正弦定理和余弦定理专题讲义

正弦定理和余弦定理专题讲义一、高考要求1、掌握正、余弦定理的根本形式和变形式；2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。二、知识回忆设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．1．角与角关系：A+B+C=π，2．边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b．3．边与角关系：1〕正弦定理〔R为外接圆半径〕变式1：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC变式2：变式3：，，2〕余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．变式1：；.；..4.三角形面积公式：〔其中r为内切圆半径，R为外接圆半径，s为半周长〕5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形=1\*GB3①由A＋B＋C＝π，知A＝π－〔B＋C〕可得出：sinA＝sin〔B＋C〕，cosA＝－cos〔B＋C〕．=2\*GB3②而．有：，．三互动探究探究一正弦定理的应用考点分析：=1\*GB3①知两角及一边、解三角形.=2\*GB3②知两边及一边对角、解三角形.方法点拨：针对考法=2\*GB3②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法1【代数法】：大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于1；方法2【几何法】：当为锐角时、=1\*GB3①或时、一解；=2\*GB3②时、两解；=3\*GB3③时、无解.当为直角或钝角时、=1\*GB3①时、一解；=2\*GB3②时、无解.例如1：在中、求其余的边和角.例如2：在△ABC中，a=,b=,B=45°,求A、C和c.变式训练1：(2009·广东高考)△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.假设a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，那么b＝()A．2B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)变式训练2：在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，那么eq\f(AC,cosA)的值等于______，AC的取值范围为________．变式训练3：3.以下判断中不正确的结论的序号是.①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解；②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解；④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案：例1：；例2：A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=；变式1：A；变式2：：2，(eq\r(2)，eq\r(3))；变式3：①③④；探究二余弦定理应用考点分析：①知三边、解三角形.②知两边及夹角、解三角形.例如3：〔1〕在三角形中，,那么的大小为〔〕A． B．C． D．〔2〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，那么A＝.变式训练4：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.〔1〕求角A的大小；〔2〕假设a=，求bc的最大值；答案：例3：A、；变式4：，1。探究三正、余弦定理的综合应用考点一判定三角形形状方法点拨：①知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；②能力要求：统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想.例如4：在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果〔a2+b2〕sin〔A-B〕=〔a2-b2〕sin〔A+B〕，判断三角形的形状.变式训练5：在△ABC中,，那么这个三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形变式训练6：.在△ABC中，假设(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,那么△ABC是三角形.答案：例4：△ABC为等腰或直角三角形.变式5：B；变式6：等边三角形；考点二三角形面积〔注重方程组思想〕例如5：(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，·＝3.求△ABC的面积；(2)假设c＝1，求a的值．变式训练7：.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，那么△ABC的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)答案：例5：S△ABC＝2.a＝2eq\r(5).变式7：D考点三角或边的范围方法点拨：主要是函数思想、根本不等式、三角函数有界性的应用。例如6：〔1〕锐角△ABC中，假设A＝2B，那么eq\f(a,b)的取值范围是()A．(1,2)B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2)D．(eq\r(2)，eq\r(3))(2)在△ABC中，，那么边的取值范围是〔〕A．B．C．D．变式训练8：在△ABC中,,假设三角形有两解，那么边的范围是〔〕假设三角形有一解，那么边的范围是〔〕A．B．C．D．变式训练9：在△ABC中，=1\*GB3①那么角A的取值范围是〔〕；=2\*GB3②-------.A．B．C．D．答案：例6：D，B；变式8：D，B;；变式9：A，1.探究四正、余弦定理的实际应用例如7：为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架，如下图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？答案：AC最短为(2+)米，此时，BC长为(1+)米.变式训练10：如下图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.答案：=时，S〔〕取得最大值为.四思维训练与能力提高1.〔2010上海〕18.假设△的三个内角满足，那么△〔A〕一定是锐角三角形.〔B〕一定是直角三角形.〔C〕一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.〔2010湖南〕6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，假设∠C=120°，,那么A、a>bB、a<bC、a=bD、a与b的大小关系不能确定3、定义在R上的偶函数满足，且在区间上是减函数，假设A、B是锐角三角形的两个内角，那么A、