高等数学第十一章-微分方程教案VIP

PAGEPAGE1第1次课的教学整体安排授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第十一章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程的解法（第一讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：了解微分方程的概念。2.了解微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念。3.了解微分方程阶的概念。4.掌握学习微分方程的主要目的。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：微分方程的概念、阶的概念以及微分方程的解、通解、初始条件和特解。难点：解微分方程。主要内容第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念举例1-2微分方程：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.本章只讨论常微分方程。微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。阶微分方程的形式：阶微分方程有两种表现形式：一种是隐式阶微分方程（1-1）其中是个变量的函数。这里必须指出，在方程(1-1)中，是必须出现的，而等变量则可以不出现。另一种是显式阶微分方程。（1-2）特别地，时，一阶微分方程的标准形式为或或。微分方程的解：设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，把这个函数及其导数代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，即，那么函数就叫做该微分方程的解。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解或一般解。微分方程的特解：微分方程的另一种解中不含有任意常数，它是按照问题所给的特定条件（初始条件），从通解中确定出任意常数而得出的。这样的解叫做微分方程的特解。初始条件：用来确定微分方程特解的条件，称为初始条件。微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。一阶微分方程的初值问题：求微分方程满足初始条件的特解这样一类问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作（1-3）初值问题（1-3）的几何意义，就是求微分方程的通过点的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题：求微分方程满足初始条件，的特解这样一类问题，叫做二阶微分方程的初值问题，记作（1-4）初值问题（1-4）的几何意义，就是求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线.举例3。第二节一阶微分方程的解法（第一讲）一、可分离变量的微分方程形如（2-1）的方程，称为可分离变量的微分方程。在时，方程（1）可化为（2-2）它的特点是一端只含的函数和，另一端只含的函数和.这种方程称为变量已分离的微分方程.化（2-1）为（2-2）的过程称为分离变量。设是方程（2-2）的解，那末，将它代入（2-2）,便有将上式两端积分，得或（2-3）其中是任意常数.由于（2-3）两端对求导即得（2-2），且（2-3）含有一个任意常数，可知（2-3）正是（2-2）的通解。因为凡是（2-2）的解也满足（1），所以（2-3）正是（1）的通解.但在对方程（2-1）求解时，我们还应当考虑的情况，因为方程（2-3）只有在的假定下才与（1）等价.设是方程的根，那末也将是（2-1）的一个解，因为这时而，代入（2-1），恰好使两端都变成零。举例1-3二、齐次微分方程形如（2-4）的方程，称为齐次方程.例如是齐次方程，因为它可以化为（2-4）的形式。对齐次方程（2-4），作变换(注意：其中也是的函数)，则代入方程（2-4），得即这是可分离变量的微分方程，分离变量，得两端积分，得求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的通解。举例4讨论、思考：1.所有微分方程都存在通解吗？微分方程的通解一定包含它的所有解吗？（答：微分方程都不一定存在通解。例如方程无实函数解，只有特解，无通解。微分方程的通解不一定包含它的所有解。例如，方程的通解为，但它不包含方程的解，。）2.解可分离变量的微分方程时，为何方程两端可以对不同变量积分，即？（答因为微分方程的解是的函数，所以令，则方程为，等式两端对积分，得由不定积分的换元积分公式可得，因此分离变量后方程两边可对不同变量积分。）作业：（课本）习题11-1、11-2（1，2，3）参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课85分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他教学方式：√讲授讨论指导其他教学资源：√多媒体模型实物挂图音像其他第2次课的教学整体安排授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第十一章微分方程第二节一阶微分方程的解法（第二讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：一阶线性微分方程的解法。2.掌握伯努利方程和全微分方程的解法。3.会利用观察法求出简单微分方程的积分因子4.会用简单的变量代换求解某些微分方程。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：一阶线性微分方程的解法。难点：伯努利方程和全微分方程的解法、寻找积分因子。主要内容复习:可分离变量微分方程以及齐次方程的解法.新授:三、一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程定义未知函数及其导数都是一次的微分方程称为一阶线性微分方程，其一般形式为（2-5）其中、都是已知函数，叫做自由项。