高中数学选择性必修二课件：4 3 1 第1课时 等比数列的概念及通项公式(人教A版)

第1课时等比数列的概念及通项公式第四章4.3.1等比数列的概念1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.学习目标某种细胞每隔一定时间就会分裂一次，每个细胞分裂成两个细胞，随着分裂次数的增加，细胞的个数可以组成的数列是1,2,4,8,16，……，这类数列有何特征呢？导语随堂演练课时对点练一、等比数列的概念二、等比中项三、等比数列的通项公式内容索引一、等比数列的概念问题1

观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？提示我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.也有相同的取值规律.知识梳理等比数列的概念一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的

一项的

都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，通常用字母q表示(q≠0).注意点：(1)定义的符号表示：

＝q(n∈N*且n≥2)或

＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2前比同一个公比知识梳理等比数列的概念一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的

一项的

都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，通常用字母q表示(q≠0).注意点：(1)定义的符号表示：

＝q(n∈N*且n≥2)或

＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2前比同一个公比例1

判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.解不是等比数列；(2)10,10,10,10,10，…；解是等比数列，公比为1；(4)1,0,1,0,1,0，…；解不是等比数列；(5)1，－4,16，－64,256，….解是等比数列，公比为－4.反思感悟判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.√解析①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③当a＝0时，不是等比数列；④该数列符合等比数列的定义，是等比数列.解析①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③当a＝0时，不是等比数列；④该数列符合等比数列的定义，是等比数列.二、等比中项问题2我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？提示不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x,1这三个数成等比数列，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数.知识梳理等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的

，此时，

.注意点：①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.等比中项G2＝ab例2

(1)4与9的等比中项为_____.±6(2)－1和－9的等比中项为_____.±3(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).解析因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，√三、等比数列的通项公式问题3

类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？当n＝1时，上式也成立.方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.知识梳理若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝

(n∈N*).a1qn－1例3

在等比数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝8，求an；解因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1.(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.又an＝1，即26－n＝20，故n＝6.反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.跟踪训练3

在等比数列{an}中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；解因为a5＝a1q4，而a1＝5，所以a5＝405.(2)若a4＝2，a7＝8，求an.1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)等比数列的通项公式.(3)等比中项的概念.(4)等比数列的通项公式推广.2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列.课堂小结随堂演练12341.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于A.6 B.－6 C.－12 D.12√√∴ab＝±6.12342.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4 B.8 C.6 D.32√解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.12343.(多选)下列说法正确的有A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22,42,62,82，…成等比数列√√1234解析A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；12344.4与16的等比中项是_____.±8解析由G2＝4×16＝64，得G＝±8.课时对点练基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415162.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32解析由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝

＝32.√123456789101112131415163.2＋

和2－

的等比中项是A.1 B.－1 C.±1 D.2√123456789101112131415164.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18√解析因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.123456789101112131415165.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于A.－24 B.0 C.12 D.24√解析由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.故数列的第4项为－24.123456789101112131415166.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9√解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.123456789101112131415167.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.1或－2123456789101112131415168.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝_________.解析由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，123456789101112131415169.在等比数列{an}中.(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；12345678910111213141516(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.1234567891011121314151610.在等比数列{an}中.(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；所以q2＝4，所以a7＝a5q2＝8×4＝32.12345678910111213141516(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.12345678910111213141516解a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2，所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.12345678910111213141516综合运用11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516解析因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，则由b2＝ac，可得

，所以a，b，c成等比数列，反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵1，m,9构成一个等比数列，∴m2＝1×9，则m＝±3.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4，1234567891011121314151614.在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝_____.－4解析由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件.当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.故答案为－4.拓广探究1234567891011121314151615.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.275或812345678910111213141516解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，

①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，

②当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式.1234567891011121314151612345678910111213141516解选条件①：因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.12345678910111213141516选条件②：因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.选条件③：因为S3＝9，12345678910111213141516所以3a1＋3d＝9，因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1q