2024年江苏省南通市崇川区、如皋市中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省南通市崇川区、如皋市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四个数中，比﹣2大的数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣12．（3分）据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约400000米的中国空间站——“天宫”．数400000用科学记数法表示为（）A．0.4×106 B．4×105 C．40×104 D．4×1063．（3分）下列几何体中，三视图都是圆的是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体4．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．（﹣a2）3＝（﹣a3）25．（3分）下列调查中，适宜全面调查的是（）A．了解某班学生的视力情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间 D．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数6．（3分）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．80°7．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（）A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m8．（3分）已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．59．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（）A． B． C． D．10．（3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（）A． B．6 C． D．3二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：3mx2+6mxy+3my2＝．12．（3分）若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为．13．（4分）计算：2sin60°﹣3tan30°＝．14．（4分）若a，b为连续整数，且，则a+b＝．15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为°．16．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为．17．（4分）如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为.18．（4分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）解不等式组：；（2）化简求值：2（x﹣1）（x+3）﹣（x+2）2，其中．20．（10分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．（1）求证：BC＝EF；（2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长．21．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．（1）甲选择“微信”支付的概率为；（2）求三人选择同一种支付方式的概率．22．（10分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：甲组乙组丙组平均分88m90中位数n9292根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝，n＝；（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是组（填“甲”或“乙”）；（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD．（1）求证：∠COD＝2∠P；（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．24．（12分）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如表：型号甲乙效率（单位：千克/时）m﹣30m每台价格（单位：万元）46已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等．（1）求m的值；（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．【操作猜想】（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：甲小组的操作与猜想操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN．猜想：当∠NME＝∠CAD时，MN∥AC．请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；【深入探究】（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度；【拓广延伸】（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD时，过点E作EF∥BC交射线CA于点F，若EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题．26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，以A为顶点的抛物线y＝x2﹣1与直线y＝k（x+1）有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线y＝k（x+1）与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．（1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B，N；（2）如图，当k＞0时，连接CM，CN．求证：CO平分∠MCN；（3）若函数y＝x2﹣1（x≥k）的图象记为W1，将其沿直线x＝k翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象与线段MB恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．

2024年江苏省南通市崇川区、如皋市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四个数中，比﹣2大的数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵|﹣4|＞|﹣3|＞|﹣2|＞|﹣1|，∴﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，∴在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四个数中，比﹣2大的数是﹣1．故选：D．2．（3分）据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约400000米的中国空间站——“天宫”．数400000用科学记数法表示为（）A．0.4×106 B．4×105 C．40×104 D．4×106【解答】解：400000＝4×105，故选：B．3．（3分）下列几何体中，三视图都是圆的是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．D．正方体的三视图都是正方形，故本选项不合题意；故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．（﹣a2）3＝（﹣a3）2【解答】解：a6÷a3＝a3，则A符合题意；a3与a2不是同类项，无法合并，则B不符合题意；a3•a2＝a5，则C不符合题意；（﹣a2）3＝﹣a6，（﹣a3）2＝a6，则D不符合题意；故选：A．5．（3分）下列调查中，适宜全面调查的是（）A．了解某班学生的视力情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间 D．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【解答】解：A．了解某班学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项A符合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，不可以使用全面调查，适用抽样调查，因此选项B不符合题意；C．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间，适用抽样调查，因此选项C不符合题意；D．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次，适用抽样调查，因此选项D不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．80°【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°，∵ED∥AB，∴∠A＝∠ADE＝60°，∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°，故选：C．7．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（）A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m【解答】解：由题意可知，AE＝9m＝900cm，∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEF，∴＝，即＝，解得：EF＝300cm＝3m，即树高EF是3m，故选：B．8．（3分）已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【解答】解：因为点A（a，b）平移后的对应点为C（a+2，n），点B（b，c）平移后的对应点为D（m，c﹣3），所以a+2﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c﹣3﹣c，则m＝b+2，n＝b﹣3，所以m﹣n＝b+2﹣（b﹣3）＝5．故选：D．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（）A． B． C． D．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α，∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α，∵点A关于直线DP的对称点为E，∴DP垂直平分AE，∴ED＝AD，∴ED＝CD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°，∴α+2∠AEC＝360°，∴∠AEC＝180°﹣α，故选：D．10．（3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（）A． B．6 C． D．3【解答】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；A．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确；B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误；C．