2025七年级上册数数学4.1 从问题到方程

2025七年级上册数数学4.1从问题到方程4.1从问题到方程教学目标探索实际问题中的已知量和未知量之间的相等关系，并用方程描述，使学生初步感受用方程描述这种相等关系最简明；初步认识、体会方程与现实世界的密切联系；了解一元一次方程的概念．教学重难点【教学重点】探索实际问题中的数量关系并列出方程．【教学难点】改变用算术方法解应用题的习惯，学习如何从实际问题转化为方程.课前准备无教学过程一、情景引入1．如图，天平的左盘中有两个相同的小球和一个质量为1g的小球，右盘中有一个5g的砝码．怎样描述天平平衡时所表示的数量之间的相等关系？2．篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分．某篮球队赛了12场，共得20分．怎样描述其中数量之间的相等关系？总结：实际问题中已知量和未知量之间的相等关系，可以用多种不同的方式描述．通过比较可以看出，用方程描述这种相等关系最简明．学生思考问题：问题1．用什么表示这个等量关系（借助方程）？问题2．怎么列方程？理解篮球联赛规则后，学生思考：问题1．用什么表示这个等量关系（借助方程）？问题2．怎么列方程？观察列出的方程，____________叫做方程．练一练：1．下列各式中，是方程的有()个．（1）2x＋3（2）2＋5＝7（3）－2x＝3x＋2（4）－3＋0.4y＝8（5）x＋1＞3A.2B.3C.4D.52．设某数为x，根据下列条件列方程.（1）某数的65%与－2的差等于它的一半；（2）某数的EQ\F(1,2)与5的差等于它的相反数.想一想我国古代问题：以绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？如果设绳长为x尺，那么（eq\f(1,3)x－4）尺表示井深；类似地，（eq\f(1,4)x－1）尺也表示井深．于是，可以用方程eq\f(1,3)x－4＝eq\f(1,4)x－1来描述这个问题中数量之间的相等关系．二、数学运用例1用方程描述下列问题中数量之间的等量关系：某校七年级共有216名师生参加某次活动，用一辆面包车和若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐16人，还需用多少辆40座的客车？变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆40座的客车？变式训练二：用轿车和客车共9辆车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆轿车和多少辆40座的客车？例2用方程描述下列问题中数量之间的等量关系：（1）某种新鲜蔬菜经过脱水处理后，质量减少70%，为了得到这种脱水蔬菜100kg，需要这种新鲜蔬菜多少千克？（2）某学生从家到学校时，每小时走5千米；按原路返回时，每小时走4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟，则他去学校所用时间为多少小时？学生思考：问题一：等量关系是什么？问题二：怎么列方程？思考：如何用方程描述实际问题中的等量关系．三、课堂巩固（1）小张去商店买练习本，回来后问同学们：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠，我就买了20本，结果便宜了1.6元，你猜原来每本价格多少元？”这里如果设每本价格x元，则列方程得什么？你能写出所列方程吗？（2）A、B两地相距50千米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲每小时比乙多行2千米，若两人同时出发，经过3小时相遇．如果设甲的速度为x千米/小时，可列怎样的方程，请列出来．（3）有一根铁丝，第一次用了它的一半少1米，第二次用去了剩余的一半多1米，结果还剩2.5米，问这根铁丝原有多长？（只列方程不解答．）试一试课本P97．四、归纳一元一次方程的概念方程2x＋1＝5、2x＋（12－x）＝20、eq\f(1,3)x－4＝eq\f(1,4)x－1、8＋6（n－1）＝140、5＋x＝eq\f(1,4)（32＋x）等，它们都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）．像这样的方程，叫做一元一次方程．观察以上列出的方程，这几个方程有什么特点？练一练：1．下列方程中哪些是一元一次方程？①x＝1，②3x＋2＝8x－7，③x＋2y＝－EQ\F(1,3)，④2x－EQ\F(1,x)＝5，⑤－2x－3＝0．思考：如何判断一个方程是一元一次方程？未知数个数；（2）未知数指数；（3）是否为整式方程．2．若关于x的方程（k－1）x2＋x－1＝0是一元一次方程，则k＝．五、课堂小结通过这节课你学到了什么？学生思考：如何用方程描述实际问题的数量关系？用方程表达实际问题中数量关系的基本步骤是什么？一元一次方程的概念，如何判断一个方程是一元一次方程？六、课后作业课本P98习题A：1、2、3、B：4．4.2解一元一次方程第1课时教学目标1．