当时，方程（2-5）变为（2-6）方程（2-6）叫做（2-5）对应的一阶齐次线性方程；而方程（2-5）本身称为一阶非齐次线性方程.2.一阶齐次线性方程通解的求法一阶齐次线性方程（2-6）是可分离变量的，分离变量后,得两端积分，得或这是对应的齐次线性方程（2-6）的通解.3.一阶非齐次线性方程通解的求法（常数变易法）现在使用常数变易法来求一阶非齐次线性方程（2-5）的通解.这种方法是把（2-6）的通解中的换成的未知函数，即假定函数（2-7）为非齐次线性方程（2-5）的通解，这时把问题转化为求函数.为求，对式（2-7）两端求导，得（2-8）将式（2-7）和式（2-8）代入方程（2-5）中，得即两端积分，得把上式代入（2-7），便得一阶非齐次线性方程（2-5）的通解为（2-9）将（2-9）式改写成两项之和可以看出，上式右端第一项是方程（2-5）对应的齐次线性方程（2-6）的通解，第二项可以看作在（2-9）中令而得的，它是非齐次线性方程（2-5）的一个特解.由此可知：一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.举例5-7四、伯努利方程方程（2-10）称为伯努利（Bernoulli）方程.当或时，这是一阶线性微分方程。当时，这方程不是线性的。但是通过变量的代换，便可把它化为线性方程。事实上，以除方程（2-10）的两端，得或（2-11）由此容易看出，如果令便有或最后一式就是一阶非齐次线性方程.求出这个方程的通解后，以代便得到伯努利方程的通解。举例8在本节中，对于齐次方程，我们通过变量代换，把它化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分求得通解。对于一阶非齐次线性方程我们通过解对应的齐次线性方程找到变量代换利用这一代换，把非齐次线性方程化为可分离变量的方程，然后经积分求得通解.对于伯努利方程我们通过变量代换，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解.利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为可分离变量的方程，或化为已知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一例.举例9五、全微分方程一个微分方程写成（2-12）形式后，如果它的左端恰好是某一函数的原函数：，那末方程（2-12）就叫做全微分方程．这里，而方程（2-12）就是．（2-13）这时方程（2-12）（即方程（2-13））的隐式通解为：．由第九章第三节的讨论可知，当、在单连通区域内具有一阶连续的偏导数时，方程（2-12）是全微分方程的充要条件是：，（2-14）在区域内恒成立，且当此条件满足时，全微分方程（2-12）的通解为，（2-15）其中定点。举例9-10当条件（2-14）不能满足时，方程（2-12）不是全微分方程。这时如果存在一个适当的函数，使方程（2-15）两边乘上，所得到的方程是全微分方程，则函数叫做方程（2-12）的积分因子.积分因子的求法，一般说来，不是一件容易的事；不过在比较简单的情形下，可以凭观察得到。例如，方程不是全微分方程。但是由于，可知是一个积分因子，不难验证，和也都是积分因子。乘上其中任何一个并积分，便能得到所求方程的通解。又如，方程也不是全微分方程。但将它的各项重新组合，得再把它改写成这时容易看出为积分因子，乘上该积分因子后，方程变为积分之，得通解即讨论、思考：1.一阶齐次方程中的“齐次”概念与一阶齐次线性方程中的“齐次”概念有何不同？（答一阶齐次方程中的“齐次”概念源于齐次函数的概念。事实上，对二元函数，若存在常数使对任意的实数，有，则称为次齐次函数。显然，形如的函数是零次齐次函数；反之，若为零次齐次函数，则对于任意的实数，有。特别地，取，则有，所以二元函数可以写成当且仅当为零次齐次函数，即一阶方程是齐次函数当且仅当为零次齐次函数。一阶齐次线性方程中的“齐次”概念是指方程关于未知函数及其导数都是一次的，且自由项为零。可见，一阶齐次方程中的“齐次”概念与一阶齐次线性方程中的“齐次”概念之间没有必然的联系。作业：（课本）习题11-2（4，5，6，7，8，9，10，11，12，13）参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习5分钟，授新课80分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他教学方式：√讲授讨论指导其他教学资源：√多媒体模型实物挂图音像其他第3次课的教学整体安排授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第十一章微分方程第三节高阶微分方程的解法（第一讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：用降阶法求解三类方程的基本思想。2.掌握二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。3.了解高阶线性微分方程解的性质及解的结构。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：二阶线性微分方程解的结构难点：方程的解法、高阶线性微分方程解的性质及解的结构。主要内容一、可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.本节先介绍三种特殊类型可降阶的高阶微分方程的解法。1.型的高阶微分方程这类方程的右端仅含有自变量，因而解这类方程时，只需通过次积分就可以得到该方程含有个独立任意常数的通解.举例12.型的微分方程这类方程的特点是：方程右端不显含未知函数,可先把看作未知函数.作变换，则代入原方程，便把它降成关于变量的一阶微分方程.设该方程的通解为由于，因此又得到一个一阶微分方程。对它进行积分，便得到原方程的通解为。举例2-33.型的微分方程这类方程的右端不显含自变量.令，按照复合函数求导法则，得。这样，原方程就成为。这是一个关于变量的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分，便得原方程的通解。