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文档简介
Page1期末复习6四边形期末复习之存在性问题专题复习1.(东阳市期末)如图,四边形OBAC是矩形,OC=2,OB=6,反比例函数y=的图象过点A.(1)求k的值.(2)点P为反比例图象上的一点,作PD⊥直线AC,PE⊥x轴,当四边形PDCE是正方形时,求点P的坐标.(3)点G为坐标平面上的一点,在反比例函数的图象上是否存在一点Q,使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)先求出点A坐标,代入解析式可求解;(2)分两种状况探讨,由正方形的性质可求解;(3)由平行四边形的面积为14,可求点Q坐标,再分AB为边和对角线两种状况探讨,由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解.【解答】解:(1)∵OC=2,OB=6,∴点C(2,0),点B(0,6),点A(2,6),∵反比例函数y=的图象过点A,∴k=2×6=12;(2)∵k=12,∴反比例函数解析式为:y=,设点P(a,),∵四边形PDCE是正方形,∴PD=PE,当点P在第一象限时,∴=a﹣2,∴a1=+1,a2=1﹣(舍去)∴点P(+1,﹣1);当点P在第三象限,∴﹣=2﹣a,∴a1=+1(舍去),a2=1﹣,∴点P(1﹣,﹣1﹣);综上所述:点P坐标为(+1,﹣1)或(1﹣,﹣1﹣);(3)设点Q坐标为(b,),若AB为边,∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14,∴2×|6﹣|=14,∴b1=﹣12,b2=,∴点Q(﹣12,﹣1)或(,13),∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形,∴AB=QG=2,AB∥QG,∴点G(﹣10,﹣1)或(﹣14,﹣1)或(,13)或(﹣,13);若AB为对角线,设点G(x,y),∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形,∴AB与QG相互平分,∴=,=或=,=,∴x1=14,y1=13,或x2=,y2=﹣1,∴点G(14,13)或(,﹣1),综上所述:点G的坐标为(﹣10,﹣1)或(﹣14,﹣1)或(,13)或(﹣,13)或(14,13)或(,﹣1).2.(丽水期中)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,点E是AB边上的动点,作∠EDQ=60°交BC于点Q,点P在AD上,PD=PE.(1)求证:AE=BQ;(2)连接PQ,EQ,当∠PEQ=90°时,求的值;(3)当AE为何值时,△PEQ是等腰三角形.【分析】(1)如图1中,连接BD.证明△ADE≌△BDQ(SAS)即可.(2)如图2中,连接EQ,PQ,BD.首先证明△DEQ是等边三角形,求出DE,证明四边形APQB是平行四边形即可.(3)分两种情形:如图3﹣1中,当QP=QE时,作QM⊥CD于M.求出CQ即可.如图3﹣2中,当PE=QE时,点E与B重合,点P与A重合,点Q与C重合,此时AE=AB=2.【解答】(1)证明:如图1中,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C=60°,AB=BC=BD=CD,∴△ABD,△BDC都是等边三角形,∴∠A=∠DBQ=60°,AD=DB,∵∠ADB=∠EDQ=60°,∴∠ADE=∠BDQ,∴△ADE≌△BDQ(ASA),∴AE=BQ.(2)解:如图2中,连接EQ,PQ,BD.∵△ADE≌△BDQ,∴DE=DQ,∵∠EDQ=60°,∴△DEQ是等边三角形,∴DE=DQ=EQ,∠DEQ=60°,∵∠PEQ=90°,∴∠PED=30°,∵PD=PE,∴∠PDE=∠EPD=30°,∵∠A=60°,∴∠AED=90°,∴DE⊥AB,∵AB=2∴AE=EB=1∴DE=∵PD=PE,QD=QE,∴PQ⊥DE,∴PQ∥AB,∵AD∥BC,∴四边形PQBA是平行四边形,∴PQ=AB=2∴=.(3)解:如图3﹣1中,当QP=QE时,作QM⊥CD于M.∵QD=QE=QP,QP垂直平分线段DE,∴∠DQP=∠EQP=30°,∴∠ADQ=75°,∵∠ADC=120°,∴∠QDM=45°,设CM=a,则CQ=2a,DM=QM=a,∵CD=AB=2,∴a+a=2,∴a=﹣1.∴CQ=2﹣2,∴AE=BQ=BC﹣CQ=4﹣2.如图3﹣2中,当PE=QE时,点E与B重合,点P与A重合,点Q与C重合,此时AE=AB=2.综上所述,满足条件的AE的值为4﹣2或2.3.(湖州)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.