2025八年级上册数数学(RJ)15.2.3 整数指数幂

2025八年级上册数数学(RJ)15.2.3整数指数幂第十五章分式教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分15.2.3整数指数幂学习目标：1.理解负整数指数幂的意义.掌握整数指数幂的运算性质.3.会用科学记数法表示小于1的数.重点：掌握整数指数幂的运算性质.难点：熟练进行整数指数幂及其相关的计算.自主学习自主学习一、知识链接1.计算：(1)23×24=(2)(a2)3=(3)(-2a)2=(4)(-2)6÷(-2)3=(5)105÷105=(6)=2.正整数指数幂的运算性质有哪些？(1)am·an=(m、n都是正整数)；(2)(am)n=(m、n都是正整数)；(3)(ab)n=(n是正整数)；(4)am÷an=(a≠0,m,n是正整数，m>n)；（5）=(n是正整数）；（6）当a≠0时，a0=.3.如何用科学记数法表示一些绝对值较大的数？利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数整数位数减去.二、新知预习1.负整数指数幂的意义：当n是正整数时，=（a≠0）.2.整数指数幂的运算性质：(1)am·an=(m、n都是整数)；(2)(am)n=(m、n都是整数)；(3)(ab)n=(n是整数)；3.用科学记数法表示一些绝对值较小的数：利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.三、自学自测1.填空：(1）2-3=(2）(-2)-3=2.计算：(1)(x3y-2)2（2）x2y-2·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)33.用科学记数法表示下列各数：0.00004，-0.034，0.00000045，0.003009四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.问题引入教学备注配套PPT讲授1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-17）课堂探究要点探究探究点1：负整数指数幂问题1：am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？问题2：计算：a3÷a5=?(a≠0)要点归纳：当n是正整数时，=（a≠0）.即a-n(a≠0)是an的倒数.正整数指数幂的运算由此扩充到整数指数幂.典例精析例1：若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，则a、b、c的大小关系是()A．a＞b＝cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a方法总结：关键是理解负整数指数幂及零次幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．例2：计算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．例3：若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是()A．x＞3B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2D．x＜2方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0.例4：计算：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2016－π)0－|2－eq\r(3)|.方法总结:分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．探究点2：用科学记数法表示绝对值小于1的数想一想：你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？算一算：10－2=___________;10－4=___________;10－8=___________.议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？要点归纳：利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.典例精析例5：用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.教学备注3.探究点2新知讲授（见教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片18-24）计算：2.用科学记数法表示：（1）0.00003；（2）-0.0000064；（3）0.0000314；3.用科学记数法填空：（1）1s是1μs的1000000倍，则1μs＝______s；（2）1mg＝______kg；（3）1μm＝______m；（4）1nm＝______μm；（5）1cm2＝______m2；（6）1ml＝______m3.教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片25-27）要点归纳负整数指数幂的意义当n是正整数时，=（a≠0）.即a-n(a≠0)是an的倒数.整数指数幂的运算性质am·an=；(2)(am)n=；(3)(ab)n=；(4)am÷an=；（5）=；（6）当a≠0时，a0=.(以上m,n均为整数，且a，b≠0)用科学记数法表示较小的数利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.当堂检测当堂检测1.填空：(-3)2·(-3)-2=()；103×10-2=();a-2÷a3=();a3÷a-4=().2.计算：(1)0.1÷0.13；(2)(-5)2008÷(-5)2010；(3)100×10-1÷10-2；(4)x-2·x-3÷x2.3.计算：（1）（2×10－6）×（3.2×103）；（2）（2×10－6）2÷（10－4）3.4.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.（1）2×10－8（2）7.001×10－65.比较大小：（1）3.01×10－4_______9.5×10－3（2）3.01×10－4________3.10×10－46.用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=________.第十五章分式教学备注学生在课前完成自主学习部分15.3分式方程教学备注学生在课前完成自主学习部分第1课时分式方程及其解法学习目标：1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法.重点：掌握解分式方程的基本思路和解法.难点：理解分式方程无解的原因.自主学习自主学习一、知识链接1.下列哪些式子是方程？（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）2.解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾.解一元一次方程的步骤解方程：①去分母解：方程两边同时乘以10，得②去括号去括号，得③移项移项，得④合并同类型合并同类型，得⑤系数化为1系数化为1，得3.找出下列各组分式的最简公分母：与的最简公分母是.与的最简公分母是.二、新知预习问题1：什么是分式方程？要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程.问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？要点归纳：(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程；(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解.三、自学自测1.下列各式中，分式方程是（）A.B.C.D.2.解分式方程＝3时，去分母后变形为（）A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3(1－x)． D．