高中数学选择性必修二课件：4 2 2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用 (1)(人教A版)

第四章

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和公式的推导及

简单应用学习目标XUEXIMUBIAO1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中

三个求另外两个.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝__________Sn＝_______________知识点等差数列的前n项和公式1.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.(

)2.若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列.(

)3.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2题型探究PARTTWO一、等差数列前n项和的有关计算例1

在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则跟踪训练1

在等差数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；解设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.(2)a3＋a15＝40，求S17；二、等差数列前n项和的比值问题解方法一设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，方法二设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由于a1＋a9＝2a5.方法三设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0).所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.反思感悟设{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则an∶bn＝S2n－1∶T2n－1.√3随堂演练PARTTHREE解析∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于12345√123452.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为12345√123454.在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝

.1901234512

－4整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，1.知识清单：(1)等差数列前n项和及其计算公式.(2)等差数列前n项和公式的推导过程.(3)由an与Sn的关系求an.(4)等差数列在实际问题中的应用.2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想.3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于A.49 B.42 C.35 D.28基础巩固12345678910111213141516√2.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于A.10 B.15 C.20 D.3012345678910111213141516√所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍).解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于A.18 B.20 C.22 D.2412345678910111213141516√4.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于A.－1 B.3 C.5 D.7√12345678910111213141516√解析由题意知a1＋(n－1)×2＝11，

①由①②解得a1＝3或－1.5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为A.7 B.8

C.9 D.10√12345678910111213141516得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.6.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝

，公差d＝

.123456789101112131415161解析a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，

①123456789101112131415167.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝

.5解析因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.解析设数列{an}的公差为d，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，12345678910111213141516123456789101112131415169.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；解设数列{an}的首项为a1，公差为d.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)若Sn＝242，求n.12345678910111213141516解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.12345678910111213141516∵S7＝7，S15＝75，1234567891011121314151611.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为A.765 B.665 C.763 D.663综合运用√解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，1234567891011121314151612.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝

.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵{an}，{bn}均为等差数列，1234567891011121314151614.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为

.10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.拓广探究1234567891011121314151615.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于√解析由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，123456789101112131415161234567891011121314151616.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516解∵S4＝28，∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴an＝4n－3，n∈N*.解由(1)，知Sn＝2n2－n，又{bn}也是等差数列，∴b1＋