举例4二、二阶线性微分方程解的结构1.二阶线性微分方程的一般概念形如（3-1）的微分方程称为二阶线性微分方程，其中都是已知函数。如果，方程（3-1）变为（3-2）方程（3-2）称为（3-1）对应的二阶齐次线性微分方程。2.二阶线性微分方程的解的结构定理1（解的叠加性）若函数与是方程（3-2）的两个解，则（3-3）也是（3-2）的解，其中、是任意常数。证根据假设，有将（3-3）式代入方程（3-2）的左端，并利用已知条件，得所以（3-3）式是方程（3-2）的解。应当注意，叠加起来的解（3-3）从形式上来看含有与两个任意常数，但它不一定是方程（3-2）的通解。例如，设是（3-2）的一个解，则也是（3-2）的解。这时（3-3）式成为，可以把它改写成，其中。这显然不是（3-2）的通解。那末在什么情况下（3-3）式才是方程（3-2）的通解呢？要解决这个问题，我们引进线性相关与线性无关的概念。线性相关与线性无关设函数与在区间上有定义，若存在两个不全为零的数，使得对于区间上的任一，恒有成立，那么称与在区间上线性相关；否则，称与在区间上线性无关。可见与在区间上线性相关的充分必要条件是：如果与的比恒等于常数，即，（为常数）。否则，如果中的任何一个都不是另一个的非零常数倍，即不恒等于非零常数，则与在区间上线性无关。例如，函数与在区间内线性相关；函数与，与,与，与在区间内都线性无关。于是，当与线性无关时，函数中含有两个独立的任意常数。有了线性无关的概念再结合定理1，我们就得到如下二阶齐次线性微分方程（3-2）的通解结构定理。定理2若与是方程（3-2）的两个线性无关的特解，则（3-4）就是方程（3-2）的通解。例如，方程是二阶齐次线性方程（这里）.容易验证，与是所给方程的两个解，且常数，即它们是线性无关的。因此方程的通解为。关于二阶非齐次线性方程（3-1）的通解结构，我们有如下的定理。定理3设是二阶非齐次线性方程（3-1）的一个特解，是与（3-1）对应的二阶齐次线性方程（3-2）的通解，那末（3-5）是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。证已知把（3-5）式代入方程（3-1）的左端，并利用已知条件，得。这样，（3-5）式是方程（3-1）的解。由于对应齐次方程（3-2）的通解中含有两个独立的任意常数，所以中也含有两个独立的任意常数，从而它就是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。例如，方程是二阶非齐次线性微分方程。已知是对应的齐次方程的通解；又容易验证是所给方程的一个特解。因此是所给方程的通解。二阶非齐次线性微分方程的解也有叠加定理，但形式与定理1不同。定理4设与分别是方程与的特解，那末必是方程的特解。讨论、思考：1.线性齐次微分方程的解具有叠加性，非线性齐次微分方程的解是否也具有这一性质？（答不具有。例如，易证和都是微分方程的解，但这两个解的叠加（、是任意常数）不是该方程的解。）2.设、是二阶非齐次线性方程的两个不同的特解，问函数是否为原方程对应的齐次方程的解？（答函数一定是的解。事实上已知。把式代入方程的左端，并利用已知条件，得。这就证明了是原方程对应的齐次方程的解。）作业：（课本）习题11-3（1，2，3，4，5，6）参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习5分钟，授新课80分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他教学方式：√讲授讨论指导其他教学资源：√多媒体模型实物挂图音像其他第4次课的教学整体安排授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第十一章微分方程第三节高阶微分方程的解法（第二讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：二阶常系数齐次线性微分方程的通解的结构。熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法。3.了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。难点：高阶常系数齐次线性微分方程的解法。主要内容三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法在二阶线性微分方程（3-2）中，如果的系数分别为常数时，方程（3-2）变为（3-6）方程（3-6）称为二阶常系数线性齐次微分方程。由本节定理2可知，只要找到方程（3-6）的两个线性无关的两个特解与，即可求得方程（3-6）的通解为。因此，求方程（3-6）的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解。根据方程（3-6）的特点，我们容易看出，及必须是同类型的函数，才有可能使等式左端为零，而指数函数和它的各阶导数都是同类型的函数。因而我们猜想函数有可能是方程（3-6）的解。将代入方程，因为，所以。由于，所以（3-7）由此可见，要使函数是微分方程（3-6）的解，则必须是代数方程（3-7）的根。代数方程（3-7）叫做微分方程（3-6）的特征方程.特征方程（3-7）是一个一元二次代数方程，其中的系数及常数项恰好依次是微分方程（3-6）中及的系数.由一元二次方程的求根公式，可以得到特征方程（3-7）的两个根为（i）特征方程（3-7）有两个不相等的实根：。这时,是微分方程（3-6）的两个线性无关的解，所以微分方程（3-6）的通解为。（ii）特征方程（3-7）有两个相等的实根：.这时，我们只得到微分方程（3-6）的一个特解，为了得出微分方程（3-6）的通解，假设是方程（3-6）的另一个特解，且与线性无关，，即。下面来求。将求导，得，，将、和代入微分方程（3-6），得，约去，整理得，，由于是特征方程（3-7）的二重根.因此，于是得。因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取，由此得到微分方程（3-6）的一个特解，从而微分方程（3-6）的通解为。（iii）特征方程（3-7）有一对共扼复根：实常数.