福建省莆田市秀屿区毓英中学2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)

数学试卷一．选择题（共10小题）1.下面四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意．

故选：A．2.一元二次方程的根为（）A. B. C.， D.，答案：C解析：详解：解：，即，解得：，，故选：C．3.如图，中，，，，则A. B. C. D.答案：A解析：详解：∵在中，，，，∴，∴.故答案为A.4.要得到抛物线y=（x﹣4）2，可将抛物线y=x2（）A向上平移4个单位 B.向下平移4个单位C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位答案：C解析：详解：解：∵的顶点坐标为（4，0），的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线向右平移4个单位，可得到抛物线．故选C．点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．5.已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是2，则这点在（）A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.都有可能答案：A解析：详解：解：∵点到圆心的距离是2，圆的半径为3，且，∴这点在圆内．故选：A6.如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：与位似，点为位似中心．已知，与的相似比为与的面积比为故选D7.如图，中，，则的度数为（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：∵OC⊥AB，∴，∴∠APC=∠BOC，∵∠APC=28°，∴∠BOC=56°，故选：D．8.如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A、C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（）A.45° B.50° C.60° D.65°答案：C解析：详解：解：连接OA、OC，∵AB，BC与⊙O相切，∴OA⊥AB，OC⊥BC，∴∠BAO=∠BCO=90°，∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，又∵点D在⊙O上，∴∠AOC=2∠D，∴∠B+2∠B=180°∴∠B＝60°．故选：C．9.把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.答案：A解析：详解：解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，故选：A．10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴，即，又∵方程的根为，∴，，∴函数，∴该函数图象的顶点为，如图，在对称轴直线右侧，随的增大而减小，在左侧，随的增大而增大，当时，函数的最小值为，最大值为，当时，解得或，∴．故选：C．二．填空题（共6小题）11.已知二次函数，当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）.答案：减小解析：详解：∵二次函数，开口向下，对称轴为y轴，

∴当x>0时，y随x的增大而减小．故填：减小.12.若，且相似比为，的周长为，则的周长是______．答案：解析：详解：解：∵，且相似比为，的周长为，的周长是，故答案为：15．13.若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是______．答案：解析：详解：解：如图：作点O作于点E，∵圆O是四边形的外接圆，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．故其半径等于．故答案为：．14.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…0…y……那么该抛物线的顶点坐标是______．答案：解析：详解：解：∵当时，，当时，，∴二次函数的对称轴为直线，∴二次函数顶点坐标为，故答案为：．15.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为______．答案：##解析：详解：解：过C作于点F，交于点E，设交于点G，由题意得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，，∴，∴，∴，故答案为：．16.如图，在边长为的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．连接CF，则CF的最小值为_________．答案：6解析：详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，此时∠AHB＝180°-120°=60°，∠AOB=2∠AHB=120°，∵AB=，OA=OB，∴OA＝AB÷=÷=6，∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴，∴∠AOC=∠AOB=60°，∠ACO=∠ACB=30°，∴∠CAO=90°，∴OC＝2OA＝12，设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC−ON＝12−6＝6．故答案为6．三．解答题（共9小题）17.．答案：3解析：详解：解：．18.解方程：答案：，解析：详解：解：∵，∴，∴，即，∴，∴，．19.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．答案：（1）2（2）135°解析：小问1详解：解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，∴△BEF为等腰直角三角形，由勾股定理得，，即EF=2．小问2详解：解：在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，∵，CE2＝5，∴，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝∠BFC=135°．20.如图，已知⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出劣弧的中点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：如图，AE为所作；∵平分，∴，∴．小问2详解：解：连接交于F，连接，如图，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，．21.某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？答案：（1），；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．解析：详解：（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少瓶，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润是（元），故答案为：，；（2）由题意得：，解得，，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）由题意得：，化成顶点式为，由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．22.设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形拱桥的示意图，测得水面宽16m，拱顶离水面的距离为4m．素材2一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．问题解决任务1确定拱桥半径求圆形拱桥的半径．任务2确定设计方案根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少能增加多少吨货物才能通过？答案：任务一：10m；任务二：不能，需增加吨货物解析：详解：解：任务1记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接（如图1）设桥拱的半径为，∵，，∴，∴，即圆形拱桥的半径为10米．任务2当是的弦时，记与的交点为M（如图2），则，∴，∴，∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米．∵，∴吨，∴至少需要增加吨的货物．23.如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点．（1）求证：为的切线；（2）当，时，求长．答案：（1）证明见解析（2）解析：小问1详解：证明：连接．∵，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵为的半径，∴为的切线；小问2详解：连接．而，，，∴，解得：，∵是直径，∴，，而，∴，∴，∴，∴．24.证明体验：（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．思考探究：（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．拓展延伸：（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．答案：（1）见解析；（2）；（3）解析：详解：解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如图，在上取一点F，使得，连结．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．25.已知抛物线过点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）．①当点A的横坐标是时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；②点，点为抛物线上动点，以线段为直径的圆截定直线所得弦长为定值，求和弦长的值．答案：（1）（2）①