高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)9.3双曲线(精练)(提升版)(原卷版+解析)

9.3双曲线（精练）（提升版）题组一题组一双曲线的定义及应用1．(2023红塔月考）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．42．(2023·淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）A． B．1 C． D．3．(2023怀仁期中）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A． B． C． D．题组二题组二双曲线的离心率及渐近线1．(2023湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．2．(2023雅安期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C．3 D．3．(2023怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．(2023·巴中模拟）设，分别为双曲线（a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得，且，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．4．(2023南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A． B． C． D．5．(2023北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．6．(2023·德州月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．(2023·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．8．(2023·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．题组三题组三双曲线的标准方程1．(2023·东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为．函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（）A． B． C． D．2．(2023·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．3．(2023·南昌模拟）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为.4．(2023成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为．5．（2023成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，半焦距，则双曲线的标准方程为．6．(2023太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；（2）渐近线方程为，经过点．（3）双曲线E：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（4）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．7．（2023包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.题组四题组四直线与双曲线的位置关系1．(2023·广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．3．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．4．(2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.5．(2023·全国·专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.6．(2023·四川内江·模拟预测（文））若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．7．(2023·四川·仁寿一中）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.8．(2023·上海市虹口高级中学）直线与曲线的交点个数是______.9．(2023·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.题组五题组五弦长与中点弦1．(2023·四川·射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．12．(2023·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．4．(2023·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（

）A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B．该双曲线的离心率为C．若和在双曲线的同一支上，则D．若和分别在双曲线的两支上，则5．(2023·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为______.6．(2023·四川内江）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.9.3双曲线（精练）（提升版）题组一题组一双曲线的定义及应用1．(2023红塔月考）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．4答案：A【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)，依题意，有PF|=|PF'|+4，

|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)

故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A

2．(2023·淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）A． B．1 C． D．答案：A【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，又，所以，，设，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值是，故答案为：A.3．(2023怀仁期中）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A． B． C． D．答案：C【解析】由双曲线可知：的周长为.当轴时，的周长最小值为故答案为：C题组二题组二双曲线的离心率及渐近线1．(2023湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．答案：B【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，设，则，则，∴，∴e＝.故答案为：B.2．(2023雅安期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C．3 D．答案：A【解析】依题意，，由双曲线定义知：，于是得，，令双曲线C的半焦距为c，内切圆半径为r，因，则有，即有，于是得：，即，所以双曲线C的离心率为。故答案为：A3．(2023怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．答案：D【解析】：因为，所以，设，则，因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故答案为：D

3．(2023·巴中模拟）设，分别为双曲线（a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得，且，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．答案：B【解析】，即，①根据双曲线的定义可得，即②，①减去②得.，故，解得或（舍），双曲线的离心率为。故答案为：B.4．(2023南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A． B． C． D．答案：A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故答案为：A.5．(2023北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．答案：B【解析】根据题意，作图如下：因为，故可得，故可得//，且，故分别为的中点；又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.故△为等边三角形，则；令，可得，解得，故可得，则，由双曲线定义可得：，即，解得，则离心率为.故选：B.6．(2023·德州月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．答案：B【解析】作轴于，如图，依题意，，则，令，由得：，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，解得：，即，又因为离心率，于是有，所以双曲线的离心率为。故答案为：B7．(2023·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．答案：A【解析】由已知，点的坐标为，故，因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以，则△为等边三角形，所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故答案为：A8．(2023·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，得，；根据双曲线的定义，，所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的渐近线方程为.故答案为：C．题组三题组三双曲线的标准方程1．(2023·东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为．函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（）A． B． C． D．答案：A【解析】对函数，其定义域为，定义域关于原点对称，用替换方程不变，故其图象关于原点对称；又当，且趋近于时，趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于，此时的图象与无限靠近；故的两条渐近线为轴与，做出其图象如下所示：为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴夹角为，故新坐标系中，轴与轴的夹角应为60º，故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立可得，则，又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，故，即，故在新坐标系下双曲线方程为.故答案为：A.2．(2023·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．答案：C【解析】作轴于M，依题意，，则，则为等腰直角三角形令，则，由双曲线定义知．而，在中，，解得：，双曲线离心率，则．故答案为：C．3．(2023·南昌模拟）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为.答案：【解析】设双曲线标准方程为令，则，得，所以，易知，所以…①，又…②，…③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为。故答案为：。4．(2023成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为．答案：【解析】由题设，可知：，，∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.5．（2023成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，半焦距，则双曲线的标准方程为．答案：【解析】由题可设双曲线方程为，由渐近线方程可得，，又因为，即，解得，则，所以双曲线的标准方程为。故答案为：。6．(2023太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；（2）渐近线方程为，经过点．（3）双曲线E：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（4）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．答案：（1）（2）（3）（4）【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：，双曲线方程为：.（2）解：设双曲线方程为：，将代入，解得，所以双曲线方程为：.（3）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（4）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．7．（2023包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.答案：见解析【解析】（1）由题意，易知，，且.在中，由双曲线的定义可知，，，即.∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.又∵，∴故双曲线C的虚轴长为（2）解：由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为将点的坐标代入上述方程，得故所求双曲线的标准方程为题组四题组四直线与双曲线的位置关系1．(2023·广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（

）A． B． C． D．答案：BCD【解析】对于A,直线和的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由，得，，所以直线与B中的曲线有交点．对于C,由，得，，所以直线与C中的曲线有交点．对于D,由，得，，所以直线与D中的曲线有交点．故选：BCD2．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．答案：2【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：23．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．答案：，【解析】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，故答案为：，4．(2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.答案：【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，故需满足，故答案为：5．(2023·全国·专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.答案：1【解析】联立方程可得，消可得，即，故，故方程组有且只有一组解，故双曲线与直线有且只有一个交点.故答案为：16．(2023·四川内江·模拟预测（文））若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．答案：或【解析】设双曲线存在关于直线对称的两点为，，根据对称性可知线段被直线垂直平分，且的中点在直线上，且，故可设直线的方程为，联立方程，整理可得，∴，，由，可得或，∴，，∵的中点在直线上，∴，可得，或.故答案为：或.7．(2023·四川·仁寿一中）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.答案：【解析】由，消可得，当或，解得或，故答案为：8．(2023·上海市虹口高级中学）直线与曲线的交点个数是______.答案：2【解析】当时，将代入，整理得，解得，（舍去），当时，将代入，整理得，解得，（舍去），综上，直线与曲线的交点个数是2个.故答案为：29．(2023·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．答案：【解析】双曲线的渐近线方程为，，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.答案：【解析】联立消去y：，，得到，又直线不与渐近线平行，所以.故答案为：.题组五题组五弦长与中点弦1．(2023·四川·射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：C【解析】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C2．(2023·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中