高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)期末模拟测试卷02(能力提升卷)(考试范围：必修第一册)(原卷版+解析)

2023-2024学年高一数学上学期期末测试能力提升卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若，则“”是“”的【】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．函数的定义域【】A． B．C． D．3．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是【】A．，，B．，，C．，，D．，，4．若，则【】A．2 B．2或0 C．0 D．或05．设函数,【】A．3 B．6 C．9 D．126．已知角的终边与单位圆的交于点，则【】A． B． C． D．7．已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是【】A．① B．①③ C．②③ D．①②③8．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为【】A．3 B．2 C．1 D．0二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设正实数满足，则下列说法正确的是【】A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为210．已知函数，下面说法正确的有【】A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的值域为D．，且，恒成立11．下列选项正确的是【】A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为12．已知函数，下列说法正确的是【】A．的最小正周期为B．若.则C．在区间上是增函数D．的对称轴是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是_____________；14．设函数，则_____.15．函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．16．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式的值：(1)；(2).18．（12分）化简:（1）设，求.（2）已知，求.19．（12分）已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．20．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.21．（12分）已知函数．（1）求的对称中心；（2）设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最大值为2，求a的值．22．（12分）对于函数.(1)若，且为奇函数，求a的值；(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．2023-2024学年高一数学上学期期末测试能力提升卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若，则“”是“”的【】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.2．函数的定义域【】A． B．C． D．答案：C分析：解不等式组得出定义域.【详解】，解得即函数的定义域故选：C3．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是【】A．，，B．，，C．，，D．，，答案：C【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．4．若，则【】A．2 B．2或0 C．0 D．或0答案：C分析：根据对数运算法则可知，且，，，化简得，再化简求值.【详解】依题意，，，，或，，，，，（舍去），，．故选C5．设函数,【】A．3 B．6 C．9 D．12答案：C【详解】.故选C.6．已知角的终边与单位圆的交于点，则【】A． B． C． D．答案：C【详解】∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则7．已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是【】A．① B．①③ C．②③ D．①②③答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.8．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为【】A．3 B．2 C．1 D．0答案：A分析：根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，而函数在上单调递增，且当时，，因此，，方程，于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象如图，观察图象知，函数与的图象有3个公共点，所以方程的解的个数为3.故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设正实数满足，则下列说法正确的是【】A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为2答案：ABD分析：利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足，当且仅当时，等号成立，故正确；选项，由且得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；选项，由且得，则，故错误；选项，，故正确.故选：.10．已知函数，下面说法正确的有【】A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的值域为D．，且，恒成立答案：BC【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D不正确；故选：BC11．下列选项正确的是【】A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为答案：BD分析：利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D【详解】对于A，，故A错；对于B，，故B正确；对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.故选：BD12．已知函数，下列说法正确的是【】A．的最小正周期为B．若.则C．在区间上是增函数D．的对称轴是答案：BD分析：把函数化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，，函数部分图象如图，函数是周期函数，周期为，而，即不是的周期，A不正确；因且，则当时，且，则且，，因此，，，B正确；观察图象知，在区间上不单调，事实上，，在区间上不是增函数，C不正确；观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上，即图象关于对称，同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是_____________；答案：50辆分析：根据题意，先求摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足的二次函数，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．【详解】由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，故答案为50辆14．设函数，则_____.答案：分析：根据指数的运算律计算出的值，由此可计算出所求代数式的值.【详解】，，，因此，.故答案为.15．函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．答案：【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.16．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.答案：

1

4【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,,故的取值范围是,故的最小值是1.又由图可知,,,故,故.故.又当时,.当时,,故.又在时为减函数,故当时取最大值.故答案为：(1).1

(2).4四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式的值：(1)；(2).答案：(1)9；(2)0分析：（1）根据指数幂的运算法则运算求解即可；（2）根据对数运算法则运算求解即可.【详解】（1）解：（2）解：18．（12分）化简:（1）设，求.（2）已知，求.答案：（1）2；（2）.分析：（1）根据诱导公式化简，代入求值即可；（2）由已知可得，化弦为切，代入求值即可.【详解】∵，则.（2）依题意得：，∴，∴.19．（12分）已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．答案：（1）；（2）.分析：(1)由f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,又，则=-，=-，b=1，（2）=1-，所以在上单调递增；由可得在有解

分参得，设,，所以,则的最小值为．20．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.答案：(1)，(2)或时，L取得最大值为米．分析：（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值．【详解】（1）由题意可得，，，由于，，所以，，，即，（2）设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L取得最大值为米．21．（12分）已知函数．（1）求的对称中心；（2）设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最大值为2，求a的值．答案：（1）对称中心为；（2）；（3）或6．分析：（1）化简函数即可得对称中心；（2）求出函数的增区间，根据是其子区间解不等式得解；（3）化简通过换元法转化为根据二次函数的最值求参数的取值.【详解】（1）．对称中心为．（2），由，解得，的递增区间为，在上是增函数，当时，有，，解得，的取值范围是．（3），令，则，，，，，．①当时，即时，．令，解得（舍）．②当时，即时，，令，解得或（舍）．③当时，即时，在处，由，得．因此或6．22．（12分）对于函数.(1)若，且为奇函数，求a的值；(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．答案：(1)；(2)；(3).分析：（1）利用奇函数的定义可得；（