2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)第四章数列章末重点题型大总结(精讲)(原卷版+解析)

第四章数列章末总结（精讲）目录第一部分：知识框架第二部分：典型例题剖析重点题型一：等差与等比数列的基本运算重点题型二：等差、等比数列的判定重点题型三：等差、等比数列的性质及应用重点题型四：数列求通项、求和第三部分：数学思想与方法函数方程分类讨论思想第一部分：知第一部分：知识框架第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：等差与等比数列的基本运算典型例题例题1．(2023·全国·高二期中）在等差数列中，(1)若，，试判断91是否为此数列中的项；(2)若，，求.例题2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．例题3．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为．(1)若公比，，，求；(2)若，求公比．同类题型归类练1．(2023·江苏·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，公差，求；(2)已知公差，，求；(3)已知，公差，，求n．2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等比数列{an}中，(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；(2)已知a1＝－，a4＝96，求前4项和S4；(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1，a5.3．(2023·江苏·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．重点题型二：等差、等比数列的判定典型例题例题1．（江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列的前项和为且满足，，则______．例题2．(2023·全国·高三专题练习）若数列的前项和满足：.(1)证明：数列为等比数列并求出通项公式；同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足an＋1＝,(1)求证：数列是等差数列；2．(2023·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且.(1)求数列的通项公式；3．(2023·四川省高县中学校高一阶段练习（文））设数列的前项的和为，点在函数的图象上，数列满足：，，其中．(1)求数列和的通项公式；4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．重点题型三：等差、等比数列的性质及应用典型例题例题1．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则该数列前项的和=（

）A．96 B．48 C．36 D．24例题2．(2023·河南·高三开学考试（文））已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（

）A．11 B．12 C．21 D．22例题3．(2023·四川省南充市第一中学高一期中）设等差数列的前项和为且则（

）A．2330 B．2130 C．2530 D．2730例题4．(2023·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．例题6．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（

）A． B． C． D．例题7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.同类题型归类练1．(2023·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（

）A．9 B．12 C．15 D．162．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））设等差数列的前项的和为，若，则（

）A．17 B．34 C．51 D．1023．(2023·四川省广汉中学高二开学考试（理））在等比数列中，，，则等于（

）A．81 B． C．3 D．2434．(2023·全国·高三专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．10125．(2023·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．156．（多选）(2023·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．8．(2023·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.9．(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．10．(2023·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．重点题型四：数列求通项、求和典型例题例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.例题3．(2023·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，．(1)求及；(2)若，求数列的前项和．例题5．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为，求证：.例题6．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.例题7．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前项和例题8．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.(1)求；(2)设，求数列的前项和.例题9．(2023·四川泸州·高一期末）已知数列满足，等差数列的前3项和为.(1)求数列与的通项公式；(2)记数列，求数列的前项和.例题10．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知是数列的前n项和，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．(1)求；(2)设求数列的前n项和．3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.4．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，

