安徽省蚌埠市五河第一中学2023-2024学年高一下学期学期阶段性测试 数学试卷【含答案】

2023-2024学年度五河一中第二学期阶段性测试数学试卷一、单选题1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A． B． C． D．4．等于（

）A．0 B． C．1 D．5．将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知中，，则的最大值是（

）A． B． C． D．7．在中，，，，若，若，则的值为（

）A．2或 B． C．1 D．28．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（

）A．，则的外接圆半径是4 B．若，则C．在，解三角形有两解． D．已知，则；10．下列说法正确的是（

）A．已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为B．是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心；C．已知为的外心，边长为定值，则为定值；D．若点满足，则点是的垂心.11．已知内角的对边分别为为的重心，，则（

）A． B．C．的面积的最大值为 D．的最小值为三、填空题12．已知平面向量，若，则．13．已知复数满足，则的最大值为．14．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为．

四、解答题15．已知，且是第三象限角.(1)求的值；(2)求的值.16．在复数范围内有关于的方程.(1)求该方程的根；(2)求的值；(3)有人观察到，得，试求的值.17．如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点．(1)用表示；(2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围．18．已知，(1)若，求的值；(2)在三角形ABC中，若，求的最大值；(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．19．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且．(1)求的值；(2)求的面积；(3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．1．C【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，从而得到结果.【详解】依题意，得，故.故选：C.2．C【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选：C3．A【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4．A【分析】由可求三角函数式的值.【详解】由于，于是，，，三式相加即得．故选：A5．B【分析】利用三角函数图象的变换规律求得的解析式，进而得的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围．【详解】将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象．，由，，得，∴的增区间为，若在上单调递增，则，∴且，∴且，又，∴当时，，故答案为：B．6．D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值．【详解】因为，所以，即所以，由余弦定理得：，即，，当且仅当即时取等号，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，所以，即的最大值是．故选：D．7．D【分析】根据已知条件判断出三点共线，然后根据向量数量积列方程，化简求得的值.【详解】设是的中点，由于，所以，所以三点共线，且，，且，所以，令，则，所以，解得，则，解得.故选：D

8．C【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案.【详解】当，，因为在上单调递增，故，则；当，，且，，又因为在上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①，②，综上：的取值范围为，故选：C.9．BD【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可.【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误；对于B，由可得，又，故，B正确；对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误；对于D，由可得，故，又，故，D正确.故选：BD.10．ABC【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可.【详解】A选项，，因为为单位向量，所以，所以在上的投影向量为，故A正确；B选项，设中点为，则，又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确；C选项，，因为、为定值，所以为定值，故C正确；D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上，同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错.故选：ABC.11．BC【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．

12．##【分析】由平行向量的坐标表示可得，再由两角差的余弦公式和同角三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为平面向量，若，所以，所以，所以.故答案为：.13．5【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答.【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，表示复数对应的点到的距离，点到点的距离为，所以的最大值为.故答案为：514．【分析】由面积之比得到，不妨设，，再由锐角三角函数推导出，，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为，所以，设，则，又，不妨设，，所以，，所以，又，，所以，又，所以，，所以，即，所以，即，所以.故答案为：15．(1)(2)5【分析】（1）根据题意，求得和，得到，再由正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1），结合，代入即可求解.【详解】（1）解：由，可得，因为是第三象限角，可得，所以.则.（2）解：由（1）知且，可得.16．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根.（2）对目标式子变形，代入即可求值.（3）由于，结合，即可求解.【详解】（1）因为，则在复数范围内由求根公式可得方程的根为，则，.（2）因为，所以，则，由（1）知，故.（3）因为，所以，所以.17．(1)(2)【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；（2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可.【详解】（1）由已知得；（2）设，则，，，由于共线，设，则，所以，所以，因为是线段（不含端点）上的动点，所以，所以，所以，当时，.18．(1)(2)(3)【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用角的变换即可求解；（2）由条件先求角，再求出角的范围，利用三角恒等变换化简转换，结合角的范围，即而求解最大值；（3）由题意把转化为，利用换元法及基本不等式求解即可.【详解】（1）函数,因为，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因为，所以,则，故当时，取最大值，最大值为．（3）由（1）可知,令，因为，所以，从而，则即为：在上恒成立，所以在在上恒成立，又，当且仅当时等号成立．所以，即实数a的取值范围为.19．(1)(2)(3)【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解；（2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式；（3）根据向量的线性关系，以及平面向量基