这时，，是方程（3-6）的的两个线性无关的复值函数形式的特解.为了得出实值函数形式的解，我们先利用欧拉公式把改写为由本节定理1知道，微分方程（3-6）的两个解的线性组合仍然是它的解，所以实值函数仍是微分方程（3-6）的解，且不是常数，即它们又是线性无关的.所以微分方程（3-6）的通解为。综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（3-6）的通解的步骤如下：第一步写出微分方程（3-6）的特征方程.（3-7）第二步求出特征方程（3-7）的两个根.第三步根据特征根的不同情形，按下表写出微分方程（3-6）的通解：举例5-7讨论、思考：1.如何求阶常系数齐次线性微分方程的通解？（答：阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是（其中都是常数）求阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤类似与二阶常系数齐次线性微分方程。第一步写出原方程所对应的特征方程。第二步根据特征根的不同情形，按下表可以写出其对应的微分方程的解如下特征方程的根微分方程通解的对应项单实根给出一项：一对单复根给出两项：重实根给出项：一对重复根给出项：第三步从代数学知道，原方程的特征方程有个根（重根按重数计算），而特征方程每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解。例如求方程的通解。解特征方程为，它的根为和。因此所给微分方程的通解为。2.某二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，求该方程（解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，从而为特征方程的根，进而特征方程为，即。故所求二阶常系数齐次线性微分方程为。）作业：（课本）习题11-3（7、8）参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课85分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他教学方式：√讲授讨论指导其他教学资源：√多媒体模型实物挂图音像其他第5次课的教学整体安排授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第十一章微分方程第三节高阶微分方程的解法（第三讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的结构。熟练掌握自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。3.了解自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。难点：自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。主要内容四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法在二阶线性微分方程（3-1）中，如果的系数分别为常数时，方程（3-1）变为（3-8）方程（3-8）称为二阶常系数线性非齐次微分方程.由本节定理3可知，二阶常系数非齐次线性微分方程（3-8）的通解，等于对应的齐次方程（3-6）的通解与本身的一个特解之和。由于方程（3-6）的通解求法已讨论过，这里只讨论方程（3-8）特解的求法。方程（3-8）右端函数（叫做自由项）常见为下面两种形式，可以用待定系数法求方程（3-8）特解.1、设型，其中是常数，是的次多项式：这时方程（3-8）变成（3-9）我们知道，方程（3-9）的特解是使（3-9）成为恒等式的函数。怎样的函数才能使（3-9）成为恒等式呢？因为（3-9）式右端是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，所以要使（3-9）式两端恒等，则它的特解也必须是多项式与指数函数乘积。设（其中是的某个多项式）是方程（3-9）的特解。因，代入方程（3-9）并消去，得（3-10）（i）当时，即不是特征方程的特征根，由于是一个次多项式，要使式（3-10）的两端恒等，必须与同次，故可设为另一个次待定多项式：(其中是待定系数),将代入（3-10）式，并比较等式两端同次幂的系数，就得到以作为未知数的个线性方程的联立方程组。从而可以求定出这些，并得到方程（3-9）的一个特解为。（ii）当，但时，即是特征方程的单根，这时式（3-10）即为：。由此可见，要使此式的两端恒等，必须与同次，即必须是次多项式，故可设（其中为次待定多项式）。同样将它代入方程（3-10）后即可确定的系数，并得到方程（3-9）的一个特解为。（iii）当，且时，即是特征方程的二重根，这时式（3-10）即为：。由此可见，要使此式的两端恒等，必须与同次，即必须是次多项式。故可设（其中为次待定多项式），使用同样的方法来确定的系数，并得到方程（3-9）的一个特解为。综上所述，我们有如下结论：二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如（3-11）的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。举例8-92、设型,其中是为实常数，、分别为的次、次多项式.这时方程（3-8）变成（3-12）此时类似于上一目的讨论（此处讨论从略），可设方程（3-12）的特解为（3-13）其中、是两个次待定多项式，，而按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1。举例10-11五、二阶线性微分方程举例讨论、思考：1.的特解应设为。（解原方程对应齐次方程的特征方程为，它的根为。又方程的特解应设为；方程的特解应设为。根据解的结构定理，故方程的特解应设。）2.已知，其中为任意常数，试求此函数所满足的微分方程。（解由得，，消去，得此函数所满足的微分方程为。）作业：（课本）习题11-3（9，10，11）参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