新高考高中数学核心知识点全透视专题8.4平面向量的数量积(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题8.4平面向量的数量积（专题训练卷）一、单选题1．（2023·广西·东兰县高级中学高二月考（文））已知向量，且，则()A．2 B．1 C．-2 D．42．(2023·浙江诸暨·高一期末）已知，，求（）A． B． C． D．3．（2023·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））已知向量满足，则（）A．4 B．3 C．2 D．04．（2023·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（）A． B． C．1 D．05．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A．或 B．或C．或 D．或6．（2023·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A． B． C． D．7.（2023·新疆·哈密市第十五中学高三月考）设向量满足，，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．58.(2023·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·广东兴宁·高二月考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．10．（2023·广东·高三月考）下列说法中错误的是（）A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底B．若与共线，则在方向上的投影为C．若两非零向量，满足，则D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形11．（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（）A． B．C． D．12．（2023·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（）A．B．C．与共线的单位向量的坐标可以是､D．与的夹角的余弦值为三、填空题13．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．14.（2023·全国·高考真题）已知向量，，，_______．15．（2023·重庆国维外国语学校高二期中）已知，若，则与之间的夹角为_______.16．（2023·天津二中高三月考）如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______．四、解答题17．（2023·河北·高三月考）已知不共线的向量、，其中．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若，求与的夹角的正切值．18．（2023·河北承德第一中学高一月考）已知，（1）求；（2）设与的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值.19．（2023·安徽·高二月考）已知向量，，.（1）求；（2）若，，求.20．（2023·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知点，点为一次函数图象上的一个动点．（1）用含的代数式表示；（2）求证：恒为锐角；（3）若四边形为菱形，求的值．21．（2023·山西·怀仁市第一中学校高三月考（文））在中，，点Q为的中点，交于点N.（1）证明：点N为的中点；（2）若，求.22．（2023·江西·九江一中高二月考（理））已知向量，，函数．（1）当时，求的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．专题8.4平面向量的数量积（专题训练卷）一、单选题1．（2023·广西·东兰县高级中学高二月考（文））已知向量，且，则()A．2 B．1 C．-2 D．4答案：B分析：利用向量垂直的坐标运算公式进行计算.【详解】∵，，∴，∵∴．∴．故选：B．2．(2023·浙江诸暨·高一期末）已知，，求（）A． B． C． D．答案：C分析：利用向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】∵，∴∴故选：C.3．（2023·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））已知向量满足，则（）A．4 B．3 C．2 D．0答案：B分析：由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】，故选：B4．（2023·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（）A． B． C．1 D．0答案：A分析：利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，，.故选：A.5．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A．或 B．或C．或 D．或答案：C分析：由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C．6．（2023·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A． B． C． D．答案：D分析：根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D7.（2023·新疆·哈密市第十五中学高三月考）设向量满足，，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．5答案：A分析：把与两式两边平方，再两式相减即可求解【详解】因为，所以，因为，所以，两式相减得：，所以，故选：A8.(2023·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．答案：D分析：法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围【详解】法一：因为在上，不妨设，则（其中）所以，因为，所以法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，其中，，∴∵∴故选：D.二、多选题9．（2023·广东兴宁·高二月考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．答案：ABC分析：根据数量积的定义结合图形即可分别判断.【详解】，由可得，即选项A正确，，由可得，即选项B正确，，由选项A，B可得，即选项C正确，由，又，知选项D不正确.故选：ABC.10．（2023·广东·高三月考）下列说法中错误的是（）A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底B．若与共线，则在方向上的投影为C．若两非零向量，满足，则D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形答案：ABD分析：结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．【详解】对于A，，所以，故不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；对于B，与共线，则在方向上的投影为，所以错误；对于，两非零向量，满足，则，则，成立；对于，，，，则，，，，，，所以为钝角，则为钝角三角形，错误；故选：．11．（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（）A． B．C． D．答案：AC分析：根据平面向量数量积坐标表示，向量模的坐标公式以及两角差的余弦公式即可判断．【详解】对于A，，A正确；对于B，，所以B不一定正确；对于C，，所以，C正确；对于D，，而，所以D不一定正确，故选：AC．12．（2023·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（）A．B．C．与共线的单位向量的坐标可以是､D．与的夹角的余弦值为答案：BD分析：根据平面向量数量积的定义可判断A错误；根据平面向量模的计算公式可知B正确；根据向量数乘的概念可判断C错误；根据向量夹角公式可判断D正确．【详解】对A，，A错误；对B，，B正确；对C，依题可知，，所以与共线的单位向量的坐标是和，C错误；对D，设与的夹角为，，，，所以，所以，D正确．故选：BD．三、填空题13．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．答案：.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.14.（2023·全国·高考真题）已知向量，，，_______．答案：分析：由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.15．（2023·重庆国维外国语学校高二期中）已知，若，则与之间的夹角为_______.答案：##分析：根据向量垂直可求出，再根据向量夹角公式即可求出.【详解】，，，，解得，则，，.故答案为：.16．（2023·天津二中高三月考）如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______．答案：分析：以为基底化简，结合向量数量积的运算求得的值.设，以为基底化简，结合向量模的运算以及二次函数的性质求得的取值范围.【详解】.设，，所以.的开口向上，对称轴为，所以在上递减.当，当，所以.故答案为：；四、解答题17．（2023·河北·高三月考）已知不共线的向量、，其中．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若，求与的夹角的正切值．答案：（1）；（2）．分析：（1）设，根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数的值；（2）利用平面向量的数量积可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】（1）根据题意，向量与共线，可得，；（2），所以，，因为，则，因此，.18．（2023·河北承德第一中学高一月考）已知，（1）求；（2）设与的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值.答案：（1）；（2）；（3）.分析：(1)由题意可得，进而求出它的模即可；(2)根据公式计算即可；(3)由可得，结合、计算即可.【详解】解：；故；因为向量与互相垂直，所以，即，因为，，所以19．（2023·安徽·高二月考）已知向量，，.（1）求；（2）若，，求.答案：（1）；（2）.分析：（1）由数量积坐标公式及辅助角公式即得；（2）利用同角关系式及两角和的正弦公式可得.【详解】（1）.（2）因为，所以，又，所以，所以，故.20．（2023·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知点，点为一次函数图象上的一个动点．（1）用含的代数式表示；（2）求证：恒为锐角；（3）若四边形为菱形，求的值．答案：（1）；（2）证明见解析；（3）2．分析：（1）先用坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示，结合点在直线上，即得解；（2）由，结合（1）证明，且三点不共线即可；（3）由，可求得点坐标，再由可得点坐标，再计算即可【详解】（1）设，所以所以因为点在直线上，所以（2）∵∴所以若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，方程无解，所以所以恒为锐角．（3）因为四边形为菱形，所以，即化简得到，所以，所以设，因为，所以，所以21．（2023·山西·怀仁市第一中学校高三月考（文））在中，，点Q为的中点，交于点N.（1）证明：点N为的中点；（2）若，求.答案：（1）证明见解析；（2）.分析：(1)设，根据中线的性质得到：，再由三点共线的性质得到，进而得到结果；（2）由上一问得到，设，由三点共线得到，进而得到，再根据向量点积运算公式得到结果.【详解】（1）证明:设，点Q为的中点，，.，M，A三点共线，，解得，点N为的中点.（2）由（1）知，.设，，B，C三点共线，，解得，，，，，.22．（2023·江西·九江一中高二月考（理））已知向量，，函数．（1）当时，求