中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十一两角和与差的正弦(原卷版+解析)

第二十一章两角和与差的正弦、余弦、正切思维导图知识要点知识要点1．公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；tan(α＋β)＝；tan(α－β)＝.2．三种应用公式有正用、逆用、变形用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanα·tanβ)．3．公式之间的关系及导出过程典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对两角和与差的三角函数公式的理解．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.()(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.()(4)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3.()【变式训练1】求15°的正弦、余弦以及正切．【例2】已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求sinβ的值．【变式训练2】已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于________．【例3】已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．【变式训练3】已知cosα＝－，sinβ＝，且α是钝角，β是锐角，求cos(α－β)．【例4】sinα＝，cosβ＝，其中α，β∈(0，)，求α＋β.【变式训练4】已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求tan(2α－β)的值．【例5】tan11°＋tan19°＋tan11°tan19°的值为________．【变式训练5】计算：sin15°＋cos45°sin30°.高考链接高考链接1．(四川省2019年对口升学考试试题)计算：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________(用数字作答)．2．在△ABC中，已知a＝8，b＝5，c＝7，求cos(A－B)的值．3.已知tan(α＋β)＝，tanβ＝－2，求tan2α的值．4．已知sin求tantanα的值．同步精练同步精练选择题1．计算：cos42°cos18°－cos48°sin18°等于()A. B. C. D.2．已知sin，则cos(π－2α)的值为()A．－ B. C. D．－3．计算：sin70°cos40°－cos70°sin40°的值为()A． B．－ C．－ D．4．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－ B. C．－ D.5．sin255°cos345°－cos105°sin15°等于()A． B． C． D．－6．sin75°cos30°－sin15°sin150°等于()A． B． C． D．填空题7．若sinα＝，且α∈，则tan＝________.8．已知α∈，且cosα＝－，则tan＝________..9．cos70°cos10°＋cos20°cos80°＝________.10．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.解答题若cosα＝－，sinβ＝，且α，β在同一象限，求sin(α＋β)的值．13．已知sinα＝，sinβ＝，且α，β都是锐角，求α＋β的值．14．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin，求cos的值．第二十一章两角和与差的正弦、余弦、正切思维导图知识要点知识要点1．公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；tan(α＋β)＝；tan(α－β)＝.2．三种应用公式有正用、逆用、变形用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanα·tanβ)．3．公式之间的关系及导出过程典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对两角和与差的三角函数公式的理解．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.(√)(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.(×)(4)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3.(√【思路点拨】①要加深对公式的理解和记忆，灵活运用公式对所给条件进行换算，不要混淆公式．②可令(2)中的α＝，β＝－，代入检验是否存在实数α，β使等式左右两边相等．【变式训练1】求15°的正弦、余弦以及正切．解：sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°tan15°＝tan(60°－45°)【例2】已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求sinβ的值．【思路点拨】注意角的拼凑技巧，用已知角表示出未知角，或用未知角表示出已知角．例如，β＝α－(α－β)．答案：解：∵0<β<α<，∴0<α－β<，又cosα＝，∴sinα＝又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝【变式训练2】已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于________．【提示】利用角的拼凑技巧：tan【例3】已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．【思路点拨】求角的大小往往通过先求出角所对应的某一三角函数值，再判断角所在的范围．答案：解：由已知得cosα＝sinβ＝∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝∵sinα<sinβ，∴α<β.∴－<α－β<0，∴α－β＝－.【变式训练3】已知cosα＝－，sinβ＝，且α是钝角，β是锐角，求cos(α－β)．解：由sin2α＋cos2α＝1，且cosα＝－，α为钝角，有sinα＝.又由sinβ＝，β为锐角，有cosβ＝，则cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinαcosβ＝－【例4】sinα＝，cosβ＝，其中α，β∈(0，)，求α＋β.【思路点拨】先求出cos(α＋β)的值，再求α＋β.答案：解：∵α，β∈，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝sinβ＝∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝0.∵α，β∈，∴0<α＋β<π，故α＋β＝【变式训练4】已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求tan(2α－β)的值．解：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan2α＝tan(2α－β)＝【例5】tan11°＋tan19°＋tan11°tan19°的值为___1_____．【思路点拨】和角公式的逆用及变形．tan(11°＋19°)＝⇒tan11°＋tan19°＋tan11°·tan19°＝1.【变式训练5】计算：sin15°＋cos45°sin30°.解：原式＝sin(45°－30°)＋cos45°·sin30°＝sin45°·cos30°＝高考链接高考链接1．(四川省2019年对口升学考试试题)计算：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________(用数字作答)．【提示】∵tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝(1－tan20°tan40°)代入所求式子即可．2．在△ABC中，已知a＝8，b＝5，c＝7，求cos(A－B)的值．解：cosA＝⇒cosA＝又∠A为三角形内角，sinA＝同理cosB＝sinB＝cos(A－B)＝cosA·cosB＋sinA·sinB＝3.已知tan(α＋β)＝，tanβ＝－2，求tan2α的值．解：tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝7，tan2α＝4．已知sin求tantanα的值．解：由∴tan＝＝－2，tanα＝tan同步精练同步精练选择题1．计算：cos42°cos18°－cos48°sin18°等于(A)A. B. C. D.【提示】原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝2．已知sin，则cos(π－2α)的值为(B)A．－ B. C. D．－【提示】由题意得sin＝cosα＝，∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－[2cos2α－1]＝1－2cos2α＝1－3．计算：sin70°cos40°－cos70°sin40°的值为(D)A． B．－ C．－ D．【提示】原式＝sin(70°－40°)＝sin30°＝4．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(C)A．－ B. C．－ D.【提示】∵cos＋sinα＝，∴cosα＋sinα＋sinα＝，∴∴sin因此sin＝－sin5．sin255°cos345°－cos105°sin15°等于(D)A． B． C． D．－【提示】原式＝sin(360°－105°)cos(360°－15°)－cos105°sin15°＝－sin105°cos15°－cos105°sin15°＝－sin120°＝－6．sin75°cos30°－sin15°sin150°等于(C)A． B． C． D．【提示】sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°·cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝填空题7．若sinα＝，且α∈，则tan＝________.【提示】∵sinα＝，且α∈，∴cosα＝∴tanα＝－，tan8．已知α∈，且cosα＝－，则tan＝________.【提示】∵α∈，且cosα＝－，∴sinα<0，即sinα＝－，∴tanα＝.∴tan9．cos70°cos10°＋cos20°cos80°＝________.【提示】cos70°cos10°＋cos20°cos80°＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝10．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.【提示】cos(α＋β)cos(α－β)＝⇒(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝⇒cos2αcos2β－sin2αsin2β＝⇒cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝⇒cos2α－sin2β＝.已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.【提示】∵tan(π＋2α)＝－，∴tan2α＝－，由二倍角公式得，又α为第二象限角，∴tanα＝解答题若cosα＝－，sinβ＝，且α，β在同一象限，求sin(α＋β)的值．解：由cosα＝－<0⇒α在第二或三象限，由sinβ＝>0⇒β在一或二象限，又α，β在同一象