高中数学选择性必修2课件：5 2 2 导数的四则运算法则(人教A版)

5.2.2导数的四则运算法则课标要求素养要求能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究问题2试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.导数运算法则注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”提示f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1.√√×[微训练]1.(多选题)下列求导运算正确的是(

)答案BC2.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是(

)答案B答案1[微思考]1.设f(x)＝tanx，如何求f′(x)?[微思考]1.设f(x)＝tanx，如何求f′(x)?题型一利用运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数.解

(1)法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.(2)把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(3e)xln3e－2xln2.(4)利用除法的求导法则进行求导可得：规律方法利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.【训练1】求下列函数的导数.【训练1】求下列函数的导数.解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.题型二求导法则的应用角度1求导法则的逆向应用【例2－1】已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.【训练2】设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.解

∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，解

(1)f′(x)＝3ax2－2x－1.规律方法(1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，一、素养落地1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.2.导数的求法

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.答案A2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为(

) A.－1 B.0 C.1 D.2

解析

f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.

答案

C答案C4.曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的方程为________.

解析

f′(x)＝1＋lnx，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.

答案

x－y－1＝0解析由于f′(0)是常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案

1备用工具&资料4.曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的方程为________.

解析

f′(x)＝1＋lnx，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.

答案

x－y－1＝02.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为(

) A.－1 B.0 C.1 D.2

解析

f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.

答案

C题型二求导法则的应用角度1求导法则的逆向应用【例2－1】已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.(3)根据求导法则进行求导可得：y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(3e)xln3e－2xln2.(4)利用除法的求导法则进行求导可得：问题2试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)