高中数学选择性必修2课件：4 2 2 第二课时 等差数列前n项和的最值及应用(人教A版)

第四章第二课时等差数列前n项和的最值及应用能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.课标要求素养要求通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究12.等差数列前n项和的最值最大最小最小最大1.思考辨析，判断正误×(1)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.(

)提示当公差为0时，Sn为一次函数.×(3)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(

)√×2.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是(

) A.5 B.6 C.7 D.8

解析依题意得2a6＝4，2a7＝－2，所以a6＝2>0，a7＝－1<0.

又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起，以后各项均为负数，

于是当Sn取最大值时，n＝6.B2.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是(

) A.5 B.6 C.7 D.8

解析依题意得2a6＝4，2a7＝－2，所以a6＝2>0，a7＝－1<0.

又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起，以后各项均为负数，

于是当Sn取最大值时，n＝6.BC∴当n＝7或8时，Sn有最大值.4.设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________.解析

由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.大26课堂互动题型剖析2题型一等差数列前n项和最值问题的判断【例1】

(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是(

) A.若S3＝S11，则必有S14＝0 B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8，则必有S8>S9 D.若S7>S8，则必有S6>S8ABC思维升华思维升华又S8>S7>…>S1>0，a1>a2>…>a8>0，B【例2】

数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；题型二等差数列前n项和最值的计算解法一(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)求{an}的前多少项和最大？解法一(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零.又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大.【迁移】

(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值.解∵S9＝S17，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.法二由S9＝S17，得a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.因为d＝－2<0，a1>0，所以a13>0，a14<0.故当n＝13时，Sn有最大值169.在等差数列中，求Sn的最大(小)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值.(2)借助二次函数的图象及性质求最值.思维升华解

设数列{an}的公差为d.(2)求Tn的最小值.∴当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5.故Tn的最小值为T4＝T5＝－5.【例3】

7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？题型三等差数列求和的实际应用解

设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解

设Sn是数列{an}的前n项和，∵S13＝273>200，∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).应用等差数列解决实际问题的一般思路：思维升华【训练3】

某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？解由于购房时先付150万元，则欠款1000万元.依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}，∴实际共付1105＋150＝1255(万元).故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1255万元.1.熟记等差数列前n项和公式.2.掌握2种求Sn最大(小)值的方法. (1)通项公式法；(2)函数性质法.3.注意1个易错点

由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(

) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13D解析

∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大.2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(

) A.6 B.7 C.8 D.9B因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？(

) A.4日

B.3日 C.5日

D.6日A解析

由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{an}中，an＝43－3n，则当Sn取最大值时，n＝(

) A.13 B.14 C.15 D.14或15B5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(

) A.35 B.32 C.23 D.38A二、填空题6.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是___________.7.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.8解析

∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为________.16当且仅当a3＝4时取等号.三、解答题9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；解∵a3＝12，∴a1＝12－2d.∵S12＞0，S13＜0，(2)问前几项的和最大？并说明理由.解∵S12＞0，S13＜0，又由(1)知d＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.依题设构建方程有Sn＋Tn＝8670，即25n2－5n＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化简，得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)

问：此民谣提出的问题的答案是(

) A.61.395尺

B.61.905尺 C.72.705尺

D.73.995尺A8或9即n＝8或9时，Tn有最大值；若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m，最远一根电线杆距离电站1550m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17500m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，则an＝1550×2＝3100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，由①得a1＝3400－300n.代入②得n(3400－300n)＋150n(n－1)－17500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，所以a1＝3400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400m，所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的命题有(

) A.若S10＝0，则S2＋S8＝0 B.若S4＝S12，则使Sn>0的n的最大值为15 C.若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大

D.若S7<S8，则S8<S9BC对于C，若S15>0，S16<0，则有a8>0，a9<0，故{Sn}中S8最大，故C正确；对于D，若S7<S8，即a8＝S8－S7>0，而S9－S8＝a9，不能确定其符号，D错误.备用工具&资料14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的命题有(

) A.若S10＝0，则S2＋S8＝0 B.若S4＝S12，则使Sn>0的n的最大值为15 C.若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大