高中数学选择性必修3课件：6 3 2 二项式系数的性质(人教A版)

6.3.2二项式系数的性质理解二项式系数的性质并灵活运用.课标要求素养要求通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1二项式系数的性质等距离2n2n－1点睛点睛点睛点睛1.思考辨析，判断正误 (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(

)

提示二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关. (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.(

)

提示在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数相同时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和. (3)二项展开式项的系数是先增后减的.(

)

提示二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关. (4)(3x＋2)5的展开式的二项式系数和为25＝32.(

)×××√A.第8项 B.第9项C.第8项和第9项 D.第11项和第12项D3.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(

) A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项A∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.4.若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________.180课堂互动题型剖析2课堂互动题型剖析2题型一二项展开式的系数的和问题【例1】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

解令x＝1，得： (2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【迁移1】

(变换所求)例1条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【迁移2】

(变换所求)例1条件不变，求a1＋a3＋a5的值.思维升华【训练1】

已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.

解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.题型二二项式系数性质的应用(1)求展开式中二项式系数最大的项；解令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(2)求展开式中系数最大的项.思维升华【训练2】

求(x－y)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；解(1)二项式系数最大的项为中间两项：(2)(x－y)11的展开式的通项为∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和.解由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，1.牢记3个知识点

二项式系数的性质 (1)对称性；(2)增减性与最大值；(3)各二项式系数的和.2.掌握2种方法 (1)用赋值法解决二项展开式系数和及有关问题的方法； (2)求二项式系数的最大项的方法.3.注意1个易错点

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题AA.210 B.252 C.462 D.10A.1 B.±1 C.2 D.±2C3.(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是(

) A.2048 B.－1023 C.－1024 D.1024D解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②4.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(

) A.10 B.45 C.－9 D.－45BA.－150 B.150 C.300 D.－300B二、填空题6.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是__________.64628.若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________.7解析令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；解(1)令x＝0，则a0＝2100.(2)令x＝1，(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；解令x＝－1，(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第k＋1项，则(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.解易知m>0，设第k＋1项系数最大.由于只有第6项和第7项系数最大，所以m只能等于2.11.(多选题)下列关于(a－b)10的说法，正确的是(

)A.展开式中的二项式系数之和是1024B.展开式的第6项的二项式系数最大C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小ABD12.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为__________.164解析令展开式左、右两边x＝1，得各项系数的和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.13.在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；解在(2x－3y)10的展开式中：(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10.令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.

①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.

②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，14.在二项式(axm＋bxn)12(a>0，b>0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项. (1)求系数最大的项是第几项？则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，所以r＝4，它是第5项.解

因为第5项是系数最大的项，备用工具&资料14.在二项式(axm＋bxn)12(a>0，b>0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项. (1)求系数最