高考数学微专题集复合函数的零点(原卷版+解析)

复合函数的零点复合函数的零点一、相关概念及有关结论1.复合函数的定义设函数的定义域为是A，值域是B；又设函数的定义域是C，且，这时对A内每一个x，通过，得到B内唯一的一个u与此x对应，再通过f又得到M内唯一的一个y与此x对应．因此对于A内的每一个x先通过再通过f，得到M内唯一的一个y与此x对应，这就确定了一个从A到M的函数，称它是由与合成的复合函数（也称嵌套函数），记为．称u为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将称为内层函数，称为外层函数．2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑．二、常见复合函数零点问题的考察类型1．“”型问题例11．设函数，则函数的零点为_______．例22．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.2.“”型问题例33．设函数则函数的零点为________．3.复合函数的零点问题一般地，关于复合函数的零点有如下结论：若单调，则．证明一方面，若，不妨设单调递增，若，则，与矛盾，同理可证的情形；另一方面，若，则，综上可知结论成立．例44．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（

）．A． B．C． D．4.复合函数的零点问题一般地，关于复合函数的零点有如下结论：有零点有零点．证明设，则，可知为的零点，反之若为的零点，则同理可得为的零点．例55．若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数根，则不可能是A． B． C． D．5.含参二次函数复合型零点问题例66．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()A．{1,2} B．{1,4}C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}例77．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实根个数是A．3 B．4 C．5 D．66.其他型例88．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．例99．已知函数，如果关于x的方程有三个相异的实数根，求t的范围．7.零点求和问题例1010．定义域为R的函数若关于x的函数有5个不同的零点、、、、，则等于（

）．A．15 B．20 C．30 D．35同步练习11．设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．12．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．13．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A． B．或 C．或 D．或或14．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A．3 B．4C．5 D．615．设定义域为R的函数,若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．16．已知定义在R上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于x的方程恰有三个不同的根，求a的取值范围．17．定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解，，，且，则下列结论错误的是A． B． C． D．复合函数的零点复合函数的零点一、相关概念及有关结论1.复合函数的定义设函数的定义域为是A，值域是B；又设函数的定义域是C，且，这时对A内每一个x，通过，得到B内唯一的一个u与此x对应，再通过f又得到M内唯一的一个y与此x对应．因此对于A内的每一个x先通过再通过f，得到M内唯一的一个y与此x对应，这就确定了一个从A到M的函数，称它是由与合成的复合函数（也称嵌套函数），记为．称u为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将称为内层函数，称为外层函数．2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑．二、常见复合函数零点问题的考察类型1．“”型问题例11．设函数，则函数的零点为_______．例22．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.2.“”型问题例33．设函数则函数的零点为________．3.复合函数的零点问题一般地，关于复合函数的零点有如下结论：若单调，则．证明一方面，若，不妨设单调递增，若，则，与矛盾，同理可证的情形；另一方面，若，则，综上可知结论成立．例44．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（

）．A． B．C． D．4.复合函数的零点问题一般地，关于复合函数的零点有如下结论：有零点有零点．证明设，则，可知为的零点，反之若为的零点，则同理可得为的零点．例55．若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数根，则不可能是A． B． C． D．5.含参二次函数复合型零点问题例66．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()A．{1,2} B．{1,4}C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}例77．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实根个数是A．3 B．4 C．5 D．66.其他型例88．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．例99．已知函数，如果关于x的方程有三个相异的实数根，求t的范围．7.零点求和问题例1010．定义域为R的函数若关于x的函数有5个不同的零点、、、、，则等于（

）．A．15 B．20 C．30 D．35同步练习11．设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．12．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．13．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A． B．或 C．或 D．或或14．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A．3 B．4C．5 D．615．设定义域为R的函数,若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．16．已知定义在R上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于x的方程恰有三个不同的根，求a的取值范围．17．定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解，，，且，则下列结论错误的是A． B． C． D．参考答案：1．4分析：由题知，即求.【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解.，即解得，即函数的零点为4．故答案为：42．分析：对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，解得，所以；当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.所以f(a)≥－2，则或，解得.故答案为：【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.3．分析：由题可知求的解，再利用分段函数求方程的解即可.【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解．令，则原方程的解变为方程组的解．由方程②可得，解得或，将代入方程①，而方程无解，由方程解得或；将代入方程①，而方程，解得，由方程，解得．综上，函数的零点为，共四个零点．故答案为：.4．A分析：由题可得，再利用函数的单调性即求.【详解】显然为增函数，于是等价于，即，又，故，从而，令，则，令，则，可知当时，单调递减，当时，单调递增，从而，故在上单调递增，从而.故选：A．5．B【详解】试题分析：设为方程的的一个根，∴，∴，再令，故有，从而可知方程至少有一个实数根，A，C，D选项中的函数均符合条件，而B选项：无解，故选B．【点睛】本题考察的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子进行等价变形，可以得到至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B．6．D分析：方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于的方程有两根，即或.而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.故选D.【点睛】对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.7．A分析：由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于或，按照、分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意，，为函数的极值点，所以有两解，所以方程等价于或，当时，则为函数的极大值点，且，为函数的极小值点，画出函数图象，如图：此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；当时，则为函数的极小值点，且，为函数的极大值点，画出函数图象，如图：此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；综上，有三个不同实根.故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.8．．分析：由题可求，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在上的单调函数，对任意都有，令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像，可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为．故答案为：.9．．分析：令，由题得，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令，则，即，去分母得：，此方程最多有两个根，由函数图像可知，方程的两根必须有一根，另一根，才能保证原方程有三根，设，因此由根的分布知识得：或解得：．10．C分析：结合函数的图象可知，进而可得或，即求.【详解】作函数的图象如图所示，则由函数有5个不同的零点知，解得．解得或．若，则或或；若，则或．故.故选：C．11．．分析：令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数，采用数形结合法即求．【详解】函数的零点即为方程的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数的图象，由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个，结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，综上，实数a的取值范围为．故答案为：12．．分析：利用数形结合即求.【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数和直线的图象如图所示．由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，作出函数和直线的图象如图所示，由图可知当时满足要求，综上，实数a的取值范围为．故答案为：13．A【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.14．A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设，要使得有8个零点，就是有4个解，由图象知，内有4个解．二次方程在内有两个不等的实数根，故有故填16．（3，+∞）．分析：令函数的零点为m，即f（m）＝0，则由对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，进而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，∵对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．则f[f（n）]＝n恒成立，即f[f（x）]＝x，若关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，即|x﹣3|＝1﹣logax（