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误；D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误；故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：3mx2+6mxy+3my2＝3m（x+y）2．【解答】解：原式＝3m（x2，2xy+y2）＝3m（x+y）2，故答案为：3m（x+y）2．12．（3分）若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为18π．【解答】解：依题意知母线长＝6，底面半径r＝3，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×3×6＝18π．故答案为：18π．13．（4分）计算：2sin60°﹣3tan30°＝0．【解答】解：原式＝2×﹣3×＝﹣＝0．故答案为：0．14．（4分）若a，b为连续整数，且，则a+b＝11．【解答】解：∵，∴5＜6，∴a＝5，b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故答案为：11．15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为27°．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣42°）＝69°，由作图得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝42°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°，故答案为：27．16．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为x（x+12）＝864．【解答】解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．17．（4分）如图，▱AOBC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的负半轴上，点E为边BC的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则m与n的关系为2n+m＝0.【解答】解：设点A（a，），∵▱AOBC的顶点B在x轴的负半轴上，∴C（，），∴AC＝a﹣，∴B（，0），∵点E为边BC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝图象上，∴＝n，整理得：2n+m＝0．故答案为：2n+m＝0．18．（4分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM＝3，则CM+AD的最小值为．【解答】解：如图，过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，AE∥MD，∴四边形AMDE是平行四边形；∵AM⊥BD，∴四边形AMDE是矩形，∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME，∴CM+AD＝CM+ME；连接CE，则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长；过C作CF∥BD，交ED延长线于点F，则∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°，∴四边形BCFD是矩形，∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2，∴EF＝DE+DF＝5；在Rt△EFC中，由勾股定理得，，∴CM+AD最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）解不等式组：；（2）化简求值：2（x﹣1）（x+3）﹣（x+2）2，其中．【解答】解：（1）解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x＜4，所以不等式组的解集为1≤x＜4；（2）原式＝2（x2+3x﹣x﹣3）﹣（x2+4x+4）＝2x2+6x﹣2x﹣6﹣x2﹣4x﹣4＝x2﹣10，当x＝时，原式＝（）2﹣10＝﹣4．20．（10分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．（1）求证：BC＝EF；（2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵BC∥EF，∴∠BCA＝∠EFD，∵AB＝DE，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC＝EF；（2）解：∵AD＝14，CF＝6，∴AF+CD＝AD﹣CF＝14﹣6＝8，∵△ABC≌△EDF，∴AC＝DF，∴AC﹣CF＝DF﹣CF，∴AF＝CD＝4，∴CD的长为4．21．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．（1）甲选择“微信”支付的概率为；（2）求三人选择同一种支付方式的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种，∴甲选择“微信”支付的概率为．故答案为：．（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种，∴三人选择同一种支付方式的概率为＝．22．（10分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：甲组乙组丙组平均分88m90中位数n9292根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝90，n＝86；（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是乙组（填“甲”或“乙”）；（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，m＝＝90，n＝86，故答案为：90，86；（2）由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是乙组．故答案为：乙；（3）应该推荐丙组，理由如下：由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小组的作品到区里参加比赛，又因为丙组的最低分比乙组的最低分高，所以应该推荐丙组．23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD．（1）求证：∠COD＝2∠P；（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，∵AE⊥PB，垂足为E，∴∠AEP＝90°，∴∠P+∠PAE＝90°，∴∠OAD＝∠P，∵∠COD＝2∠OAD，∴∠COD＝2∠P．（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，∵PB是⊙O的切线，∴PB⊥OB，∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，∴四边形OBEF是矩形，∵AC是⊙O的直径，且AC＝8，∴OA＝OD＝OB＝FE＝4，∵∠OAD＝∠P＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，∴AF＝DF＝AD＝2，∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF＝＝＝2，∵＝＝tan60°＝，∴PE＝2，∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD＝×6×2+×4×2﹣＝10﹣，∴阴影部分的面积为10﹣．24．（12分）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如表：型号甲乙效率（单位：千克/时）m﹣30m每台价格（单位：万元）46已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等．（1）求m的值；（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？【解答】解：（1）根据题意，得＝，解得m＝90，经检验，m＝90是所列分式方程的解，∴m的值为90．（2）设购买甲种型号的机器人a台，则购买乙种型号的机器人（10﹣a）台．∵m＝90，∴甲种型号机器人的效率是90﹣30＝60（千克/时），乙种型号机器人的效率是90（千克/时）．根据题意，得60a+90（10﹣a）≥710，解得a≤；设购买机器人的总费用为W万元，则W＝4a+6（10﹣a）＝﹣2a+60，∵﹣2＜0，∴W随a的增大而减小，∵a≤且a为非负整数，∴当a＝6时，W的值最小，W最小＝﹣2×6+60＝48，此时10﹣6＝4（台），∴购买甲种型号的机器人6台、乙种型号的机器人4台才能使总费用最少，最少费用是48万元．25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．【操作猜想】（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：甲小组的操作与猜想操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN．猜想：当∠NME＝∠CAD时，MN∥AC．请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；【深入探究】（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度；【拓广延伸】（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD时，过点E作EF∥BC交射线CA于点F，若EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题．【解答】解：（1）甲小组的猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD，∵折叠，∴∠BMN＝∠NME，又∵∠NME＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BMN，∴MN∥AC；（2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴，∵折叠，∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME，由（1）可知MN∥AC，∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA，∴∠MEC＝∠BCA，∴ME＝MC，∴MC＝MB，同理NA＝NB，∴；（3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H，同（2）可得∠MHC＝∠MCH，∴MH＝MC，∵EF∥BC，∴∠EFH＝∠MCH，∴∠MHC＝∠EFH，∴EH＝EF，由（1）可得∠NME＝∠BCA，∴tan∠NME＝tan∠BCA．∵∠NEM＝∠B＝90°，∴，设NE＝3a，则EM＝4a，∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a，∴MH＝EH+EM＝7a，∴MC＝MH＝7a，∴4a+7a＝4，∴，∴；②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图，同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a，∴MH＝EM﹣EH＝a，∴MC＝MH＝a，∴a+4a＝4，∴，∴；综上，或．26．