(1)当OB=2时,求点D的坐标;(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;(3)如图2,将(2)中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请干脆写出全部符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)如图1中,作DE⊥x轴于E,解直角三角形清楚DE,CE即可解决问题;(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),由题意CE=1.DE=,可得D(3+a,),点A、D在同一反比例函数图象上,可得2a=(3+a),清楚a即可;(3)分两种情形:①如图2中,当点A1在线段CD的延长线上,且PA1∥AD时,∠PA1D=90°.②如图2中,利用勾股定理的逆定理,构建方程分别求解;【解答】解:(1)如图1中,作DE⊥x轴于E.∵∠ABC=90°,∴tan∠ACB==,∴∠ACB=60°,依据对称性可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,∴∠DCE=60°,∴∠CDE=90°﹣60°=30°,∴CE=1,DE=,∴OE=OB+BC+CE=5,∴点D坐标为(5,).(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),由题意CE=1.DE=,可得D(3+a,),∵点A、D在同一反比例函数图象上,∴2a=(3+a),∴a=3,∴OB=3.(3)存在.理由如下:①如图2中,当点A1在线段CD的延长线上,且PA1∥AD时,∠PA1D=90°.在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2,∴AA1==4,在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,∴PA=,∴PB=,由(2)可知P(3,),∴k=10.②如图2中,由题意D(6,),设P(3,),A1(3+h,2),D1(6+h,),则PD2=32+(﹣)2,DA12=(3﹣h)2+()2,PA12=h2+(﹣2)2,当∠PA1D=90°时,32+(﹣)2=(3﹣h)2+()2+h2+(﹣2)2,又∵(6+h)=3,可得k=10,当∠PDA1=90°时,同法可得k=12,综上所述,k的值为10或12.4.(永康市期末)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A在x轴上,B,C在第一象限,反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C,交AB于D,已知OC=12,OA=4,∠AOC=60°(1)求反比例函数y=(k≠0)的函数表达式;(2)连接CD,求△BCD的面积;(3)P是线段OC上的一个动点,以AP为一边,在AP的右上方作正方形APEF,在点P的运动过程中,是否存在一点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上,若存在,请求出此时OP的长,若不存在,请说明理由.【分析】(1)过点C作CG⊥x轴于点G,构造含60°角的Rt△OCG,利用OC=12和∠AOC的正弦余弦值,即求得OG、CG的长,得到点C坐标,用待定系数法即求得反比例函数表达式.(2)由平行四边形OABC边长OA=4可求得点B坐标,进而求直线AB解析式.把直线AB解析式和反比例函数解析式联立方程组,求解即得到点D坐标.过点D作DH⊥BC于点H,易得S△BCD=BC•DH,代入计算即求得△BCD的面积.(3)求直线OC解析式,设点P横坐标为m,用m表示其纵坐标.过点P作PM⊥x轴于点M,过点E作EN⊥直线PM于点N,由正方形APEF性质即可证△PNE≌△AMP,可得PN=AM=4,NE=PM,即得到用m表示点E坐标.由于点E可能落在▱OABC的边OC、BC、AB上,故需分类探讨.①落在OC上时,把点E坐标代入直线OC解析式,解方程求m即得到点P坐标,进而求OP的长;②落在BC上,则点E纵坐标等于点C纵坐标,列得方程;③落在AB上,把点E坐标代入直线AB解析式再解方程.【解答】解:(1)如图1,过点C作CG⊥x轴于点G∴∠OGC=90°∵OC=12,∠AOC=60°∴cos∠AOC=,sin∠AOC=∴OG=OC=6,CG=OC=6∴C(6,6)∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C∴6=解得:k=36∴反比例函数的函数表达式为y=(2)如图2,过点D作DH⊥BC于点H∵OA=4,点A在x轴上∴A(4,0)∵四边形OABC是平行四边形∴BC∥OA,BC=OA=4∴xB=xC+BC=6+4,yB=yH=yC=6∴B(6+4,6)设直线AB解析式为y=ax+b∴解得:∴直线AB:y=x﹣12∵点D为线段AB与反比例函数图象的交点∴解得:或(舍去)∴D(6,6)∴DH=6﹣6∴S△BCD=BC•DH=×4×(6﹣6)=36﹣12(3)存在点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上.