初中数学向量的线性运算强化练习1

初中数学向量的线性运算强化练习1

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.下列条件不能判定与平行的是（）

A.即|方且B.a=2c,-b=cC.3a=-S,D.同=一|司

2.下列正确的有（）

①恂=恫

②7为单位向量，则心瓦可

③平面内向量4、2，总存在实数机使得向量"=

④若2=3+5，%〃4，万〃生，则指、5就是公在4、%方向上的分向量

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.在矩形ABC。中，下列结论中正确的是（）

AD

BC

卜=囱

A.AB=CDB.AC=BDC.4D.BO=-OD

4.己知£=7人下列说法中不正确的是（）

£与方向相同同=恸

A.a-7b=0B.5C.a//bD.7

5.下列各量中是向量的是（）

A.时间B.速度C.面积D.长度

6.已知四边形ABCQ满足而=反，且|而+而|=|而-而那么四边形A8C。

的形状是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

B.BC

C.CB

D.AD

8.下列关于向量的说法中，不.他的是（）

A.2（1+5）=2万+25

B.如果d=—2b，那么同=2忖

C.万是非零向量，e是单位向量，那么同刀=同

D.机（点）二（"?〃）万

二、填空题

9.如图，已知在梯形A3CQ中，AB//CD,AB=2CDf设丽=£,AD=b»那么

10.如图，点。是△ABC的边CB上的点，CD=2BD.设/=2，而=6,则而=

.（用含有。和b的式子表示）

11.若£与单位向量"方向相反，且长度为3,则3=（用单位向量工表示向量

£）

12.计算：-（a-2b）+2b=____.

2

13.如图，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,BC=5.EF是中位线，设标=£,则

FE=a.

14.如图，将而和可放置在3x3的正方形网格中，A、B、C、D、P、。均在格点

上，设通=£，~AD=b＞那么向量而=（用向量£、B来表示）.

D

15.已知向量入坂和1满足关系式%+3仅-号=6,那么用向量入坂的线性组合表

示向量（二

16.已知向量关系式垢+6,-4=6,那么向量篷.（用向量£与向量B表

示）

三、解答题

17.如图，E是平行四边形ABCO的边BA延长线上的一点，CE交AD于点、F,交BD

于点G,AE：AB=\：3,设丽=£,BC—h.

（1）用向量2、5分别表示下列向量：

______L1UU

AE=,EC=，EG=；

（2）在图中求作向量的分别在£、另方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结

果）

18.如图，D、E是AABC边A8上的点，F、G分别是边AC、8c上的点，且满足AO

=DE=EB,DF//BC,GE//AC.

（1）求证：FG//AB-,

（2）设C/i=3，CB=b＞请用向量£，B表示方.

LLU11

19.已知：如图，EF是AABC的中位线，设云？=万，BC=b.

（1）求向量而、EA（用向量占、方表示）;

（2）在图中求作向量而在两、衣方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所

20.如图，点E在平行四边形ABC。的对角线8。的延长线上.

（1）填空：DA+DC=:

AE-BC=;

（2）求作：AB+DE（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）.

21.如图，在AA8C中，点G是的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC于

点D,过点、G作GE//BC交边AC于点、E.

（1）如果通=£，AC=b，用入B表示向量的；

（2）当BG=6,NG4£>=45。时，求AE的长.

22.如图，已知AABC中，O£〃3C,且£>£：经过AABC的重心点G,BD=a>

BC=h.

（1）试用向量々、5表示向量而；

（2）求作向量,（3@-5）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.

参考答案:

I.D

【解析】

【分析】

根据平行向量的定义分析求解即可求得答案.

【详解】

A、引|6且^〃6,因此。〃6，故符合题意；

B、ci=2c,-b=c,因此引|5,故符合题意；

C、3。=-5,因此仄5方向相反，但不||6,故符合题意；

D、同=-问，没法确定仄5的方向，无法判定可防，故不符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的知识，掌握平行向量与向量的模的定义是关键.

2.A

【解析】

【分析】

根据向量的有关知识，对选项逐个判断即可.

【详解】

解：①恂=|胴,错误

②二为单位向量，则入恸4或心-忖高，错误,

③平面内向量2、工，总存在实数机使得向量"=，痴，只有£、"共线时才成立，说法错

误，

④而、百也可能是公在I、％反方向上的分向量，说法错误

故选A

【点睛】

此题考查了平面向量的基本知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

3.C

【解析】

答案第1页，共14页

【分析】

根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可.

【详解】

相等向量：长度相等且方向相同的两个向量.

A.AB=—CD，故该选项错误；

B.|AC|=|BD|,但方向不同，故该选项错误；

c.根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以|无4=1而故该选项正确;

D.BO=OD，故该选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键.

