下列说法不正确的是（）A.矩形的对角线相等且互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分C.正方形的对角线相等且互相垂直平分D.平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形答案：D解析：详解：解：A．矩形的对角线相等且互相平分，故A正确，不符合题意；B．菱形的对角线互相垂直平分，故B正确，不符合题意；C．正方形的对角线相等且互相平分，故C正确，不符合题意；D．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故D不正确确，符合题意．故选：D．5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：详解：解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；故选：．6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：∵，∴，∴，∵，∴；故选：C．7.已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：设轮船在静水中的速度为x千米／小时，列方程为：，故选C．8.在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：鞋号（码）…3334353637…脚长（毫米）……若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（）A.39 B.40 C.41 D.42答案：C解析：详解：解：根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为，根据题意，可得，解得，所以鞋号与脚长的关系式为，若小华的脚长为259毫米，可令，则有，解得，所以，他的鞋号（码）是41．故选：C．9.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：对于，当时，，则点，又∵点C的坐标为，∴，，过点D作轴于点E，如图所示：∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴点D的坐标为．故选：A．10.抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（）A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2＜m＜3 D.3＜m＜4答案：B解析：详解：把A(4,4)代入抛物线y=ax2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1，∴4a+b=，∵对称轴x=−,B(2,m)，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0<d≤1，∴0<|2−(−)|≤1∴0<||≤1，∴||≤1，∴a≥或a≤−，把B(2,m)代入y=ax2+bx+3得：4a+2b+3=m，2(2a+b)+3=m，2(2a+−4a)+3=m，−4a=m，a=-，∴-≥或-≤-，∴m≤3或m≥4.故答案选：B.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.因式分解：______．答案：解析：详解：解：，故答案：12.不等式组的解集是______．答案：解析：详解：解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，故答案为：．13.若一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是8cm，则其侧面展开图的面积是_____cm2．（结果保留π）答案：24π解析：详解：圆锥侧面展开图的面积＝×2×3π×8＝24π（cm2），故答案24π．14.若一组数据的方差为，则这组数据的众数为______．答案：解析：详解：解：由题意知，这组数据为、、、、、、、，，所以这组数据的众数为，故答案为：．15.如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为______．答案：解析：详解：解：设正六边形中心为，连接，，设正六边形的周长是，，，顺次连接正六边形各边的中点、、、、、得到的六边形为正六边形，，六边形的周长是，与六边形的周长比，故答案为：．16.如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则_____．答案：解析：详解：解：过点B作x轴的垂线交反比例函数与F，如图所示：则，，又点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，点D关于直线的对称点为点F，点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，，，直线的解析式为：，设，点C在反比例函数的图象上，，解得：，（舍去），点C的坐标为：，，点D的坐标为：，，，设直线的解析式为：，则：点，，点D和点F关于直线的对称，，点F的坐标为：，点F在反比例函数的图象上，，解得：，（舍去），点B的坐标为：，，，，，，，，即：，，，故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共86分．17.计算：．答案：解析：详解：解：．18.先化简，再求值：，其中．答案：，解析：详解：，当时，原式．19.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．求证：．答案：见解析解析：详解：解：由旋转的性质可得，，，∴，∴，又∵，∴，∴．20.2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）该校参加志愿者活动的大学生共有人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为度；（3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率．答案：（1）40，见解析（2）（3）解析：小问1详解：∵(人)，∴联络人数为：（人），故答案为：40．补图如下：小问2详解：根据题意，得，故答案为：．小问3详解：根据题意，画树状图如下：一共有12种等可能性，恰好是甲乙的可能性有2种，∴恰好甲乙的概率是．21.如图，在中，，是的平分线，且交于点．（1）在斜边上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）若，，求的长．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：如图，点即为所求；小问2详解：，，，，平分，，，，∴，∴，∴．22.一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：销售品种A种蔬菜B种蔬菜每吨获利（元）12001000其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？答案：（1）W＝200x+140000；（2）最多可获得利润156000元．解析：详解：解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000．（2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8，解得：x≤80．∴0＜x≤80．又∵在一次函数W＝200x+140000中，k＝200＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．23.根据以下素材，探索完成任务．探究遮阳伞下的影子长度素材1图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．素材2某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．素材3小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．问题解决任务1确定影子长度某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．任务2判断是否照射到这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？任务3探究合理范围小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．答案：任务1：米；任务2：会被照射到；任务3：解析：详解：解（1）如图1，过点作于点，过点作于点．，，，，，．，，，，四边形为矩形，，，，，在中，（米）．（2）方法1：如图2，过点作交于点．由（1）知，，．在中，，，．在中，，在中，，在中，当时，，小明刚好被照射到时离点的距离为，小明会被照射到．方法2：如图2，过点作交于点．与方法1同理得，得，，．在中，．小明会被照射到．（3）由（2）知，当时，；由（1）知，，当时，在中，，，，在中，，在中，当时，，；．24.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．（1）直接写出该抛物线的解析式；（2）如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；（3）如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．答案：（1）（2）（3）解析：小问1详解：解：∵抛物线的顶点为，且经过点，∴解得，∴该抛物线的解析式为；小问2详解：解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，∵，，∴，，把代入得，，∴，∴，设点，则，，∴，∵，∴，∴，即，整理得，，解得或（不合，舍去），∴；小问3详解：解：设，设直线的解析式为：，∴，即，∴直线的解析式为：，设，由，得，即：，∴，∴=∵线段的中点是，∴，，∴，∴，∴，∴当时，即时，是定值，∴．25.如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．（1）求证：；（2）如图2，若点在上，直接写出的值；（3）如图1，判定以，，为顶点的三角形的形