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文档简介
第四章
4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和公式的推导及
简单应用学习目标XUEXIMUBIAO1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中
三个求另外两个.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE已知量首项,末项与项数首项,公差与项数求和公式Sn=__________Sn=_______________知识点等差数列的前n项和公式1.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.(
)2.若数列{an}的前n项和Sn=kn(k∈R),则{an}为常数列.(
)3.等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(
)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2题型探究PARTTWO一、等差数列前n项和的有关计算例1
在等差数列{an}中:(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;解得a1=-5,d=3.∴a8=a6+2d=10+2×3=16,(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.∴a8=39,d=5.(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.∴a8=39,d=5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则跟踪训练1
在等差数列{an}中:(1)a1=1,a4=7,求S9;解设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.(2)a3+a15=40,求S17;二、等差数列前n项和的比值问题解方法一设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,方法二设{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,由于a1+a9=2a5.方法三设{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,根据已知,可令An=(7n+2)kn,Bn=(n+3)kn(k≠0).所以a5=A5-A4=(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k,b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k.反思感悟设{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,则an∶bn=S2n-1∶T2n-1.√3随堂演练PARTTHREE解析∵an=2-3n,∴a1=2-3=-1,1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n,n∈N*,则{an}的前n项和Sn等于12345√123452.在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则该数列的前9项和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d为12345√123454.在等差数列{an}中,已知a10=10,则S19=
.1901234512
-4整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),1.知识清单:(1)等差数列前n项和及其计算公式.(2)等差数列前n项和公式的推导过程.(3)由an与Sn的关系求an.(4)等差数列在实际问题中的应用.2.方法归纳:函数与方程思想、倒序相加法、整体思想.3.常见误区:由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于A.49 B.42 C.35 D.28基础巩固12345678910111213141516√2.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,Sn=580,则n等于A.10 B.15 C.20 D.3012345678910111213141516√所以n2+9n=580,解得n=20或n=-29(舍).解析由S10=S11,得a11=S11-S10=0,所以a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.3.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1等于A.18 B.20 C.22 D.2412345678910111213141516√4.(多选)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于A.-1 B.3 C.5 D.7√12345678910111213141516√解析由题意知a1+(n-1)×2=11,
①由①②解得a1=3或-1.5.在等差数列{an}中,已知a1=-12,S13=0,则使得an>0的最小正整数n为A.7 B.8
C.9 D.10√12345678910111213141516得a13=12,则a1+12d=12,得d=2,∴数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)×2=2n-14,由2n-14>0,得n>7,即使得an>0的最小正整数n为8.6.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其首项a1=
,公差d=
.123456789101112131415161解析a4+a6=a1+3d+a1+5d=6,
①123456789101112131415167.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=
.5解析因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5.解析设数列{an}的公差为d,所以10a1+45d=20a1+40d,12345678910111213141516123456789101112131415169.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列的通项公式;解设数列{an}的首项为a1,公差为d.∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.(2)若Sn=242,求n.12345678910111213141516解得n=11或n=-22(舍去).故n=11.12345678910111213141516∵S7=7,S15=75,1234567891011121314151611.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为A.765 B.665 C.763 D.663综合运用√解析∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15,1234567891011121314151612.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=Sn·Sn+1,则Sn=
.因为an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵{an},{bn}均为等差数列,1234567891011121314151614.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为
.10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200.∴当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.拓广探究1234567891011121314151615.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则a2+a3+a4+…+an等于√解析由图案的点数可知a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以an=3n-3,n≥2,123456789101112131415161234567891011121314151616.已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且a2a3=45,S4=28.(1)求数列{an}的通项公式;12345678910111213141516解∵S4=28,∴a2+a3=14,又a2a3=45,公差d>0,∴a2<a3,∴a2=5,a3=9,∴an=4n-3,n∈N*.解由(1),知Sn=2n2-n,又{bn}也是等差数列,∴b1+
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