高中数学选择性必修二课件：习题课 导数中的函数构造问题(人教A版)

习题课导数中的函数构造问题第五章§5.3导数在研究函数中的应用1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用f(x)与x构造二、利用f(x)与ex构造三、利用f(x)与sinx，cosx构造内容索引一、利用f(x)与x构造例1已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是A.(0,1) B.(2，＋∞)C.(1,2) D.(1，＋∞)√解析构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，且x2－1>0，x＋1>0，解得x>2或x<－1(舍去)，所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).延伸探究把本例中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1).∵f(x)<xf′(x)，∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)得，即g(2x＋1)>g(x2＋1)，即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0,2).反思感悟用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有(1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x).(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x).(3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax.(4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x).(5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝

.反思感悟用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有(1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x).(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x).(3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax.(4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x).(5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝

.√二、利用f(x)与ex构造例2

已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则A.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0)√解析构造函数h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2021)<h(0)，即e－2021f(－2021)<e0f(0)，即e－2021f(－2021)<f(0).同理，h(2021)>h(0)，即e2021f(2021)>f(0)，故选A.解析构造函数h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2021)<h(0)，即e－2021f(－2021)<e0f(0)，即e－2021f(－2021)<f(0).同理，h(2021)>h(0)，即e2021f(2021)>f(0)，故选A.延伸探究把本例中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2021f(－2021)和f(0)的大小.因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以h(－2021)<h(0)，反思感悟f(x)与ex构造常见的形式(1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x).(2)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝

.跟踪训练2

(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)√√所以g(x)在R上单调递减，又ln2>0,2>0，所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).三、利用f(x)与sinx，cosx构造√√因为f′(x)cosx＋f(x)sinx<0，反思感悟f(x)与sinx，cosx构造常见的形式(1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝f(x)sinx.(2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝

.(3)对于f′(x)cosx－f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝f(x)cosx.(4)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝

.√解析由已知，得f(x)为奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx，1.知识清单：(1)几种常见的构造形式.(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数.课堂小结随堂演练12341.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)√解析设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数.∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故选A.12342.若函数y＝f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f′(x)<f(x)，且f(x＋1)为偶函数，f(2)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为A.(2，＋∞) B.(0，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，2)√1234由f′(x)<f(x)，可得f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，函数g(x)在R上单调递减，由f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)关于直线x＝1对称，即不等式f(x)<ex的解集为(0，＋∞).3.已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<1，则f(x)>x－1的解集为A.{x|－2<x<2} B.{x|x<2}C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x>2}√解析令g(x)＝f(x)－(x－1)，则g′(x)＝f′(x)－1<0，所以g(x)在R上单调递减.又f(2)＝1，所以g(2)＝f(2)－(2－1)＝0.由f(x)>x－1，得g(x)>0，解得x<2.123412341234解析∵f(x)cosx<f′(x)sinx，∴f′(x)sinx－f(x)cosx>0，1234课时对点练基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516故h(x)<0的解集为{x|x>1}.123456789101112131415162.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是A.(－∞，－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1，＋∞)√12345678910111213141516所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性知h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，所以f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).123456789101112131415163.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，且f(x)＋(x－1)f′(x)>0，则A.f(1)＝0 B.f(x)<0C.f(x)>0 D.(x－1)f(x)<0√12345678910111213141516解析令g(x)＝(x－1)f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以g(x)在R上是增函数，又因为g(1)＝0，所以当x>1时，g(x)＝(x－1)f(x)>0；当x<1时，g(x)＝(x－1)f(x)<0，所以当x≠1时，f(x)>0，又f(1)＋(1－1)f′(1)＝f(1)>0，所以ABD错误，C正确.123456789101112131415164.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<－f′(x)，则下列式子成立的是A.f(2020)>ef(2021) B.f(2020)<ef(2021)C.ef(2020)>f(2021) D.ef(2020)<f(2021)√解析依题意得f(x)＋f′(x)<0，令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]<0在R上恒成立，所以函数g(x)＝exf(x)在R上单调递减，所以g(2020)>g(2021)，即e2020f(2020)>e2021f(2021)⇒f(2020)>ef(2021).12345678910111213141516√12345678910111213141516∴f(x)是奇函数，12345678910111213141516123456789101112131415166.(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)√√12345678910111213141516解析由(x＋1)f′(x)>f(x)，得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)<g(3)<g(4)，即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD.1234567891011121314151612345678910111213141516令g(x)＝f(x)sinx，12345678910111213141516a<b<c12345678910111213141516解析设函数g(x)＝f(x)cosx，则g′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx，因为f′(x)cosx－f(x)sinx>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，π)上单调递增，所以a<b<c.123456789101112131415169.若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xlnx≥ax－a，求实数a的取值范围.12345678910111213141516即m(x)在[e，＋∞)上单调递增，故m(x)≥m(e)＝e－2>0，∴h′(x)>0，1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝

x2－2alnx＋(a－2)x.(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值；∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，e]时，f′(x)>0.∴f(x)在[1,2)上单调递减，在(2，e]上单调递增.∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)＝－2ln2.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516不妨设0<x1<x2，∴f(x2)－ax2>f(x1)－ax1.令g(x)＝f(x)－ax，则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，12345678910111213141516由此可得g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，123456789101112131415综合运用1611.设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)√12345678910111213141516由f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，得F′(x)<0，所以F(x)在R上单调递减，因为a<x<b，又f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，故f(x)g(b)>f(b)g(x).1234567891011121314151612.设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若3f(x)＋f′(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，0) D.(0,1)√12345678910111213141516解析令g(x)＝e3xf(x)，则g′(x)＝3e3xf(x)＋e3xf′(x)，因为3f(x)＋f′(x)>0，所以3e3xf(x)＋e3xf′(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数，又f(x)>e－3x可化为e3xf(x)>1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1，所以g(x)>g(0)，解得x>0，所以不等式f(x)>e－3x的解集是(0，＋∞).1234567891011121314151613.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x都有2f(x)>xf′(x)成立，则A.9f(2)>4f(3)B.9f(2)<4f(3)C.9f(2)＝4f(3)D.9f(2)与4f(3)的大小不确定√12345678910111213141516解析由2f(x)>xf′(x)，得xf′(x)－2f(x)<0，因为x是正数，所以x3>0，又xf′(x)－2f(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，即9f(2)>4f(3).12345678910111213141516(－1,0)∪(1，＋∞)12345678910111213141516即g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，12345678910111213141516∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)，g(x)<0的解集为(0,1).∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)，g(x)<0的解集为(－1,0).由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0).又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).拓广探究1234567891011121314151615.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，则下列不等式一定成立的是A.f(1)<e3f(0) B.f(1)<e2f(0)C.f(1)>e3f(0) D.f(1)>e2f(0)√因为3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，所以g′(x)<0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516①当a≥0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当a<0时，由f′(x)>0，得0<x<－a；由f′(x)<0，得x>－a.即f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，＋∞)上单调递减，综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a<0时，