如图3,过点P作PM⊥x轴于点M,过点E作EN⊥直线PM于点N∴∠AMP=∠PNE=90°∵C(6,6)∴直线OC解析式为y=x∵点P在线段OC上∴设点P坐标为(m,m)(0≤m≤6)∴OM=m,PM=m∴AM=OA﹣OM=4﹣m∵四边形APEF是正方形∴AP=PE,∠APE=90°∴∠EPN+∠APM=∠APM+∠PAM=90°∴∠EPN=∠PAM在△PNE与△AMP中∴△PNE≌△AMP(AAS)∴PN=AM=4﹣m,NE=PM=m∴xE=xN+NE=m+m,yE=yN=MN=PM+PN=m+4﹣m∴E(m+m,m+4﹣m)①若点E落在直线OC上,则m+4﹣m=(m+m)解得:m=∴P(,3),OP=②若点E落在直线BC上,则m+4﹣m=6解得:m=3+∴P(3+,3+3),OP=③若点E落在直线AB上时,直线AB:y=x﹣12∴(m+m)﹣12=m+4﹣m解得:m=3+,即点E落在直线BC与直线AB交点处综上所述,OP=2或(6+2)时,点E落在▱OABC的边所在的直线上.5.(杭州期末)如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m=4,n=20时.①若点P的纵坐标为2,求点A和点B的坐标.②若点P是BD的中点,试推断四边形ABCD的形态,并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.【分析】(1)①利用反比例函数图象上点的坐标特征,可得出点A,B的坐标;②由①可得出点B,D,由点P为线段BD的中点可得出点P的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A,C的坐标,进而可得出PA=PC,结合PB=PD可得出四边形ABCD为平行四边形,再结合BD⊥AC可得出四边形ABCD为菱形;(2)当四边形ABCD为正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t≠0),利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标,由PA=PB=t可得出点A的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出t=4﹣,由点B的坐标结合BD=2t可得出点D的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出m+n=32.【解答】解:(1)①当x=4时,y==1,∴点B的坐标为(4,1);当y=2时,2=,解得:x=2,∴点A的坐标为(2,2).②四边形ABCD为菱形,理由如下:由①得:点B的坐标为(4,1),点D的坐标为(4,5),∵点P为线段BD的中点,∴点P的坐标为(4,3).当y=3时,3=,解得:x=,∴点A的坐标为(,3);当y=3时,3=,解得:x=,∴点C的坐标为(,3).∴PA=4﹣=,PC=﹣4=,∴PA=PC.∵PB=PD,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵BD⊥AC,∴四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD能成为正方形.当四边形ABCD为正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t≠0).当x=4时,y==,∴点B的坐标为(4,),∴点A的坐标为(4﹣t,+t).∵点A在反比例函数y=的图象上,∴(4﹣t)(+t)=m,化简得:t=4﹣,∴点D的纵坐标为+2t=+2(4﹣)=8﹣,∴点D的坐标为(4,8﹣),∴4×(8﹣)=n,整理,得:m+n=32.即四边形ABCD能成为正方形,此时m+n=32.6.(宁波期末)【基础巩固】(1)如图1,AC∥DF,Rt△ABC≌Rt△DEF,连结AD,BE,求证:四边形ABED是平行四边形.【尝试应用】(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B的坐标分别是A(1,3),B(4,1),点C在x轴上,点D在y轴上.若以AB为边,其余两个顶点为C,D的四边形是平行四边形,求点C,D的坐标.【拓展提高】(3)如图3,抛物线y=x2﹣4x+3与直线y=x+3交于C,D两点,点E是抛物线上随意一点,在对称轴上是否存在点F,使得以CD为边,其余两个顶点为E,F的四边形是平行四边形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.【分析】(1)连接CF,先证四边形ADFC是平行四边形,再推导出∠BAD+∠ADE=180°,则有AB∥DE,即可证明;(2)求出AB=,再求直线AB的解析式为y=﹣x+,由于CD∥AB,CD=AB,设CD的直线解析式为y=﹣x+m,可求D(0,m),C(m,0),则CD=|m|=,求出m=±2,即可求点的坐标;(3)先求出C(5,8),D(0,3),设F(2,n),E(t,t2﹣4t+3),由已知可分两种状况①当DF、CE为对角线时,DF的中点为(1,),CE的中点为(,),则1=,求出
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