高考数学微专题集专题21抛物线的焦点弦微点1抛物线的焦点弦常用结论及其应用(原卷版+解析)

专题21抛物线的焦点弦微点1抛物线的焦点弦常用结论及其应用专题21抛物线的焦点弦微点1抛物线的焦点弦常用结论及其应用【微点综述】在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍．一、常用结论不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（1）～（9）：（1）．（2）焦半径长公式：（坐标式）；夹角式：（在轴上方，在轴下方）．（3）焦点弦长公式：．（4）通径长公式：（通径最短）．（5）AF，BF的数量关系：．（6）三角形AOB的面积：．（7）中点弦斜率：若斜率为，，则．（8）直线的斜率之和为零，即．（9）焦点弦与圆有关的结论，如图2，①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．（11）点三点共线；点三点共线．（12）如图4，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．图4证明：（1）因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．（2）由抛物线的定义易得．又，同理可证．（3）由（2）可得弦长：．（4）当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．（5）由，得，又，．（6）点到直线的距离就是的高，，．（7），由点差法得．（8），，，分子，直线的斜率之和为零：，即．（9）①如图2，过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知，即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．（10）①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．④由抛物线的定义知，////，，而，即．⑤易知，又．（11）由（1）知．点三点共线．同理可证：点三点共线．（12）．设，则，直线方程为，即，直线AB过定点．二、应用举例例1．(2023太原一模）1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为A． B． C． D．4例2．(2023晋中二模）2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，坐标原点，若的面积为，则A． B． C． D．3．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于A．2 B． C． D．4．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，若，求．5．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，直线倾斜角为，求．6．若抛物线，过焦点F作倾斜角为的直线与抛物线交于A，B，求．7．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，若，求．8．若抛物线，过焦点F作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A，B和C，D，求．9．若抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若，求直线l方程．10．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．11．斜率为k的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，O为原点，M为AB中点，且，求k．【强化训练】(2023·云南玉溪·高二期末）12．直线与抛物线交于，两点，则（

）A． B． C． D．13．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（

）A． B． C． D．14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（

）A．2 B．4 C． D．15．设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点（0,2），则的方程为A．或B．或C．或D．或(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）16．已知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8(2023·广东佛山·模拟预测）17．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．18．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（

）A．10 B．14 C．12 D．16(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）19．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（

）A．2 B． C． D．4(2023全国·高二月考）20．已知抛物线C∶，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线y=x-2于E，F两点，则|EF|的最小值（

）A． B．C． D．(2023·辽宁实验中学模拟预测）21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，准线为l，过点A作，垂足为，的角平分线交l于点M，过B作抛物线的切线交l于点N，则_________．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测）22．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.(2023·江苏南通·高二期末）23．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．(2023·四川省内江市第六中学高二月考）24．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.(2023·广东广州·高二期末）25．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则线段的长度为__________．(2023·全国·高二月考）26．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上，则__．27．已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．(2023·湖南衡阳·三模）28．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．(1)求实数的值；(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．(2023·河北秦皇岛·三模）29．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．(1)求抛物线的方程．(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．(1)求证：；(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；(2023·江苏·扬州中学模拟预测）31．已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点..(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：.(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）32．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；(3)在（2）的条件下，求的最大值．(2023·江苏南京·模拟预测）33．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．专题21抛物线的焦点弦微点1抛物线的焦点弦常用结论及其应用专题21抛物线的焦点弦微点1抛物线的焦点弦常用结论及其应用【微点综述】在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍．一、常用结论不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（1）～（9）：（1）．（2）焦半径长公式：（坐标式）；夹角式：（在轴上方，在轴下方）．（3）焦点弦长公式：．（4）通径长公式：（通径最短）．（5）AF，BF的数量关系：．（6）三角形AOB的面积：．（7）中点弦斜率：若斜率为，，则．（8）直线的斜率之和为零，即．（9）焦点弦与圆有关的结论，如图2，①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．（11）点三点共线；点三点共线．（12）如图4，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．图4证明：（1）因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．（2）由抛物线的定义易得．又，同理可证．（3）由（2）可得弦长：．（4）当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．（5）由，得，又，．（6）点到直线的距离就是的高，，．（7），由点差法得．（8），，，分子，直线的斜率之和为零：，即．（9）①如图2，过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知，即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．（10）①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．④由抛物线的定义知，////，，而，即．⑤易知，又．（11）由（1）知．点三点共线．同理可证：点三点共线．（12）．设，则，直线方程为，即，直线AB过定点．二、应用举例例1．(2023太原一模）1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为A． B． C． D．4例2．(2023晋中二模）2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，坐标原点，若的面积为，则A． B． C． D．3．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于A．2 B． C． D．4．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，若，求．5．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，直线倾斜角为，求．6．若抛物线，过焦点F作倾斜角为的直线与抛物线交于A，B，求．7．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，若，求．8．若抛物线，过焦点F作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A，B和C，D，求．9．若抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若，求直线l方程．10．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．11．斜率为k的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，O为原点，M为AB中点，且，求k．【强化训练】(2023·云南玉溪·高二期末）12．直线与抛物线交于，两点，则（

