2025八年级上册数数学(RJ)13.4 课题学习 最短路径问题

2025八年级上册数数学(RJ)13.4课题学习最短路径问题第十一章三角形教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分1.问题引入（见幻灯片3）11.1.1三角形的边学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题自主学习自主学习一、知识链接1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三边关系：___________________________________；(2)直角三角形中边的关系：______________________________.4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-15）课堂探究要点探究实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究点1：实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.想一想：1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？要点归纳：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗？证明：教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片16-24教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片16-24）典例精析例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边.（2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.教学备注配套PPT讲授比一比：教学备注配套PPT讲授要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.想一想：如何说明此时AM+MN+BN最短呢？想一想：如何说明此时AM+MN+BN最短呢？证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.针对训练如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，一个旅游船从大桥AB

的P

处前往山脚下的Q

处接游客，然后将游客送往河岸BC

上，再返回P

处，请画出旅游船的最短路径．3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必教学备注配套PPT教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片25-32）(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？牧人饮马问题二、课堂小结牧人饮马问题轴对称+线段公理最短路径问题轴对称+线段公理最短路径问题平移造桥选址问题平移造桥选址问题当堂检测当堂检测1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10B．15C．20D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．教学备注配套PPT教学备注配套PPT讲授5.课堂小结6.当堂检测（见幻灯片24-28）5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？拓展提升6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．第十四章整式的乘法与因式分解教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分14.1.1同底数幂的乘法学习目标：1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力.重点：掌握同底数幂的乘法法则.难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.自主学习自主学习一、知识链接忆一忆、填一填1.用科学记数法表示下列各数：(1)10000=_______;(2)1亿=___________.2.计算：（1）-2×（-2）=_________;（2）(-3)×3×（-1）×（-7）=__________.归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是______数时，积是正数；负因数的个数是_______时，积是负数（填“奇”或“偶”）.3.an表示______个a相乘，这种运算叫作______，其结果叫做______，其中a叫做______，n是________，即____个a____个a二、新知预习问题引入：神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次的超级计算机.它工作103s可进行多少次运算？填一填：十亿亿次用科学记数法可以表示为__________;根据题意，可列算式为__________×103；议一议：3.观察所列算式，两个因式有何特点？归纳：把形如____________这种运算叫作同底数幂的乘法.想一想：1.根据乘方的意义，如何计算1017×103？1017×103=10()____个10____个10____个10____个10____个10____个102.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)25×22=2();(2)a3·a2=a();（3）5m×5n=5().你发现的规律是：am·an=___________.证一证：要点归纳：同底数幂的乘法法则：am·an=_________(m、n都是正整数).即同底数幂相乘，底数______,指数______.三、自学自测计算：(1)105×106=_____________;(2)a7·a3=_____________;(3)x5·x7=_____________;(4)(-b)3·(-b)2=_____________.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.问题引入教学备注配套PPT讲授1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）课堂探究要点探究探究点1：同底数幂的乘法法则注意：a=a1注意：a=a1根据乘法的运算律，计算下列各题：（1）a2·a6·a3=（a2·______）·______=a________;（2）x·x2·x3=（x·______）·______=x________.比一比：am·an=_________am·an·ap=_________.想一想：如果将am中a的换成（x+y）,等式是否仍然成立？请说明理由.（x+y）m·（x+y）n_________（x+y）m+n(填“=”或“≠”）理由是：要点归纳：公式am·an=am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数式.典例精析例计算：(1)(a+b)4·(a+b)7;(2)(m-n)3·(m-n)5·(m-n)7;(3)(x－y)2·(y－x)5.方法总结:当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算.偶次幂与奇次幂的符号变化：(1)(－a)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an（n为偶数）,－an（n为奇数）；))(2)(a－b)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（b－a）n（n为偶数），,－（b－a）n（n为奇数）.))探究点2：同底数幂乘法法则的逆用想一想：am+n可以写成那两个因式的积？填一填：若xm=3，xn=2，那么，（1）xm+n=_____×_____=_____×_____=_____；（2）x2m=_____×_____=_____×_____=_____；（3）x2m+n=_____×_____=_____×_____=_____.方法总结：关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.典例精析例3：(1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；(2)已知23x＋2＝32，求x的值.方法总结：第（2）问的关键是将等式两边化为底数相同的幂的形式，然后根据指数相等列方程解答.教学备注3.探究点2新知讲授（见教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片17-19）1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.(1)b3·b3=2b3；(2)b3+b3=b6；(3)a·a5·a3=a8；(4)(-x)4·(-x)4=(-x)16；2.计算：①b3·b＝_______;②y2n-2·ym+2＝_______;③10×103×105＝_______;④＝_______;⑤(x－y)(x－y)3(x－y)2＝_______.3.（1）已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．（2）若82