2023湘教版八年级下学期数学第1章素养综合检测

第1章.素养综合检测

（满分100分，限时60分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（2022湖南永州宁远期中）下列各组线段的长度能构成直角三角形

的是)

A.5,12,13B.6,7,8

C.3,4,6D.7,12,15

2.如图，数轴上点A所表示的数为名则a的值是)

A.V3B.V3-1

C.V5-1D.V5

3.如图，已知判定RtAABD和RtACDB全等的依据是

()

A.AASB.SAS

C.ASAD.HL

4.（2022湖南怀化淑浦期中）在RtAABC中,NACg=90。,。。是AB边上的中线且

8=5,则AB的长是（）

A.20B.10

C.5D.2.5

5.（2022福建漳州三中期中）小华和小侨合作，用一块含30。角的直角三角板和测量

长度的工具，测量学校旗杆的高度.如图,SLAB,测得AD=Q.5米,CQ=6米,则学校

旗杆A8的高度为

A.6.5米B.(6将0.5)米

C.12.5米D.(6«+0.5)米

6.（2022湖南师大附中博才实验中学期中）如图所示，甲渔船以8海里州的速度离

开港口O向北偏东45。方向航行，乙渔船以6海里附的速度离开港口O向北偏西

45。方向航行，它们同时出发,一个半小时后，分别到达点4、民此时甲、乙两渔船相

A.12海里B.13海里

C.14海里D.15海里

7.（2021湖南岳阳长岭中学期中）如图，在△ABC中,NC=90o,NCA8的平分线AO交

BC于点D,BC=8,CD:BD=\：2,那么点D到AB的距

离是

C

I)

A1B

2

A2

-B

3

c

8

-D

3

,4

8.【主题教育・中华优秀传统文化】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的

出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中:

今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折者高几何?意思是一根竹子，原高一丈（1丈

=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离

地面的高度是（）

A.5.3尺B.6.8尺

C.4.7尺D.3.2尺

9.（2022湖南永州新田期中）如图，在四边形ABCD中，NA3C=

NADC=90。,分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S

「来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()

A.S甲=5丁

C.S甲+S乙二S丙+S丁D.S甲-S乙二5丙-S丁

10.如图，在△ABC中平分NA3a4P_L5P于点尸，连接尸。,若4PAB的面积为6

cm2,APBC的面积为8cm2,IJlUPAC的面积为（）

p

RC

A.2cm2B.2.5cm2C.3cm2D.4cm2

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（2022广西北海合浦期中）如图，在△A3c中，/。=90。,4。平分

NC4B,3D=4,点D至I」AB的距离为2,贝IBC=.

12.（2022湖南岳阳临湘期中）如图，在RtAABC与RtADCB中，已知

NA=NO=90。,为了使RtAA3C0RS3CB,需添加的条件是（不添加字母和

辅助线）.

AD

8C.

13.已知△ABC的三边长分别为a力,c,则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的

是.（填序号）

①NA：ZB：ZC=3：4：6;

②a：b：c=l：3：2;

③NONA-NB;

@Z72=a2-c2.

14.（2022江苏泰州中考）如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”

从图中的位置出发,不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点

间的最短距离为

15.1学科素养•几何直观]（2022北京海淀期中）图①是中国古代著名的“赵爽弦图”

的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若直角三角形的一个锐角为30°,

将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设A3=2,

则图中阴影部分的面积为

16.【新考法】（2022湖北荆州中考）如图，在RtAABC中,NAC8=90。,通过尺规作图

得到的直线分别交A&AC于点连接CD.若CE=]E=1,则CD=.

三、解答题（共52分）

17.【新独家原创】（6分）如图，在四边形A3CD中43〃8人。〃3。,8£_14。于点

EQ/LAC于点儿4/=。七,求证:RQABE^RtACDF.

18.(8分)在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯AC,斜靠在一面墙上,

梯子底端。离墙20米,如图.

(1)求这个梯子的顶端A距地面的高度;

(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米(云梯长度不变),那么云梯底部

在水平方向应滑动多少米?

19.(8分)如图，乙43C=60。,点。在AC±,B£)=16,DE±BC,DF±AB,JLDE=DF.求:

(l)NCB。的度数；

(2)DF的长度.

I)

REC

20.（8分）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地A3CZ）（如图所示）的周长，其

中边8上有水池遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知AB=AO=30m,

ZA=60°,BC=40m,ZABC=150。.小明说根据小东所得的数据可以求出四边形

ABCD的周长.你同意小明的说法吗?若同意，请求出四边形ABCD的周长;若不同

意,请说明理由.

21.（10分）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了

一种证明勾股定理的方法.如图①，点B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB,

得到直角三角形ACB,三边长分别为小b、c,将△ACB裁剪拼接至△AEb的位置,

如图②所示，该同学用图①、图②的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证

明勾股定理的过程.

图①图②

22.【学科素养•推理能力】（12分）已知在aABC中，乙4BC=90。,点E在直线A3上,

与直线AC垂直,垂足为D且点M为七。的中点，连接BM,DM.

⑴如图①，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM/BMD与N3CZ）满足的数量

关系,并直接写出你得到的结论；

⑵如图②，若点E在线段84的延长线上,(1)中的结论是否仍然成立?写出你的猜想

并加以证明.

