2025届北京师范大朝阳附属中学九上数学期末预测试题含解析

2025届北京师范大朝阳附属中学九上数学期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，抛物线与直线交于，两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线方向平移个单位．在整个平移过程中，点经过的路程为（）A． B． C． D．2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．下列四对图形中，是相似图形的是()A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为()A．(x+2)2＝3 B．(x﹣2)2＝3 C．(x+2)2＝5 D．(x﹣2)2＝55．下列运算中，结果正确的是（）A． B． C． D．6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围值是（）A． B． C．且 D．且7．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438 D．438（1+2x）=3898．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（）A．2 B．1 C．4 D．29．的绝对值是A． B． C．2018 D．10．一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．12．一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是__．13．从实数中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________．14．已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为__________．15．计算的结果是__________．16．将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．17．某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．18．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：x...－1012...y...0343...该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，抛物线经过点，点，交轴于点，连接，.（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线第二象限上一点，满足，求点的坐标；（3）将直线绕点顺时针旋转，与抛物线交于另一点，求点的坐标.20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．21．（6分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．22．（8分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．24．（8分）已知二次函数．（1）将二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出的图象；（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．25．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.①求∠AQB的度数；②若OA=18，求弧AmB的长.26．（10分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据题意抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a，令x=2,y=(a-)²+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根据点D的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【详解】解：由题意，抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线=(x+1)²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a令x=2,y=(3-a)²-1+a,∴y=(a-)²+,∵0≤a≤4∴y的最大值为8，最小值为，∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-)=故选：B【点睛】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．2、D【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m的取值范围.【详解】解：∵关于的方程有实数根∴故选：D【点睛】本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.3、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．4、A【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．【详解】x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，(x+2)2＝3，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键．5、C【解析】A:完全平方公式:,据此判断即可B:幂的乘方,底数不变,指数相乘,据此判断即可C:幂的乘方,底数不变,指数相乘D:同底数幂相除,底数不变指数相减【详解】选项A不正确;选项B不正确;选项C正确选项D不正确.故选:C【点睛】此题考查幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键6、C【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【详解】根据题意得：△＝b2−4ac＝4−8（k−1）＝12−8k＞0，且k−1≠0，解得：且k≠1．故选：C．【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．7、B【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389(1＋x)元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389(1＋x)(1＋x)＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了1元，列出方程：389（1+x）2=1．故选B．8、A【解析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，∴C（1，2），则CD的长度是2，故选A．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．9、C【解析】根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，所以-2018的绝对值是2018，故选C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.10、B【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】x2﹣1x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．二、填空题(每小题3分,共24分)11、或或1【详解】如图所示：①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；②当PE=AE=1时，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；③当PA=PE时，底边AE=1；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或1；故答案为或或1．12、.【分析】根据概率公式求概率即可.【详解】图上共有16个方格，黑色方格为7个，小狗最终停在黑色方格上的概率是．故答案为：．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键.13、【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：则共有6种等可能的结果，其中两次选到的数都是无理数有()和()2种，所以两次选到的数都是无理数的概率．故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14、4：1．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个相似三角形的面积比为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．15、【分析】先算开方，再算乘法，最后算减法即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数的混合运算法则是解题的关键．16、y=-x2+5【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解．【详解】由将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键．17、【详解】解:选中女生的概率是：.18、2【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（2，0），可得结论．【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x==1．∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），∴该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．故填为2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．三、解答题(共66分)19、（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）将A，C坐标代入中解出即可；（2）由可得，设，利用三角形的面积求法建立方程求解即可得出结论；（3）延长AC与BE交于点F，易证△ABC是直角三角形可知△ACF是等腰直角三角形，由，，可得A是CF的中点，所以F（2，-2），进而确定直线BF的解析式为，即可求出E点坐标.【详解】（1）将点，代入得：∴，，∴；（2）由（1）可得，令y=0，解得，则，∴，，∴，∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴，如图，过点作轴交于，设，∴∴，∴或，∴或；（3）延长与交于点，是直角三角形，∵直线绕点顺时针旋转，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴是的中点，∴，∴直线的解析式为，则，∴或，∵与重合舍去，∴．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，本题是综合题，掌握待定系数法求解析式，熟练的将函数与三角形相结合是解题的关键．20、（1）抛物线的解析式为；（2）①P点坐标为P1（）或P2（）或P2（）；②D（）．【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可．【详解】解：（1）解方程x2﹣2x﹣2=0，得x1=2，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=2．∴A（﹣1，﹣1），B（2，﹣2）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴，解得：．∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）．∵直线OB过点O（0，0），B（2，﹣2），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x）．（i）当OC=OP时，，解得（舍去）．∴P1（）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（）．（iii）当OC=PC时，由，解得（舍去）．∴P2（）．综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P2（）．②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH=DQ（OG+GH）==．∵0＜x＜2，∴当时，S取得最大值为，此时D（）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．21、6cm【详解】解：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．∵EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．∴AE=CD．∵DE=1cm，∴AD=AE+1．∵矩形ABCD的周长为2cm，∴2（AE+AE+1）=2．解得，AE=6cm．22、（1）；（2）【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，

所以至少有一个孩子是女孩的概率=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23、（1）；（2）相交，证明见解析【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【详解】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点，∴3＝a（0﹣4）2﹣1，a＝；∴抛物线的表达式为：；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝1．，，，对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴，即，解得，∵，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．24、（1）；（2）画图见解析；（3）－3＜x＜1【分析】（1）运用配方法进行变形即可；（2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线