4.A

【解析】

【分析】

根据平面向量的定理逐一判断即可.

【详解】

解：A.a=~Jb

：.a-7b=0^故选项A不正确，符合题意；

B.3与B方向相同，正确，不符合题意；

C.a//b，正确，不符合题意；

D问=7恸,正确，不符合题意;

故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.

5.B

【解析】

【详解】

根据向量的概念进行判断即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

答案第2页，共14页

时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故选：B.

此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容.注意数学知识与实

际生活之间的联系.

6.A

【解析】

【分析】

根据题意知，该四边形是对角线相等的平行四边形，由此判定它是矩形.

【详解】

解：如图，AB^DC，

：.AB=DC,AB//DC.

■.四边形是平行四边形.

AD=BC.

-.|AB+AD|=|AB-AD|,

.JCA|=|fi£>|.

CA=BD.

平行四边形ABC。是矩形.

【点睛】

本题主要考查了平面向量，矩形的判定.解题的关键是根据相等向量和三角形法则推知:

AB=DCHAB//DC,CA=BD.

7.B

【解析】

【详解】

答案第3页，共14页

解：由题意可知，AC-AB=BC，

故选：B.

根据向量减法的三角形法则可得答案.

本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键.

8.C

【解析】

【分析】

根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判

断即可得出选项.

【详解】

解：A、2（a+b）=2a+2b,本选项正确，不符合题意；

B、如果；;>=-21,则旧=2日选项正确,不符合题意；

C、=等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误，符合题意；

D、m（疝）=（哂&,本选项正确,不符合题意.

故选：C.

【点睛】

题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键.

2-1-

9.-bH—a

33

【解析】

【分析】

由AB〃C£>,即可证得△又由AB=2CD,即可求得而与丽的关系，利用

三角形法则，求得而，即可求得理.

【详解】

解：,/AB=a,AD=b,

.\BD=AD-AB=b-a.

QAH//CD,AB=2CD,

:.△ECDSXEAB,

答案第4页，共14页

.CDDE1

'AB-BE-2r

__2__2

:.BE=-BD=-(b-a),

———2-2-1

AE=AB+BE=a+-(b-a)=-h+-a.

2-1

故答案为：

【点睛】

此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质.解题的关键是数形结合思想的应用，还

要注意向量是有方向的.

-2-2--

10.a+—b##—b+a

33

【解析】

【分析】

由已知条件求得而，根据三角形法则求得而，在中利用三角形法则求解即可

【详解】

解：'：CD=2BD,CB=b

：,BD=-CB=-h

33

AC=a，CB=b，

AB=AC+CB=a+b

___________]__2_

AD=AB-BD=a+b——b=a+—b

33

_-2-

故答案为：a+§6

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，掌握三角形法则是解题的关键.

H.-3e

【解析】

【分析】

根据£与单位向量工的关系，即可求解.

【详解】

£与单位向量工方向相反，且长度为3,

答案第5页，共14页

a=-3e-

故答案是：-3e.

【点睛】

本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.

1--

12.—a+b

2

【解析】

【分析】

先去括号，然后合并同类项即可.

【详解】

解：—(a-2b)+2b

2

=-a-—x2b+2b

22

1-r

=­a+b

2

故答案为：—ci+b.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算.

13.--

3

【解析】

【分析】

根据梯形的中位线定理求出EF,再根据平行向量的倍数关系和方向即可解答.

【详解】

VEF是梯形ABCD的中位线，

/.EF=-(AD+BC)=4,

2

;而和而是平行向量，并且方向相反，

乂AD-a>AD=3

_EF_4-

FE——»AD——a,

AD3

答案第6页，共14页

故答案为：-三4.

【点睛】

本题考查了梯形的中位线定理、平行向量，解答的关键是熟练掌握梯形的中位线定理，会

用非零平行向量中的一个向量表示另一个向量，要注意两个向量的方向.

1-2丁

14.—ciH—h

33

【解析】

【分析】

由题意直接根据平面向量的加减运算法则进行计算即可求出答案.

【详解】

解：VPQ='PE+EQ=--AB+-Ab=--a+-b.

3333

1_

故答案为：-彳。+彳。.

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平行向量的加减运法则，本题属于基础题型.

_2-

15.一a+br

3

【解析】

【分析】

利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1,即可求得答案.

【详解】

解：；2a+3（B-x）=6,

***2a+3b-3x=0»

J2M+3b=3元，

•一2一1

・・x=­a+b.

3

2--

故答案为：

【点睛】

此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握此向量方程的解法与一元一次方程

的解法一样.

答案第7页，共14页

1--

16.-a+b

3

【解析】

【分析】

利用类似一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1,即可求得答案.

