2024河南中考数学全国真题分类卷 第十三讲 三角形(含答案)

2024河南中考数学全国真题分类卷第十三讲三角形命题点1三角形及边角关系1.(2023永州)下列多边形具有稳定性的是()2.(2023邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是()A.1cm，2cm，3cmB.3cm，4cm，5cmC.4cm，5cm，10cmD.6cm，9cm，2cm3.(2023河北)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图所示)，则d可能是()第3题图A.1B.2C.7D.84.(2023德阳)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是()A.1kmB.2kmC.3kmD.8km5.(2022盐城)将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为()第5题图A.45°B.60°C.75°D.105°6.(2022陕西)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为()第6题图A.60°B.70°C.75°D.85°7.(2023湘潭)如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝________．第7题图8.(新趋势)·注重学习过程(2023北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图，△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法一证明：如图，过点A作DE∥BC.方法二证明：如图，过点C作CD∥AB.源自人教八上P12例题命题点2三角形中的重要线段类型一与中点有关的问题9.(2023眉山)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为()A.9B.12C.14D.1610.(2023南充)数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m(如图)，则A，B两点的距离是________m.第10题图11.(2023常州)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是________．第11题图类型二与角平分线有关的问题12.(新考法)·结合折叠考查角平分线的概念(2023河北)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的()第12题图A.中线B.中位线C.高线D.角平分线13.(2023北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝________．第13题图14.(2023温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.(1)求证：∠EBD＝∠EDB；(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．第14题图类型三与高线有关的问题15.(2023杭州)如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则()第15题图A.线段CD是△ABC的AC边上的高线B.线段CD是△ABC的AB边上的高线C.线段AD是△ABC的BC边上的高线D.线段AD是△ABC的AC边上的高线16.(2023玉林)请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()第16题图A.0.5cmB.0.7cmC.1.5cmD.2cm17.(2022聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF值为________．第17题图命题点3等腰三角形18.(2023宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是()A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm19.(2023嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是()第19题图A.32B.24C.16D.820.(2023天津)如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是()第20题图A.(5，4)B.(3，4)C.(5，3)D.(4，3)21.(2023海南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是()第21题图A.36°B.54°C.72°D.108°22.(2023梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是()第22题图A.∠ADC＝90°B.DE＝DFC.AD＝BCD.BD＝CD23.(2023湖州)如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是()第23题图A.12B.9C.6D.3eq\r(2)24.(2022宜宾)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是()第24题图A.eq\f(1,2)B.2C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),4)25.(2023云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是________．26.(2023苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________．27.(2022南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝________(用含α的代数式表示).第27题图28.(2022长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．第28题图29.(挑战题)(2020天水)性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________；理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋2eq\r(3)，则它的面积为________；(2)如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长；类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含α的式子表示).第29题图命题点4等边三角形30.(2020铜仁)已知等边三角形一边上的高为2eq\r(3)，则它的边长为()A.2B.3C.4D.4eq\r(3)31.(2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)第31题图32.