了解方程的解，解方程的概念；2．掌握运用等式的基本性质解简单的一元一次方程；3．经历体会解方程中的转化思想．教学重难点【教学重点】运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．【教学难点】运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．课前准备无教学过程教学过程（教师）学生活动情境引入：怎样求一元一次方程2x＋1＝5，2x＋(12－x)＝20，EQ\F(1,3)x－4＝EQ\F(1,4)x－1，8＋6(n－1)＝140，5＋x＝EQ\F(1,4)(32＋x)中未知数的值呢？思考！一、方程的解和解方程做一做：填表：x123452x＋1当x＝_____时，方程2x＋1＝5两边相等．试一试：分别把0、1、2、3、4代入下列方程，哪一个值能使方程两边相等？（1）2x－1＝5；（2）3x－2＝4x－3．能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．求方程的解的过程叫做解方程．练一练：（1）在1、3、－2、0中，方程2x－1＝－5的解为．（2）在1、3、－2、0中，方程EQ\F(x－1,2)＝1的解为．填表，根据表格找出使得方程2x＋1＝5两边相等的未知数的值．（1）使2x－1＝5两边相等的未知数的值为3；（2）使3x－2＝4x－3两边相等的未知数的值为1．（1）方程2x－1＝－5的解为－2．（2）方程EQ\F(x－1,2)＝1的解为3．二、等式的基本性质方程2x＋1＝5可以变形如下：方程3x＝3＋2x可以变形如下：从以上的变形中，你发现等式具有怎样的性质？结合天平，观察方程的变形，概括出等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式．三、根据等式性质解一元一次方程例1解下列方程：（1）x＋5＝2；（2）－2x＝4．求方程的解就是将方程变形为x＝a的形式．议一议：若已知x＝2是关于x的方程2x＋3k＝4的解，则k的值为多少？解：（1）两边都减去5，得x＋5－5＝2－5．合并同类项，得x＝－3．（2）两边都除以－2，得EQ\F(－2x,－2)＝EQ\F(4,－2)，即x＝－2．因为x＝2是关于x的方程2x＋3k＝4的解，所以4＋3k＝4．两边都减去4，得3k＝0．两边都除以3，得k＝0．课堂练习：解下列方程：（1）x＋2＝－6；（2）－3x＝3－4x；（3）EQ\F(1,2)x＝3；（4）－6x＝2．独立完成，课堂交流．课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．4.2解一元一次方程第2课时教学目标1．会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程；2．通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法；3．进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想．教学重难点【教学重点】移项法则的归纳与应用．【教学难点】移项时改变项的符号．课前准备无教学过程一、问题引入解方程：（1）4x－15＝9；（2）3x＝10－2x．学生解答后，引导学生观察解题过程：问题一：解方程4x－15＝9时，能否直接把等式左边的－15改变符号移到等式右边？问题二：方程4x－15＝9与4x＝9＋15的差别在哪儿？问题三：解方程3x＝10－2x时，能否直接把等式右边的－2x改变符号移到等式左边？为什么？练一练：1.下面的移项对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）5＋x＝10移项得x＝10＋5；（2）3x＝2x＋8移项得3x＋2x＝－8；（3）-2x＋5＝4－3x移项得-2x＋3x＝4＋5．二、数学运用例1．解方程：（1）4x－13＝23（2）2x＝5x－21例2．解方程：（1）x－3＝4－EQ\F(1,2)x（2）EQ\F(1,3)x－1＝3x＋EQ\F(1,3)教师强调：（1）移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边．（2）移项要改变符号．例3．x为何值时，代数式4x＋3与－5x＋6的值．（1）相等？（2）互为相反数？（3）和为3？例4．如果关于x的方程－3x＋4＝5x－4与3(x＋1)＋4k＝11的解相同，试求k的值．并总结解方程的一般步骤：移项、合并同类项、系数化为1．三、思维拓展若5(y－2)2＋2＝7(y－2)2－8，试求(y－2)2的值．学生练习．拓展题的设计主要是把(y－2)2看成一个整体，再根据移项、合并同类项、系数化为1求解．四、课堂巩固1．如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值等于（）．A．EQ\F(9,2)B．－EQ\F(9,2)C．EQ\F(2,9)D．－EQ\F(2,9)2．如果3ab2n－1与abn＋1是同类项，则n是（）．A．2B．1