正方形证明提高专题2

正方形例1、过正方形ABCD的顶点A作线段AE使DC=DE，交DC于G，作DF⊥AE，连接CE。〔1〕假设∠CDE=60°，AB=1，求DF的长；〔2〕作∠CDE平分线，交AE于P，交CE与Q，连接BP，求证：DP+BP=AP；〔3〕假设AD=2，DF=1，求PQ的长。1、P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E，连BE。〔1〕如图1，假设P是BC的中点，求CE的长；〔2〕如图2，当P在BC边上运动时〔不与B、C重合〕，求的值〔3〕当PB=时，△BCE是等腰三角形。2、如图，为正方形边上任一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，.〔1〕求证：；〔2〕的平分线交于点，连接，求证：；〔3〕假设正方形的边长为2，当点为的中点时，请直接写出的长为.3、：四边形ABCD为正方形，如图1，点P为△ABC角平分线的交点〔1〕求证：DP=AB；〔2〕如图2，连结AP并延长交BC的垂直平分线于点F连结BE。求证：(3)如图2，AP交BC与点G，假设正方形的面积为4，请直接写出GE的长为______________.例2、如图1，正方形ABCD中，∠FOE=90°顶点O于D点重合，交BC边于E，交BA的延长线于F.(1)求证：OF=OE;(2)假设O点在直线BD上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。〔3〕如图4，O为正方形ABCD对角线的中点，∠FOE=90°交BC、CD边于F、E点。求证OE=OF。图2图1图3〔4〕如图5、6，O点在直线BD上运动，OD：OB=1：n，其它条件不变，〔3〕中结论是否还成立？假设不成立，请直接写出OE：OF=。图2图1图3图6图6图4图5图4图51、如图1，正方形ABCD中，AB=2，P为边AB上一点，DQ⊥DP交BC的延长线于点Q．〔1〕求证：△ADP≌△CDQ；〔2〕如图2，连接AC、PQ交于点M，求的值；〔3〕假设P为AB的中点，连接BM，请直接写出线段BM的长为．2、如图：M、N分别为边长为1的正方形ABCD边CB、DC延长线上的点，且DN–BM=MN．〔1〕求证：∠MAN=45°；〔2〕假设DP⊥AN交AM于P，求证：；BDCNMPAABBDCNMPAABCDNM3、如图1，P为正方形ABCD边CD上一点，E在CB的延长线上，BE=DP，∠CEP的平分线交正方形的对角线AC于点F．〔1〕求证：AE=AF；〔2〕如图2，AM⊥PE于点M，FN⊥PE于点N，求证：AM+FN=AD；〔3〕假设正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，在〔2〕的条件下请直接写出线段FN的长为．4、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。〔1〕EF+AC=AB；〔2〕点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动〔不与点B重合〕，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。如图，AF1平分∠BA1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜测F1E1，A1C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜测。〔3〕在〔2〕的条件下，当A1C1=3，C1E1=2时，求BD的长。5、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．⑴如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E。①求证：DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；ODCBA图3P⑵假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥ODCBA图3PFP(O)FP(O)DCBA图1图2ODCBAEFP1、如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.〔1〕延长交正方形外角平分线〔如图13-2〕，试判断的大小关系，并说明理由；〔2〕在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？假设存在，请给予证明；假设不存在，请说明理由．例4、如图1，P为正方形ABCD的AD边上一点，PE⊥AD交BD于E点，将△PCD绕C点逆时针方向旋转90°到△FCB的位置，连接PF交BD于Q点。〔1〕①求证：BQ=EQ;②探究线段PQ与线段CQ的数量关系和位置关系，并证明你的结论；〔2〕再将△PED绕D点顺时针方向旋转45°，将△PDC绕C点逆时针方向旋转90°至△FBC处〔如图2〕，〔1〕中你探究的结论：线段PQ与线段CQ的数量关系和位置关系是否仍然成立？假设成立，写出结论并予以证明；假设不成立，请说明理由。〔3〕假设将△PED绕D点顺时针方向旋转α〔0°<α<90°〕,其它条件不变，试画图并判断线段PQ与线段CQ的关系〔直接写出结论，不证明〕。