(2023张家界)如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝eq\r(3)，则△AOB与△BOC的面积之和为()第32题图A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),4)D.eq\r(3)33.(2020台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．第33题图34.(挑战题)(2023朝阳)等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为________．35.(2023怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.(1)求证：MP＝NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).第35题图命题点5直角三角形类型一勾股定理及其应用36.(2023遵义)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.1D.2第36题图37.(2022成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．第37题图38.(2023扬州)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为________．39.(新趋势)·数学文化(2022宿迁)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是________尺．第39题图类型二直角三角形的性质及计算40.(2023沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是()第40题图A.70°B.60°C.30°D.20°41.(2023宁波)如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为()第41题图A.2eq\r(2)B.3C.2eq\r(3)D.442.(2023南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是()第42题图A.BF＝1B.DC＝3C.AE＝5D.AC＝943.(2023梧州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5m，BC＝3m．那么CD＋DE的长是________m.第43题图44.(2022海南)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1,0)、(0，eq\r(3))，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．第44题图45.(2022苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝________°.第45题图46.(2023德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若CB＝1，那么CE＝________．第46题图47.(2023杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.(1)求证：CE＝CM；(2)若AB＝4，求线段FC的长．第47题图命题点6等腰直角三角形48.(2022宁波)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D,BD＝eq\r(3).若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.1D.eq\f(\r(6),2)第48题图49.(2023桂林)如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是()第49题图A.eq\f(3＋\r(2),2)B.1＋eq\r(2)C.2eq\r(2)D.2＋eq\r(2)50.(2022枣庄)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝eq\f(3,2)，则BC的长是()第50题图A.eq\f(3\r(2),2)B.3C.3eq\r(2)D.3eq\r(3)51.(2022扬州)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是()第51题图A.2B.3C.4D.5参考答案与解析1.D【解析】三角形具有稳定性．2.B【解析】A.∵1＋2＝3，∴这三条线段不能构成三角形；B.∵3＋4>5，4－3＜5，∴这三条线段能构成三角形；C.∵4＋5<10，∴这三条线段不能构成三角形；D.∵6＋2<9，∴这三条线段不能构成三角形．3.C【解析】如解图，连接EB，BD，在△AEB中，5－1＜a＜5＋1，即4＜a＜6，在△CDB中，1－1＜b＜1＋1，即0＜b＜2，∴在△DEB中，a－b＜d＜a＋b，∴2<d<8，∴d可能是7.第3题解图4.A【解析】设杨冲家为点A，李锐家为点B，学校为点C，则AC－BC≤AB≤AC＋BC，∵AC＝5km，BC＝3km，∴5－3≤AB≤5＋3，即2≤AB≤8，所以杨冲、李锐两家的直线距离不可能是1km.故选A.5.C【解析】∠1＝30°＋45°＝75°.6.B【解析】∵∠B＝25°，∠C＝50°，∴∠AEB＝75°，∵∠A＝35°，∴∠1＝180°－∠A－∠AEB＝70°.7.40°【解析】根据反射角等于入射角得∠ODE＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，又∵∠AOB＝120°，根据三角形内角和定理得∠OED＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°.8.方法一：证明：∵DE∥BC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.方法二：证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，又∵∠BCD＝∠ACD＋∠BCA，∴∠A＋∠B＋∠BCA＝180°.(选择一种即可)9.A【解析】根据题意，线段DE，EF，DF是△ABC的三条中位线，根据中位线的性质，得△DEF的周长为eq\f(4＋6＋8,2)＝9.10.20【解析】∵D，E两点分别是AC与BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴AB＝20m.11.2【解析】∵E是AD的中点，∴S△ACD＝2S△ACE＝2，∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC＝2.12.D【解析】角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在直线．13.1【解析】∵AD平分∠BAC，∴点D到AB所在直线和AC所在直线的距离相等，∵DE⊥AB，DE＝1，∴DE为点D到AB所在直线的距离，∴点D到AC所在直线的距离h＝DE＝1，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·h＝eq\f(1,2)×2×1＝1.14.(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD.∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB；(2)解：CD＝ED.