(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和.(3)设，，的前n项和，求证：.5．(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．6．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；(2)设，且，数列的前项和为，求；7．(2023·全国·高三专题练习）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，___________.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.8．(2023·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．(1)求；(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．第三部分：数第三部分：数学思想与方法函数方程典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．例题2．(2023·全国·高三专题练习）记关于的不等式的整数解的个数为，数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意，都有成立，试求实数的取值范围.同类题型归类练1．(2023·四川宜宾·高一期末）已知数列的前项和，其中．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在且，使得成立，求实数的最小值．2．(2023·四川资阳·高一期末）已知数列的前项和为，且，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若（），求实数的取值范围．分类讨论思想典型例题例题1．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2．(2023·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，.(1)求通项公式；(2)若，求数列的前项和.同类题型归类练1．(2023·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．2．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和的公式．第四章数列章末总结（精讲）目录第一部分：知识框架第二部分：典型例题剖析重点题型一：等差与等比数列的基本运算重点题型二：等差、等比数列的判定重点题型三：等差、等比数列的性质及应用重点题型四：数列求通项、求和第三部分：数学思想与方法函数方程分类讨论思想第一部分：知第一部分：知识框架第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：等差与等比数列的基本运算典型例题例题1．(2023·全国·高二期中）在等差数列中，(1)若，，试判断91是否为此数列中的项；(2)若，，求.答案：(1)是；(2)3.(1)设{an}的公差为d，因为解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项；(2)设{an}的公差为d，则解得∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.例题2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．答案：(1)，；(2)(3)28(4)17.(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，上两式联立：，，；故答案为：，，-12，28，17.例题3．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为．(1)若公比，，，求；(2)若，求公比．答案：(1)6(2)1或（1）依题意，由于，所以两式相除得，.（2）依题意，即，，解得或.同类题型归类练1．(2023·江苏·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，公差，求；(2)已知公差，，求；(3)已知，公差，，求n．答案：(1)27(2)10(3)13(1)；(2)；(3)，，；故答案为：27,，10，13.2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等比数列{an}中，(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；(2)已知a1＝－，a4＝96，求前4项和S4；(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1，a5.答案：(1)－85(2)(3)(1)S8＝；(2)由a4＝a1q3，即96＝·q3，得q＝－4，所以S4＝；(3)由S5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝；故答案为：-85，，.3．(2023·江苏·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．答案：(1)；(2)或．(1)设等比数列公比为q，则，故，，(2)设等比数列公比为q，则，故或，∴或．重点题型二：等差、等比数列的判定典型例题例题1．（江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列的前项和为且满足，，则______．答案：【详解】因为，所以，即，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以，即，故答案为：.例题2．(2023·全国·高三专题练习）若数列的前项和满足：.(1)证明：数列为等比数列并求出通项公式；答案：(1)证明见解析，，①当，当，②①－②：，即：又对都成立，所以是等比数列，；同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足an＋1＝,(1)求证：数列是等差数列；答案：(1)证明见解析证明：因为an≠0，∵an＋1＝，∴＝，∴－＝，又a1＝，则＝2，∴数列是以2为首项，为公差的等差数列.2．(2023·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且.(1)求数列的通项公式；答案：(1)由得：，又因为，则，且，所以是首项为1公差为1的等差数列，所以.3．(2023·四川省高县中学校高一阶段练习（文））设数列的前项的和为，点在函数的图象上，数列满足：，，其中．(1)求数列和的通项公式；答案：(1)，(1)由已知条件得，当时，，当时，，又满足上式，所以；因为，，即，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以；4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．答案：(1)证明见解析（1）当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．重点题型三：等差、等比数列的性质及应用典型例题例题1．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则该数列前项的和=（

）A．96 B．48 C．36 D．24答案：B【详解】因为数列是等差数列，所以有，因此，故选：B例题2．(2023·河南·高三开学考试（文））已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（

）A．11 B．12 C．21 D．22答案：C【详解】因为，所以所以故，所以满足的正整数的最大值为21．故选：C．例题3．(2023·四川省南充市第一中学高一期中）设等差数列的前项和为且则（

）A．2330 B．2130 C．2530 D．2730答案：D【详解】等差数列的前项和为，则构成等差数列，即，构成等差数列，则，则故选：D例题4．(2023·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．答案：C【详解】因为和是等差数列,故故选:C例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】设等差数列的公差分别为和,即,即①,即②由①②解得故选：C例题6．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以，，因此，.故选：B.例题7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.答案：【详解】为等比数列的前项和，成等比数列，又，，，则，，则.故答案为：.同类题型归类练1．(2023·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（

）A．9 B．12 C．15 D．16答案：A【详解】解：在等差数列中，所以，所以；故选：A2．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））设等差数列的前项的和为，若，则（

）A．17 B．34 C．51 D．102答案：B【详解】设公差为，则由得，即，故.故选：B3．(2023·四川省广汉中学高二开学考试（理））在等比数列中，，，则等于（

）A．81 B． C．3 D．243答案：A【详解】∵数列为等比数列，则∴故选：A.4．(2023·全国·高三专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．1012答案：C【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是，则==.故A，B，D错误.故选：C.5．(2023·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．15答案：C【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，又，故可得即，解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C6．（多选）(2023·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（

