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2025九年级上册数数学(RJ)2025九年级上册数数学(RJ)21.2第1课时二次函数与一元二次方程2第1课时二次函数与一元二次方程●基础练习1.如果抛物线y=-2x2+mx-3的顶点在x轴正半轴上,则m=______.2.二次函数y=-2x2+x-,当x=______时,y有最______值,为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y=______;②当x=______时,y=3;③根据图象回答:当x______时,y>0. 图1 图24.某一元二次方程的两个根分别为x1=-2,x2=5,请写出一个经过点(-2,0),(5,0)两点二次函数的表达式:______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x取什么实数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,你认为m的取值范围是______,此时关于一元二次方程2x2-6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下,且与x轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个),此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.如图2,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1m,球路的最高点B(8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m).8.若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2,与x轴有两个交点,则整数k的最小值是______.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).10.等腰梯形的周长为60cm,底角为60°,当梯形腰x=______时,梯形面积最大,等于______.11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象,并将代号填在相应的横线上.(1)一辆匀速行驶的汽车,其速度与时间的关系.对应的图象是______.(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形,长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220V电压下,电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价______元,最大利润为______元.13.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题,其中是假命题的个数是()①当c=0时,函数的图象经过原点;②当b=0时,函数的图象关于y轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是;④当c>0且函数的图象开口向下时,方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根()A.0个B.1个C.2个D.3个14.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.15.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是()A.k>-; B.k≥-且k≠0;C.k≥-; D.k>-且k≠016.如图6所示,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=xm,长方形的面积为ym2,要使长方形的面积最大,其边长x应为()A.mB.6mC.15mD.m 图4 图5 图617.二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,△ABC的面积为()A.1 B.3 C.4 D.618.无论m为任何实数,二次函数y=x2+(2-m)x+m的图象总过的点是()A.(-1,0); B.(1,0) C.(-1,3); D.(1,3)19.为了备战2008奥运会,中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图5所示),则下列结论正确的是()①a<-②-<a<0③a-b+c>0④0<b<-12aA.①③ B.①④ C.②③ D.②④20.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t-5t2.当h=20m时,小球的运动时间为()A.20s B.2s C.(2+2)sD.(2-2)s21.如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点,且A点在x轴正半轴上,B点在x轴的负半轴上,则m的取值范围应是()A.m>1 B.m>-1C.m<-1 D.m<122.如图7,一次函数y=-2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点,二次函数y=x2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B,若AC∶CB=1∶2,那么,这个二次函数的顶点坐标为()A.(-,)B.(-,)C.(,)D.(,-)23.某乡镇企业现在年产值是15万元,如果每增加100元投资,一年增加250元产值,那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为()A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.524.如图8,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+x+,则该运动员此次掷铅球的成绩是()A.6m B.12m C.8m D.10m 图7 图8 图925.某幢建筑物,从10m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直,如图9,如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是()A.2m B.3m C.4mD.5m26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.(1)y=x2+x+1;(2)y=4x2-8x+4;(3)y=-3x2-6x-3;(4)y=-3x2-x+427.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图像有什么关系?试把方程的根在图像上表示出来.28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.(1)4x2-8x+1=0;(2)x2-2x-5=0;(3)2x2-6x+3=0;(3)x2-x-1=0.29.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A,C两点.求△ABC的周长和面积.●能力提升30.某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系:m=140-2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?31.已知二次函数y=(m2-2)x2-4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=x+1上,求这个二次函数的表达式.32.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为xm.