）A． B． C． D．13．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（

）A． B． C． D．14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（

）A．2 B．4 C． D．15．设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点（0,2），则的方程为A．或B．或C．或D．或(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）16．已知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8(2023·广东佛山·模拟预测）17．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．18．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（

）A．10 B．14 C．12 D．16(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）19．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（

）A．2 B． C． D．4(2023全国·高二月考）20．已知抛物线C∶，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线y=x-2于E，F两点，则|EF|的最小值（

）A． B．C． D．(2023·辽宁实验中学模拟预测）21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，准线为l，过点A作，垂足为，的角平分线交l于点M，过B作抛物线的切线交l于点N，则_________．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测）22．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.(2023·江苏南通·高二期末）23．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．(2023·四川省内江市第六中学高二月考）24．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.(2023·广东广州·高二期末）25．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则线段的长度为__________．(2023·全国·高二月考）26．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上，则__．27．已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．(2023·湖南衡阳·三模）28．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．(1)求实数的值；(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．(2023·河北秦皇岛·三模）29．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．(1)求抛物线的方程．(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．(1)求证：；(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；(2023·江苏·扬州中学模拟预测）31．已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点..(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：.(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测）32．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；(3)在（2）的条件下，求的最大值．(2023·江苏南京·模拟预测）33．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．参考答案：1．A【详解】解：设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则：，由弦长公式可得：，三角形的面积为：.本题选择A选项.2．A【详解】抛物线的焦点坐标为,过焦点的直线设为,设,联立有,所以有,由,所以有,,故选A.3．C分析：设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．【详解】抛物线转化成标准方程：，焦点坐标，准线方程为，设过的直线方程为，，整理得．设，，，由韦达定理可知：，，，，根据抛物线性质可知，，，，的值为，故选：C．【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．4．分析：根据抛物线的焦点弦性质计算．【详解】由对称性，不妨设的倾斜角为锐角，，由结论2可得：．5．分析：由焦点弦的性质求得，【详解】由题意．6．12分析：由抛物线的焦点弦长公式（是焦点弦所在直线倾斜角）计算．【详解】．7．分析：根据抛物线的焦点弦长公式（为焦点弦所在直线的倾斜角，由对称性，设为锐角）求出弦所在直线的倾斜角的正弦，再由焦半径公式较短的，较长的计算．【详解】设倾斜角为，且为锐角，则．8．16分析：设出直线的倾斜角为，根据抛物线焦点弦的结论得到与，利用三角函数的恒等变换及有界性求出最小值.【详解】设直线的倾斜角为，则，，所以，当或时，，9．或．分析：由焦点弦性质求得直线的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程．【详解】先设直线AB倾斜角为锐角，．由对称性直线方程还可以为，综上，直线的方程为或．10．分析：求出直线的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到直线的距离，从而求出三角形的面积.【详解】由题意得：，直线的斜率为，故直线的方程为，将联立得：，设，则，则，点到直线的距离为，所以11．．分析：由焦点弦的性质求解.【详解】设，设，，，，又，，所以，由对称性，也适合．