）A． B． C． D．答案：AD【详解】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．故选：AD7．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．答案：32【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得，∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故答案为：32.8．(2023·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.答案：【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：9．(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．答案：【详解】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：10．(2023·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．答案：##【详解】故答案为：重点题型四：数列求通项、求和典型例题例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020答案：B【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以因此数列的前2022项和为．故选：B.例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.答案：(1)(2)（1）变形为，因为，所以，故；（2）当为奇数时，，当为偶数时，，则例题3．(2023·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)(2)（1）根据题意得，，因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，．(1)求及；(2)若，求数列的前项和．答案：(1)，(2)（1）设等差数列的公差为d，则，解得，所以，．（2）由（1）得：，，则，所以..例题5．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为，求证：.答案：(1)(2)证明见解析（1）解：因为，所以，两式相减得，当时，，又，所以，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）证明：，所以，由，得，所以，综上，.例题6．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.答案：(1)(2)(3)最大值为，最小值为(1)因为，所以，所以，又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，所以.(2)因为，所以①，②，①-②得，；(3)，记的前项和为，则，当为奇数时随着的增大而减小，可得，当为偶数时随着的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.例题7．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前项和答案：(1)(2)(1)当时，，解得：；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，.(2)由（1）得：，，.例题8．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.(1)求；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)(2)（1）解：，，，，数列为等差数列，且，又时，，，；（2），，，，两式相减得，，，，.例题9．(2023·四川泸州·高一期末）已知数列满足，等差数列的前3项和为.(1)求数列与的通项公式；(2)记数列，求数列的前项和.答案：(1)，；(2).（1）因为，所以是首项为公比的等比数列，所以，设等差数列的公差为，，所以，因为，所以，解得，所以；（2）由（1）知，所以，①，②①-②得，.所以.例题10．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知是数列的前n项和，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．答案：(1)(2)（1）∵；∵，∴两式相减可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以数列的前10项和为．同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．答案：【详解】由题设，，所以，即且n≥2，当时，，当时，，所以，故答案为：.2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．(1)求；(2)设求数列的前n项和．答案：(1)(2)(1)当时，，当时，因为，所以，得，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，得；(2)，当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述4．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，

(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和.(3)设，，的前n项和，求证：.答案：(1)(2)(3)证明见解析为q，则有解得或（由于是正数列，舍），由，，；对于由等差中项可知，设公差为d，，，；（2）设数列的前n项和为，则有：=

设…①，…②，-②得：，K

，；（3），；综上，，，的前2n项和=

.5．(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．答案：(1)条件选择见解析，；(2).（1）若选①②作为条件，设|的公差为d，由成等比数列可知，所以，整理得．

由得，整理得，

当时，不合题意，

所以，则，解得，故．

若选①③作为条件．设的公差为d，由成等比数列可知，所以整理得．

由得，整理得，所以，解得或，当时，，不合题意，所以，则，故；若选②③作为条件．设的公差为d，由得，整理得，

由得，整理得，由两式联立得，故；（2）由（1）得，所以，故数列的前n项和．6．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；(2)设，且，数列的前项和为，求；答案：(1)证明见解析(2)（1）解：因为，，，所以，又，所以数列是以为公差，为首项的等差数列；（2）解：由（1）可得，所以，所以①，②，所以①②得，所以.7．(2023·全国·高三专题练习）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，___________.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.答案：(1)答案见解析(2)答案见解析（1）若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得,即，所以为常数列，而，所以；若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，所以是等差数列，所以；若选择③，由变形得，，所以，由题意知，所以，所以为等差数列，又，所以，又时，也满足上式，所以；（2）若选择①或②，，所以所以，两式相减得，则，故要使得，即，整理得，，当时，，所以不存在，使得.若选择③，依题意，，所以，故，两式相减得：，则，令，则，即，令，则，当时，，又，故，综上，使得成立的最小正整数的值为5.8．(2023·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．(1)求；(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．答案：(1)(2)(1)由得，则，因为，则，，又，，则，所以.(2)（2）由题设及（1）得，且当时，，即，，所以．第三部分：数第三部分：数学思想与方法函数方程典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．答案：【详解】解法一：（作差比较法）：，当时，，即；当时，，即；当时，，即．所以，，所以数列中的最大项为或，且；解法二（作商比较法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以数列中的最大项为或，且．例题