理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AC－AD＝AB－AE，即CD＝BE.由(1)得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴CD＝ED.15.B16.D17.12∶15∶10【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，∴点O为△ABC的垂心，∵BF过点O，∴BF⊥AC，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CE＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)AC·BF，∴5CE＝4AD＝6BF，即CE∶AD∶BF＝12∶15∶10.18.D【解析】当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3，3，5能够组成三角形，此时周长为3＋3＋5＝11cm；当等腰三角形的腰为5cm，底为3cm时，3，5，5能够组成三角形，此时周长为5＋5＋3＝13cm.则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm.19.C【解析】∵EF∥AC，GF∥AB，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AE＝FG，AG＝EF，∵AC＝AB＝8，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠B＝∠GFC，∴∠GFC＝∠C，∴FG＝GC，∴AC＝AG＋GC＝AG＋FG＝eq\f(1,2)×四边形AEFG的周长，∴四边形AEFG的周长＝16.20.D【解析】如解图，设AB交x轴于点C，由题意知OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝3.由勾股定理，得OC＝eq\r(OA2－AC2)＝eq\r(52－32)＝4，∴点A的坐标为(4，3).第20题解图21.A【解析】由作图可知，BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠A＝36°.22.C【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故选项A，D正确；∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，故选项B正确；在△ABC中，AD不一定等于BC，故选项C错误．23.B【解析】∴AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，∴AD所在直线为△ABC的对称轴，∵∠EBC＝45°，∴∠ECD＝45°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵BC＝6，∴BE＝CE＝3eq\r(2)，∴S△EBC＝eq\f(1,2)BE·CE＝9.24.A【解析】如解图，过点O作OF⊥AB于点F，∵点O为角平分线AD，BE的交点，AB＝AC.∴OD⊥BD，∴OF＝OD.在△ABC中，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝BF＝CD＝eq\f(1,2)BC＝6，在△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(102－62)＝8，设OD＝x，则OF＝x，AO＝8－x，AF＝4，在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝OA2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴tan∠OBD＝eq\f(OD,BD)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).第24题解图25.40°或100°【解析】当∠A为顶角时，△ABC的顶角为40°；当∠A为底角时，△ABC的顶角为180°－2×40°＝100°.26.6【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，∴AB＝AC＝2BC＝6.27.180°－eq\f(1,2)α【解析】在△ABD中，AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝eq\f(1,2)(180°－∠ABD)＝90°－eq\f(1,2)∠ABD，在△BCD中，BC＝BD，∴∠C＝∠CDB＝eq\f(1,2)(180°－∠CBD)＝90°－eq\f(1,2)∠CBD，∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝α，∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝90°－eq\f(1,2)∠ABD＋90°－eq\f(1,2)∠CBD＝180°－eq\f(1,2)(∠ABD＋∠CBD)＝180°－eq\f(1,2)∠ABC＝180°－eq\f(1,2)α.28.(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD,∠ADB＝∠ADC,BD＝CD))，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴∠B＝∠ACB；(2)解：∵△ABD≌△ACD，AB＝5，∴AC＝AB＝5，∵CE＝CA，∴CE＝5，∵AB＝5，AD＝4，AD⊥BC，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝3，∵BD＝CD，∴CD＝3，∴BE＝BD＋CD＋CE＝3＋3＋5＝11，DE＝CD＋CE＝3＋5＝8，∴AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，则△ABE的周长为AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq\r(5)＝16＋4eq\r(5)，S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD＝eq\f(1,2)×11×4＝22.29.解：性质探究：eq\r(3)∶1；【解法提示】如解图①，过点C作CD⊥AB于点D.∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC·cos30°＝eq\r(3)AC，∴AB∶AC＝eq\r(3)∶1.第29题解图①理解运用：(1)eq\r(3)；【解法提示】设CA＝CB＝m，则AB＝eq\r(3)m，由题意得2m＋eq\r(3)m＝4＋2eq\r(3)，∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(3)，∴AD＝DB＝eq\r(3)，CD＝AC·sin30°＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3).(2)如解图②，连接FH.