将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，〔1〕连接MD、MF，那么容易发现MD、MF间的关系是______________〔2〕操作：把正方形CGEF绕C点拉转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞BC〕，取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；〔3〕将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后〔如图3〕，其他条件不变，〔2〕中的结论是否仍成立？直接写出猜测，不需要证明。例5、：两个三角形△ABC和△ADE，顶点A重合，当两个三角形△ABC和△ADE绕着顶点A旋转任意角度时，连接BE、DC，分别取BE、ED、DC、CB的中点得到一个四边形PQMN；〔1〕、如图：〔图1〕，假设两三角形△ABC和△ADE都是等边三角形，那么四边形PQMN的形状是，∠NPQ=〔2〕、如图：〔图2〕，假设两三角形△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，那么四边形PQMN的形状是，〔3〕、如图：〔图3〕，假设两三角形△ABC和△ADE是两个全等的直角三角形，且AB=AD、AC=AE，那么四边形PQMN的形状是特殊平行四边形；如〔图4〕假设两三角形△ABC和△ADE是两个相似的三角形，且∠ABC=∠ADE、∠ACB=∠AED，那么四边形PQMN的形状是特殊四边形；请选择其中一种情况证明你的猜测。锐角△ABC中，AB＞AC，分别以AB、AC为边向外作△ABD和△ACE，且△ABD∽△AEC连DE.P、Q、M、N分别为BC、CE、DE、BD的中点.①如图1，假设△ABD和△AEC均为等边三角形，那么∠QMN=，四边形MNPQ的形状是；②如图2，假设△ABD和△AEC均为等腰直角三角形，那么∠QMN=，四边形MNPQ的形状是；图1图2图3③如图3，假设∠BAD=∠CAE=90图1图2图3例6、将正方形ABCD，正方形BEFG，如图1摆放，连DF，那么DF/CG=.〔1〕如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，那么DF/CG=，∠DMC=.〔2〕如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，那么DF/CG=，∠DMC=.〔3〕如图4，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转β〔0°<β<90°〕，那么DF/CG=，∠DMC=.〔4〕如图5，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转β〔0°<β<90°〕，那么DF/CG=，∠DMC=.从〔3〕、〔4〕两题中任选一个给予证明。练习点P在正方形ABCD的边AD所在的直线上，以BP为对角线作正方形BEPF，连结CE。(1)如图1，当点P与点A重合时，那么∠BCE的度数为；(2)如图2，当点P在正方形ABCD的边AD上〔不与D重合〕时，∠BCE的度数为多少？证明你的结论；(3)当点P在正方形ABCD的边AD所在的直线上运动时，请画出图形并求∠BCE的度数〔不必证明〕。2、P是正方形ABCD边BC上一点，PE⊥AP，且PE=AP，连接AE、CE，AE 交CD于点F。〔1〕如图1求∠ECF的度数；〔2〕如图2，连接AC，求证：AC=CE+PC；〔3〕假设正方形的边长为4，CF=3，请直接写出BP的长为。AADCBEBCEDAFPF例3、如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，那么AM=EC，易证，所以．在此根底上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；ADFCGEB图1ADFCGEADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3例7、①如图〔1〕，在正三角形ABC中，N为BC边上任一点〔不含B、C两点〕，CM为正三角形外角∠ACK的角平分线，假设∠ANM=60°，那么AN=NM。②如图〔2〕，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点〔不含B、C两点〕，CM为正方形外角∠DCK的角平分线，假设∠ANM=90°，那么AN=NM。请你从①、②两个命题中任选择一个进行证明：请你继续完成下面的探索：①如图〔3〕，在正n(n≥3)边形ABCDEF……中，N为BC边上任一点〔不含B、C两点〕，M为正n边形外角∠DCK的角平分线，当∠ANM等于时，结论AN=AM成立〔不要求证明〕;②如图〔4〕，在五边形ABCDE中，AB=BC，N为BC延长线上一点，CM为∠DCN的角平分线，假设∠ANM=∠ABC=∠BCD，请问AN=NM是否仍然成立？假设成立，请给予证明：假设不成立，请说明理由。3、如图1，在正方形ABCD中，M、N分别在AD、CD上，假设∠MBN=45°，那么MN=AM+CN.如图2，在正五边形ABCDE中，M、N分别在AD、CD上，假设∠MBN=54°，那么MN=AM+CN.如图3，在正六边形ABCDEF中，M、N分别在AE、CE上，假