云南省长水教育集团2023-2024学年高一下学期期末质量检测 数学试题【含答案】

长水教育集团2023～2024学年第二学期质量检测高一年级数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某工厂生产的同一种产品中优质品、合格品和次品的数量之比分别为，若用分层抽样的方法抽取一个容量为200的该种产品，则抽到的优质品数为（

）A．180 B．120 C．60 D．202．若复数满足，则（

）A． B．C． D．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知集合，，则（

）A． B． C． D．5．函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

6．如图，在中，若为上一点，且满足，则（

）A． B． C． D．7．函数，其部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．8．已知，，则（

）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数（为虚数单位），若，则（

）A．在复平面上对应的点位于第一象限B．的对应向量与轴正半轴对应向量的夹角为C．D．10．下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（

）A．这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为B．这5天的最低气温的极差为C．这5天的最高气温的众数是D．这5天的最低气温的第40百分位数是11．如图所示圆台，，分别是上、下底面的圆心，母线AB与下底面所成的角为，BC为上底面直径，，，则（

）

A．圆台的母线长为10B．圆台的全面积为C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长最大值是4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．若，其中，则的值域为．13．若，则的最大值为．14．正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知向量．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.17．已知，，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.(1)求证：平面;(2)求证：平面平面;19．在中,内角所对的边分别是且.(1)求角;(2)若,求边上的角平分线长;(3)求边上的中线的取值范围．1．B【分析】利用分层抽样的抽样比计算即得.【详解】依题意，抽到的优质品数为.故选：B2．C【分析】利用复数的四则运算法则求出复数，再求其共轭复数即得.【详解】因为，所以，所以.故选:C．3．B【分析】先求解不等式，再根据充分条件必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．C【分析】根据题意写出和，利用并集的定义求解即可.【详解】由题意，，，所以．故选：C.5．A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确，D错误．故选：A.6．A【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得.【详解】因为所以由,因三点共线，由共线定理推论可得，解得故选：A.7．B【分析】根据最值可得，最小正周期可得，分析可知为的最大值点，进而可得，即可得结果.【详解】设的最小正周期为，由题意可知：，，即，且，则，可得，由图象可知：为的最大值点，则，解得，且，可知，所以.故选：B.8．A【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系.【详解】令，根据为上的单调减函数，则在上单调递减，且，，所以函数在上存在唯一的零点，故；又因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以;因为，所以，所以，即，所以，综上可得：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小.9．AC【分析】AB选项，根据复数运算得到，然后判断象限和夹角即可；C选项，根据共轭复数的定义和乘法法则计算；D选项，根据复数减法和模的计算公式计算.【详解】因为，所以，所以，所以，所以．所以z在复平面上对应的点位于第一象限，所以A正确；z的对应向量与轴正半轴对应向量的夹角不为，所以B错误；，所以C正确；，所以D错误．故选：AC．10．ACD【分析】根据折线图计算平均值及中位数可判断A，计算极差判断B，由众数判断C，由百分位数概念判断D.【详解】对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确．对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误．对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确．对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确．故选：ACD11．AD【分析】根据圆台的空间结构关系以及全面积公式计算选项A和B，选项C利用侧面展开图判断点A出发沿侧面到达点C的最短距离，选项D转化为求圆台最大的内切球，进而求该球的内接正方体即可.【详解】选项A，连接,过点作的垂线，垂足为,在直角三角形中，,则圆台的母线长为,故选项A正确；

选项B，由圆台的全面积公式可得，故选项B错误；选项C，该圆台可以看成由底面半径为的圆锥截去一个底面半径为的圆锥得到，设截去底面半径为的圆锥的母线长为，由相似关系可知解得，故大圆锥的母线长，由已知得圆台底面圆的周长为，由弧长公式可知大圆锥侧面展开扇形的圆心角为,所以圆台的侧面展开图如下图所示:

由,此时线段AC与小圆相交，故点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故选项C错误；选项D，该圆台的轴截面可以补成一个边长为的正三角形，

由于,则圆台中能放下的最大球的半径为，所以求圆台内放置一个可以任意转动的正方体即可以求最大球的内接正方体，设正方体的棱长为，则，解得，故选项D正确；故选：AD.12．【分析】利用函数的单调性，即可求得函数在给定区间上的值域.【详解】因为为R上的递增函数，由，可得，，所以的值域为．故答案为：．13．##0.0625【详解】因为所以，当且仅当时等号成立，因，则，故有，所以，即的最大值为.故答案为:．14．【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解.【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体.在上取点使，连接，则易得，所以即为异面直线与所成的角(或其补角).设，则，，，又，，则，所以为锐角，所以，解得，所以.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）由得，通过坐标运算即可；（2）由得存在实数，使得，对应系数相等即可求解.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，，所以，即，所以．（2）因为，所以为一组基向量，所以，所以存在实数，使得，所以，所以，因为，所以．16．(1)(2)84(3)总平均数为；总方差为【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1，所以，则.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84.（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故这两组成绩的总平均数为，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：.17．(1)；(2).【分析】（1）利用二倍角公式和平方关系构造齐次式，然后弦化切求出，再结合求出的范围即可得解；（2）利用平方关系求出，然后可得，利用和差公式求出，结合角的范围即可求解.【详解】（1）因为，，所以，所以，由得，即，解得或，因为，所以.（2）由（1）可知，，，因为，且，所以，所以，所以，又，，所以，所以.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.（2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.【详解】（1）取中点，连接，由为的中点，为的中点，所以，又，则，因此四边形为平行四边形，于是，而平面，平面，所以平面；（2）过作于点，连接，由，得≌，则，即，因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形，所以，从而，所以，又因为，平面，平面，则平面，又因为平面，所以平面平面.19．(1)(2)(3)【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可.（2）先选