第29题解图②∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG＋∠EHG＝∠EGF＋∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH＋∠EFG＋∠EHG＋∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°－120°－120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，∴∠EFH＝30°，∴FH＝2EF·cos30°＝20eq\r(3)，∵点M，N分别为FG，GH的中点，∴MN＝eq\f(1,2)FH＝10eq\r(3)；类比拓展：2sinα∶1.【解法提示】如解图①，∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α，∴AB＝2AD＝2AC·sinα，∴AB∶AC＝2sinα∶1.30.C【解析】根据等边三角形三线合一的性质，设它的边长为x，可得x2＝(eq\f(x,2))2＋(2eq\r(3))2，解得x1＝4，x2＝－4(舍去).31.D【解析】在等边△ABC中，∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴△DEF为等边三角形，DF∥BC且DF＝eq\f(1,2)BC，∴△ADF∽△ABC，S△ADF＝S△ABC＝eq\f(1,4)，∴S△ADF＝eq\f(1,4).同理可得S△BDE＝S△CEF＝eq\f(1,4)，∴S△DEF＝S△ABC－S△ADF－S△BDE－S△CEF＝eq\f(1,4).第31题解图32.C【解析】如解图，将△BOC绕点B逆时针旋转，使得线段BC与BA重合，点O的对应点为点O′，连接OO′，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，由旋转的性质得，∠O′BO＝60°，OB＝O′B＝1，AO′＝CO＝eq\r(3)，∴△O′BO为等边三角形，∴OO′＝OB＝1，过点O′作O′D⊥OB于点D，∴O′D＝O′B·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，在△AOO′中，AO′2＋OO′2＝(eq\r(3))2＋12＝4，AO2＝22＝4，∴AO′2＋OO′2＝AO2，∴△AOO′为直角三角形，∴S△AOB＋S△BOC＝S△AOB＋S△ABO′＝S△AOO′＋S△BOO′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(3\r(3),4).第32题解图33.6【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∠B＝∠C＝60°.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是3EF＝3×2＝6.34.3或eq\f(6\r(13),13)【解析】如解图①，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴BD＝CE＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD＋CD＝3，即等边△ABC的边长为3；如解图②，连接BE，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBF＝60°，设CD＝x，则BE＝x，BD＝2x，∴BF＝eq\f(1,2)x，EF＝eq\f(\r(3),2)x，∴CF＝eq\f(7,2)x，在Rt△CEF中，EF2＋CF2＝CE2，∴(eq\f(\r(3),2)x)2＋(eq\f(7,2)x)2＝22，解得x＝eq\f(2\r(13),13)，∴BC＝3x＝eq\f(6\r(13),13)，即等边△ABC的边长为eq\f(6\r(13),13).第34题解图35.(1)证明：如解图，过点M作MQ∥BC交AC于点Q，第35题解图∴∠AMQ＝∠B，∠AQM＝∠ACB，∠PMQ＝∠N，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AMQ＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，∴AM＝MQ，∵AM＝CN，∴MQ＝CN，在△PQM和△PCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PMQ＝∠N,∠MPQ＝∠NPC,MQ＝NC))，∴△PQM≌△PCN(AAS)，∴MP＝NP；(2)解：∵△AMQ为等边三角形，MH⊥AQ，∴AH＝QH＝eq\f(1,2)AQ，∵△PQM≌△PCN，∴PQ＝PC＝eq\f(1,2)CQ，∴PH＝QH＋PQ＝eq\f(1,2)AQ＋eq\f(1,2)CQ＝eq\f(1,2)(AQ＋CQ)＝eq\f(1,2)AC，∵△ABC为等边三角形，AB＝a，∴AC＝AB＝a，∴PH＝eq\f(1,2)a.36.B【解析】在Rt△ABO，Rt△BOC中，∵∠AOB＝30°，AB＝BC＝1，∴OB＝2，∴OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\r(5)，设点B到OC的距离为h，∴eq\f(1,2)OC·h＝eq\f(1,2)BC·BO，∴h＝eq\f(BC·BO,OC)＝eq\f(1×2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).37.10038.eq\f(\r(5)－1,2)【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2，∵b2＝ac，∴a2＋ac＝c2，∴(eq\f(a,c))2＋eq\f(a,c)＝1，令eq\f(a,c)＝x，则x2＋x＝1，解得x1＝eq\f(\r(5)－1,2)，x2＝eq\f(－\r(5)－1,2)(舍去)，∵sinA＝eq\f(a,c)，∴sinA＝eq\f(\r(5)－1,2).39.12【解析】依题意画出图形如解图，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝(x－1)尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺．第39题解图40.B41.D【解析】∵D是AC的中点，F是CE的中点，∴DF是△ACE的中位线，∴AE＝2DF＝4，∴AD＝AE＝4.∵在Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，∴BD＝AD＝4.42.A【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，又∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EDA，∵DE＝5，∴AE＝DE＝5，C选项正确；∵∠C＝∠DFA＝90°，由角平分线的性质可得DC＝DF＝3，B选项正确；在Rt△DCE中，由勾股定理得CE＝eq\r(DE2－DC2)＝4，∴AC＝AE＋CE＝5＋4＝9.D选项正确；∵∠C＝∠DFB＝90°，DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△FBD，∴eq\f(CD,FB)＝eq\f(CE,FD)，即eq\f(3,FB)＝eq\f(4,3)，解得FB＝eq\f(9,4)，A选项错误．43.444.(4，eq\r(3))【解析】∵点B，C的坐标分别是(1，0)、(0，eq\r(3))，∴OC＝eq\r(3