【详解】

解:丁2^+6仅一工）=。

***2a+6^-6x=6

6x=2a+6h

1一一

x=—a+b

3

故答案为：］。+石

【点睛】

此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，此向量方程的解法与一元一次方程的解法类

似.

14416

17.（1）-a,b--a~b~a;（2）见解析

【解析】

【分析】

1____4

（1）根据即可求出而，根据£：。=丽+8。即可求出EC，先证明EG=,

.、,UUU1

EC,即可求出EG；

（2）如图，过点G作GM〃AB,GN//BC,根据平行四边形法则即可求得答案.

【详解】

解：⑴BA=aAE=^BA,

•.•—AE_=-1-tz»

________4_.

•：EC=EB+BC，EB='-aiBC=b>

.—4-

・・EC=b一飞a，

■:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：CD=4：3,

答案第8页，共14页

：.EG：EC=4：7,

.uuai4-16-

••EG=~b--a>

14416

故答案为：-a>b~a'亍5一天a;

(2)如图，过点G作GM〃AB交8c于M,GN〃BC交AB于N,则向量丽、的是向

量而分别在25方向上的分向量.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、向量的线性运算和平行四边形

法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

__2_2-

18.(1)证明见详解；(2)GF=-a—h.

33

【解析】

【分析】

AP1

(1)由AO=QE=£8,可得80=2AD,由。尸〃8C,—=-,由GE〃AC,

FC2

可得空=:，可得生=生=2,/FCG=/ACB,可证△FCGS/\4C8即可；

GC2BCAC3

2

(2)由△/CGS^ACB,可得尸G=§AB,由在=5可得

BA=CA-CB=a-b，由向量的模之间关系可得|乔卜j网，GF/BA；利用平行向量关系

GF=-BA=-a--b.

333

【详解】

(1)证明：；AD=DE=EB,

：.AE=AD+ED=2AD=2BE,BD=DE+EB=2BE=2AD,

'：DF//BC,

.ADAFADI

"DB-7C-2AD-2'

"：GE//AC,

答案第9页，共14页

BEBGBE_1

£4""GC-2BE-2)

.BGAF1

**GC-FC_2y

.BG+CGAF+FC1+2

•_«_____—___—_____—_—___,

GCFC2

.GCFC2/…

・・==—,/FCG=/ACB,

BCAC3

:•△FCGsAACB,

；・NFGC=NB,

：・FG〃AB；

(2)解：,:AFCGS^ACB,

.FGGC2

**AB-BC-3，

2

:.FG=-AB

3

;场=2，CB=b^CB+BA=CA

^BA=CA-CB=a-b

V|GF|=||BA|,GF//BA；

__2__2一一\2-2-

GF=—BA=—(a—b]=—a—b.

33V733

【点睛】

本题考查平行线截线段成比例，相似三角形的判定与性质，向量的模，平行向量，和与差

向量，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

19.(1)EF=-b；EA=-b-a；(2)作图见解析.

22

【解析】

【分析】

(1)由EF是AABC的中位线，设通=£,患=反利用三角形的中位线的性质，即可求得

EF，然后由三角形法则，求得丽；

(2)利用平行四边形法则，即可求得向量而在福，前方向上的分向量.

【详解】

解：(1)；EF是AABC的中位线，BC=b.

答案第10页，共14页

：.^p=-BC=-b,

22

AF=a，

：.EA=W-AF=-b-a,

2

（2）如图，过点E作EM〃AC,

则面与而即为向量存在瓦、蔗方向上的分向量.

本题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应

用.

20.(1)DB；DE；(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据向量的平行四边形法则写出3+配即可，根据平行四边形的对边平行且相等可

得而=配，然后根据向量的三角形法则求解即可;

（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得觉=而，然后根据向量的平行四边形法则

作出以£>C、OE为邻边的平行四边形，其对角线即为所求.

【详解】

解：⑴DA+DC=DB，

AD=BC，

AE-BC=AE-AD=DEt

故答案为：DB-DE-

（2）如图，而即为所求通+诙.

答案第II页，共14页

本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角

形法则是解题的关键.

——21-L

21.(1)BG=——a+-b；(2)AE=442.

33

【解析】

【分析】

—>|->—>9—>

(1)由G是重心，可得">=”，BG=-BD,因为访=成+仑)，可得

BD=-a+^h,进而求出8万；

(2)根据G是重心，求出。G=3,因为△4G。是等腰直角三角形，勾股定理计算出AL>=

3拒，由AO=OC,0c=3OE求出OE=&,相加即可.

【详解】

解：(1)BD=BA+AD,

:点G是心△ABC的重心,

：.AD^^AC,

••->—>->->

,AB=a，AC=b9

T1T

JAD=-a,

2

—>—>i—>

・・・BD=-a+-b

2

T2T9T]->

・・・BG=-BD=-(-a+-b),

33