(1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?33.当运动中的汽车撞到物体时,汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示,其中v(千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的多少倍?34.如图7,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少.35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息?(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗?若不能,说明理由;若能,进行解答,并与同伴交流.36.把一个数m分解为两数之和,何时它们的乘积最大?你能得出一个一般性的结论吗?●综合探究37.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?38.图中a是棱长为a的小正方体,图b、图c由这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层,第二层……,第n层,第n层的小正方形的个数记为S,解答下列问题:(1)按照要求填表:n1234…S136…(2)写出当n=10时,S=______;(3)根据上表中的数据,把S作为纵坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的各点;(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数的图象上,求出该函数的表达式;若不在,说明理由.参考答案1.22.大-没有3.①x2-2x②3或-1③<0或>24.y=x2-3x-105.m>无解6.y=-x2+x-1最大7.y=-x2+2x+116.58.29.b2-4ac>0(不唯一)10.15cmcm211.(1)A(2)D(3)C(4)B12.562513.B14.C15.B16.D17.B18.D19.B20.B21.B22.A23.C24.D25.B〔提示:设水流的解析式为y=a(x-h)2+k,∴A(0,10),M(1,).∴y=a(x-1)2+,10=a+.∴a=-.∴y=-(x-1)2+.令y=0得x=-1或x=3得B(3,0),即B点离墙的距离OB是3m26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点(1,0),(,0),草图略.27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.28.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0.629.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=,BC=,OB=│-3│=3.C△ABC=AB+BC+AC=.S△ABC=AC·OB=×2×3=3.30.(1)y=-2x2+180x-2800.(2)y=-2x2+180x-2800=-2(x2-90x)-2800=-2(x-45)2+1250.当x=45时,y最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适,此销售利润最大,为1250元.31.∵二次函数的对称轴x=2,此图象顶点的横坐标为2,此点在直线y=x+1上.∴y=×2+1=2.∴y=(m2-2)x2-4mx+n的图象顶点坐标为(2,2).∴-=2.∴-=2.解得m=-1或m=2.∵最高点在直线上,∴a<0,∴m=-1.∴y=-x2+4x+n顶点为(2,2).∴2=-4+8+n.∴n=-2.则y=-x2+4x+2.32(1)依题意得鸡场面积y=-∵y=-x2+x=(x2-50x)=-(x-25)2+,∴当x=25时,y最大=,即鸡场的长度为25m时,其面积最大为m2.(2)如中间有几道隔墙,则隔墙长为m.∴y=·x=-x2+x=-(x2-50x)=-(x-25)2+,当x=25时,y最大=,即鸡场的长度为25m时,鸡场面积为m2.结论:无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,其长都是25m.33(1)如下表v…-2-1-0123…I…8202818…(2)I=2·(2v)2=4×2v2.当汽车的速度扩大为原来的2倍时,撞击影响扩大为原来的4倍.34(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点:(0,3.5),(1.5,3.05).∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)设球出手时,他跳离地面的高度为hm,则球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m,∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5,∴h=0.2(m).35(1)信息:①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利……(2)问题:6月份利润总和是多少万元?由图可知,抛物线的表达式为y=(x-2)2-2,当x=6时,y=6(万元)(问题不唯一).36.设m=a+by=a·b,∴y=a(m-a)=-a2+ma=-(a-)2+,当a=时,y最大值为.结论:当两个数的和一定,这两个数为它们和的一半时,两个数的积最大.37.(1)由题意知:p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q-30000-400x=-10x2+500x=-10(x2-50x)=-10(x-25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元.38.(1)10(2)55(3)(略).(4)经猜想,所描各点均在某二次函数的图象上.设函数的解析式为S=an2+bn+c.由题意知∴S=22.2降次--解一元二次方程(第二课时)22.2.1配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x2-4x+1配方后得()A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-32、已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是()A、x2-8x+42=31B、x2-8x+42=1C、x2+8x+42=1D、x2-4x+4=-113、代数式的值为0,求x的值.4、解下列方程:(1)x2+6x+5=0;(2)2x2+6x-2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.点拨:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±或mx+n=±(p≥0).◆典例分析用配方法解方程,下面的过程对吗?如果不对,找出错在哪里,并改正.解:方程两边都除以2并移项,得,配方,得,即,解得,即.分析:配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。本题中一次项系数是,因此,等式两边应同时加上或才对解:上面的过程不对,错在配方一步,改正如下:配方,得,即,解得,即.◆课下作业●拓展提高1、配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为()A、(x-)2=B、(x-)2=0C、(x-)2=D、(x-)2=2、用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是()A、(x-)2=,x=±
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