2－(x＋2)＝3(x－1)3.解方程：(1)eq\f(x－2,x＋2)－1＝eq\f(3,x2－4)；(2)eq\f(2x,2x－3)－eq\f(1,2x＋3)＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.问题引入教学备注配套PPT讲授1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-5）课堂探究要点探究探究点1：分式方程的概念问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?【分析】1.题设中的所含的等量关系是.2.填空：（1）=+；（2）=+；速度时间路程顺航逆航解：设江水的流速为x千米/时.依题意，得问题2：此方程与我们所学过的方程有何差别？所列方程是整式方程吗？要点归纳：的方程叫做分式方程.典例精析例1：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？；；；；；.方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点2：分式方程的解法问题1：如何求分式方程的解呢？问题2：分式方程有解吗？问题3：解分式方程的基本思路是什么？需要注意的问题是什么？典例精析例1：解方程：(1)eq\f(5,x)＝eq\f(7,x－2)；(2)eq\f(1,x－2)＝eq\f(1－x,2－x)－3.方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．例2：关于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.例3：若关于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)无解，求m的值．方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．教学备注3.探究点2新知讲授（见教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片17-19）1.解方程：(1)；(2).2.若关于x的方程无解，求a的值.教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片20-23）内容易错提醒分式方程的相关概念分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.(1)用分式方程中的最简公分母同乘方程两边，注意不要漏乘没有分母的项，另外得出解后，要注意检验；(2)分式方程无解的两种情况：①将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是类似“0x＝1”的形式，即整式方程无解；②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0.分式方程的解法(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程；(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解(使最简公分母为零的根是原方程的增根).分式方程的增根解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.当堂检测当堂检测1.下列关于x的方程中，是分式方程的是()A.eq\f(3＋x,2)＝eq\f(2＋x,5)B.eq\f(2x－1,7)＝eq\f(x,2)C.eq\f(x,π)＋1＝eq\f(2－x,3)D.eq\f(1,2＋x)＝1－eq\f(2,x)2.要把方程化为整式方程，方程两边可以同乘以（）3.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（）A.2（x-8)+5x=16(x-7)B.2(x-8)+5x=8C.2(x-8)-5x=16(x-7)D.2(x-8)-5x=84．若关于x的分式方程无解，则m的值为()A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.53.解方程：第十五章分式教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分第2课时分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.重点：能通过列分式方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.自主学习自主学习一、知识链接1.解方程：2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1）；（2）；（3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案.3.列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习4.完成下面解题过程：小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？请找出上述问题中的等量关系；答：________________________________________________________________________.试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入x字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得_________________________.解这个方程得_____________________.经检验，__________________________.答：_____________________________________________________________.要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；第五步，作答．三、自学自测1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是()A.eq\f(300,x)－eq\f(20,60)＝eq\f(300,1.2x)B.eq\f(300,x)－eq\f(300,1.2x)＝20C.eq\f(300,x)－eq\f(300,x＋1.2x)＝eq\f(20,60)D.eq\f(300,x)＝eq\f(300,1.2x)－eq\f(20,60)四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.问题引入教学备注配套PPT讲授1.问题引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）课堂探究要点探究探究点1：利用分式方程解决工程问题典例精析例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？分析：设乙单独完成这项工程需要x天.填写下列表格，并完成解答.工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队方法总结:可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.针对训练抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？探究点2：利用分式方程解决行程问题例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？路程速度时间面包车小轿车相等关系方法总结：明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.教学备注3.探究点2新知讲授（见教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片17-19）1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地