综上，．12．D分析：焦点弦长度等于.【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则由得：，所以，，所以，故选：D.13．B分析：设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即，则直线AF的方程为，即，代入得，解得（舍）或，则，故选：B．14．D分析：根据抛物线的焦点弦长公式计算．【详解】抛物线，可知，设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，过焦点的弦，，∴，故选：D．15．C【详解】∵抛物线方程为,∴焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.16．C分析：先求出抛物线的准线方程，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得出答案.【详解】抛物线的准线方程为：分别过作准线的垂线，垂足分别为则点到准线的距离为根据抛物线的定义可得,且所以故选：C17．C分析：设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义可得：.因为，所以.而.在直角三角形ABC中，,解得：．故选：C18．C分析：确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，根据抛物线的定义得，．又，所以．因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，所以的最大值为12，故选：C19．B分析：根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：所以.∵，当时，，当时，，∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，故选：B.解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，故选：B.20．D分析：设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，得出根与系数的关系，再得出直线OA的方程为，与联立求得点E、F的坐标，表示出线段EF，运用函数的性质可求得最小值得选项.【详解】由抛物线C∶，得焦点为，设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，所以，，，，直线OA的方程为，联立；同理可得，，所以，令，则，所以，当时，，当时，，当，即时，取等号，所以|EF|的最小值为，故选：D.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.21．0分析：设，求出的角平分线方程，得到；求出在处的切线方程为：，得到.由，整理得M、N重合.即可求得.【详解】抛物线的焦点为，准线为l：.因为过F的直线交抛物线于A，B两点，所以可设直线AB：.设，则，消去x得：.所以.不妨设，则.因为过点A作，垂足为，所以，设的中点为E,则，所以，所以直线AE:.令，解得：，所以.对于点，因为，由可得：，所以.所以在处的切线的斜率为，切线方程为：，即.令，解得：，所以.因为，所以所以，即所以M、N重合.所以0.故答案为：0.22．2分析：过点F且斜率为1的直线方程为，联立抛物线C的方程，求出，，由，即可求出的值.【详解】过点F且斜率为1的直线方程为，联立抛物线C的方程，得，所以，又因为令中，则，又因为，所以，又因为，所以，解得p＝2.故答案为：2.23．##分析：推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】易知，可得，所以，抛物线的方程为.若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立可得，即，，由韦达定理可得，.所以，，所以，，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.24．分析：设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【详解】解：设抛物线的方程：，焦点为F，则，则，∴抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，由直线PQ过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l的方程为：，设P､Q坐标分别为和，由联立，得，恒成立，由韦达定理得：，，∴，，∴，则.当且仅当时等号成立，故答案为：25．8分析：确定，设直线方程并和抛物线方程联立，求得，进而求出，根据抛物线的弦长公式求得答案.【详解】由题意知,故，其焦点为，设直线l的方程为，联立，得:,,由于，，则，而，故，故的长为，故答案为：826．分析：作辅助线，由可知，由三角形相似结合抛物线定义可求得，从而推得，从而由求得答案.【详解】如图，设抛物线准线交x轴与点K,分别过作垂直于抛物线的准线于由，得，由抛物线定义可知由得则，，故答案为：．27．(1)(2)证明见解析分析：（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程；（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.（1）由题意可得，得，∴抛物线.（2）证明：，联立，得．由，得或，设，，则，，∴.28．(1)(2)存在，定点为，为定值1分析：（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.（1）抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，联立方程得：，整理得：，恒成立．其中，，，，因为焦点弦长，所以当时，弦长．所以，实数的值为．（2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．联立方程得：，整理得：，．其中，，，，因为以为直径的圆经过点，所以．又因为，∵，∴．所以直线过定点，又因为，所以为直角三角形，所以当为斜边中点时，为定值，此时．所以定点为，为定值1．29．(1)；(2)证明见解析.分析：(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.（1）设点，由题意可知，所以，解得．因为，所以．所以抛物线的方程为．（2）设直线的方程为，联立方程组消去得，所以．设，则，又因为，所以，即直线的斜率