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文档简介
8.5.1直线与直线平行8.5.2直线和平面平行在初中平面几何的学习中,我们研究过两条直线的位置关系,重点研究了两条直线平行,得到了这种特殊位置关系的性质,以及判定两条直线平行的定理.新课引入在初中判断两条直线平行的方法:类似地,空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用,也是我们要重点研究的内容。本节我们研究空间中直线、平面的平行关系,重点研究这些平行关系的判定和性质.我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行.在空间中,是否也有类似的结论?学习新知abced观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…
之间有何关系?a∥b∥c∥d∥e∥…基本事实4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.———平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.学习新知8.5.1直线与直线平行它给出了判断空间两条直线平行的依据.例1、已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.AcBDEFGH典型例题例1、已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.AcBDEFGH变式:已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且==。判断:四边形EFGH的形状?CFCBCGCD34典型例题练习:P1433在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”.空间中这一结论是否仍然成立呢?定理(等角定理):如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.观察:如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠D1A1B1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠D1A1B1=180OD1C1B1A1CABD学习新知学习新知作业:P1434P1449练习:P1352、3、4学习新知在直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要的关系,它不仅应用广泛,而且是学习平面与平面平行的基础.怎样判定直线与平面平行呢?根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判定直线与平面有没有公共点,但是,直线是无限延伸的,平面是无限延展的,如何保证直线与平面没有公共点呢?如图门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点吗?此时门扇转动的一边与墙面平行吗?如图将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上,把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中(AB离开桌面),DC的对边AB与桌面有公共点吗?边AB与桌面平行吗?可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以它与墙面是平行的;硬纸板的边AB与DC平行,只要边DC紧贴着桌面,边AB转动时就不可能与桌面有公共点,所以它与桌面平行8.5.2直线和平面平行直线和平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。符号表示:简述为:线线平行,则线面平行注意:使用定理时,必须具备三个条件:(1)直线a在平面α外,(2)直线b在平面α内,(3)两条直线a、b平行
三个条件缺一不可,缺少其中任何一条,则结论就不一定成立了。学习新知已知:求证:证明:经过a,b确定一个平面是两个不同的平面假设与有公共点P,则,即点P是a与b的公共点,这与矛盾,abp学习新知直线和平面平行的判定定理的证明:
例1、求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另两边的平面。已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点。求证:EF∥平面BCD
分析:EF在面BCD外,要证明EF∥面BCD,只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可。EF和面BCD哪一条直线平行呢?连结BD立刻就清楚了。典型例题例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由。
解:OM典型例题证法一:作MP∥AB交BC于P,NQ∥AB交BE于Q又由题可知,AM=FN,AC=BF,AB=EF即四边形MNQP为平行四边形平面BCE,平面BCE,平面BCE。PQ例3、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE。典型例题分析:只要在平面BEC内找到一条直线与MN平行G证法二:连接AN并延长交BE的延长线于点G,连CG,平面BCE,平面BCE,平面BCE。例3、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE。典型例题练习:P1381、2P1431、作业:P1435AM=FN,AC=FB(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?abα
aαb(2)已知直线a∥平面α,如何在平面α内找出和直线a平行的一条直线?学习新知
如果一条直线与一个平面平行,能推出哪些结论呢?这就是要研究直线与平面平行的性质,也就是研究直线与平面平行的必要条件.假设a与α内的直线b平行,那么由基本事实的推论3,过直线a,b有唯一的平面β.这样,我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线.直线和平面平行的性质
直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
ba
注意:1、定理三个条件缺一不可。2、简记:线面平行,则线线平行。学习新知
ba
证明:学习新知如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。直线和平面平行的性质定理的证明例题1
有一块木料,棱BC平行于面A'C'
(1)要经过面A'C'内一点P和棱BC锯开木料,应该怎样画线?(2)这线与平面AC有怎样的关系?PA'DABB'D'C'CFE例题讲评例题2
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。cab例题讲评线//线线//面转化是立体几何的一种重要的思想方法说明:cab1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线()
A只和这个平面内一条直线平行;
B只和这个平面内两条相交直线不相交;
C和这个平面内的任意直线都平行;
D和这个平面内的任意直线都不相交。D2.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
lα
βab巩固练习练习:P1393、4P1447、10线//线线//面线//线线//面巩固练习法一利用相似三角形对应边
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