8

E

AI)

图①图②

答案全解全析

l.AA.52+122=132,.•.能构成直角三角形;B「.•62+72郑5，不能构成直角三角

形;C.:32+42知2,不能构成直角三角形;D.:72+12V152,

...不能构成直角三角形.

2.C由勾股定理得直角三角形的斜边长=<#+22=遥,.•.斫西-1,故选C.

3.D'：AB.LBD,CD±BD,：.ZABD=ZCDB=90°,

“Q=CR

在RtAABD和RtACDB中,0八二C

IBU—UD,

：.RtAABD^RthCDB（HL）.

4.BZACB=90°,CD是AB边上的中线，且CZ）=5,/.A6=2CO=10,故选B.

5.B由题意知/48。=30。,/8。。=90。,，8。=2。=12米，

：.BD=y/BC2-CD2=V122-62=673米，

VAD=0.5米,.•.A8=（6g+0.5）米，故选B.

6.D如图，由题意易得3O=1.5x6=9（海里）2O=1.5x8=12（海里）,N1=N2=45。，

.•・N403=90°,...A6=VB02+力。2=15（海里），即甲、乙两渔船相距15海里，故选D.

O

7.C如图，作DELAB于点E,•:BC=8,CD：BD=\：2,CD=p

o

A£>平分NCAB,ZC=90°,DE=CD^,

即点。到AB的距离是方

C

I)

AB

8.D设竹子折断处离地面的高度是％尺，根据勾股定理得12+62=（10㈤2,解得

x=3.2,

.•・折断处离地面的高度为3.2尺.

9.C连接4c（图略），

由勾股定理得AB^B^ACMD^CD^AC2,

•\S甲+S『S丙+S丁，故选C.

10.A延长AP交于点。，如图，

,:BP平分NABGAPLBP,

.../ABP=NDBP,/APB=NDPB=90。,

ZPAB=ZPDB,：.BA=BD,

,：BP工AD,AP=DP,S&PDB=S4PAB=6cm2,

22

•:5APBC=8cm,p8=2cm,

AP=DP,:.S&PAC=SAPDC=2cn?.故选A.

11.6

解析如图，过点D作DEA.AB于点E,

AD平分ZCAB,：.DC=DE=2,

'：BD=4,：.BC=DC+BD=2+4=6.

A

12.A3=。。（答案不唯一）

解析（答案不唯一）可以添加A8=Z）C,

ZA=ZD=90°,BC=BC,AB=DC,RtAABC^Rt^DCB(HL).

13.③④

解析①：ZA：ZB：ZC=3：4：6,

6

ZC=xl80°#90°,

3+4+6

故^ABC不是直角三角形;

②言"：c=l：3：2,

设a=k,h=3k,c=2k(k>0),

•.•杉+(2身2学3女)2,

...我/地2,故448c不是直角三角形;

(3)ZC=ZA-ZB,：.ZA=ZB+ZC,

'：NA+N3+NO180。，

.,.2ZA=180°,.,./A=90。,故^ABC是直角三角形；

④h2=a2-c2,加+/=次，故4ABC是直角三角形.

14.V2

解析走两步后的落点与出发点间的最短距离为乒TN=VI

15.8+4V3

解析如图,/4。。=30。48=2,设AC=%,贝!JBC=AD=2+x,

,：ZADC=30°,：.CD=2AC,

在RtAADC中,C£>2=A02+AG,

AD=y/3AC,2+x=y/3x,x=V3+1,/.AC=V3+1,

图中阴影部分的面积=4x］力C2=4x|X(V3+1)2=4X(2+V3)=8+4V3.

E

16.V6

解析如图，连接BE,,：CE=^AE=1,AE=3,

：.AC=4,\'MN为AB的垂直平分线，

：.AE=BE=3,

：.在RtAECB^,BC=y/BE2-CE2=242,

：.AB=y/AC2+BC2=2V6.

•••CO为直角三角形ABC斜边上的中线,

：.C*AB=E

17.证明,：AB//CD,AD//BC,

：.ZBAC=ZDCA,ZCAD=ZACB,

"：AC=CA,：.△AOC0△CBA(ASA),

：.DC=BA.'：AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF^\iAE=CF,

•.•3EL4c于点于点F,

二.ZAEB=ZCFD=90°,

在RtAABE与RtACDF中,

iAE=CFf

ARtAABE^RtAC£>F(HL).

18.解析⑴由题意得AC=25米,8C=20米，

则AB=yjAC2-BC2=4625-400=15（米）.

（2）由题意得£A=4米，则BE=19米，

BD=yjDE2-BE2=4625-361=2碗（米），

,.,3020米，

。=（20-2项）米.

，云梯的底部在水平方向应滑动（20-2夜）米.

19.解析（1）；DE_LBC,DF_LAB,且DE=DF,

：.BD平分NA3C,；ZABC=60°,

1

...ZCBD=-ZABC=30°.

2

⑵易知ZABD=ZCBD=30°.

BD=16,DF±AB,：.DF=-BD=-xl6=8.

22

20.解析同意小明的说法.

理由:连接BD,'：AB=AD=30m,ZA=60°,

...△A8D为等边三角形，

：.BD=AB=AD