2024河南中考数学复习 四边形中的三角形问题 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习四边形中的三角形问题强化精练基础题1.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()A.α－90°B.α－45°C.180°－αD.270°－α第1题图2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠CAB＝60°，AB＝6，则BD的长为()第2题图A.8B.10C.12D.183.如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，则DE的长为________．第3题图4.(2023福建)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．第4题图5.(2023台州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．第5题图6.如图所示，任意四边形ABCD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若四边形ABCD的面积为m，那么四边形EFGH的面积是________．第6题图7.如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第7题图8.(万唯原创)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，E是BC的中点，连接BD，DE，若BD⊥CD，则四边形ABED的周长为_______________________________________．第8题图9.(2023临沂)如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是_____________．第9题图10.(2023甘肃省卷)如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝_______________________________________________cm.第10题图11.(2023重庆A卷改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于________．第11题图12.(2023广东省卷)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第12题图拔高题13.(2023平顶山一模)如图，点E在正方形ABCD边AD上，且AE＝2DE＝2，点P是线段AB上一动点(点P不与点A重合)，连接EP，将△AEP沿EP所在直线折叠，点A的对应点为A′，过点A′作A′F⊥AB于点F，当点A′落在正方形ABCD的对角线上时，线段BF的长为_____________________________．第13题图14.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，点B的对应点为F，连接AF，当△AEF为直角三角形时，求BE的长．第14题图【解题关键点】分三种情况讨论：①∠AEF＝90°；②∠AFE＝90°；③∠EAF＝90°.15.如图，BD为矩形ABCD的对角线，AB＝5，BC＝eq\f(15,4).把CD绕点C旋转，点D的对应点为E，当CE∥BD时，求DE的长．第15题图【解题关键点】分两种情况讨论：①CE在BC上侧；②CE在BC下侧．参考答案与解析1.C【解析】如解图，根据矩形的性质知，∠2＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝α，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝180°－α，∴∠2＝180°－α.第1题解图2.C【解析】已知∠CAB＝60°，根据矩形的性质可得AO＝BO＝OD，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝6，∴AO＝BO＝AB＝OD＝6.∴BD＝BO＋OD＝12.3.6【解析】∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD，∵AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE，∵BC＝10，CE＝4，∴BE＝BC－CE＝10－4＝6，∴DE＝6.4.10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O为BD的中点，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴CD－DF＝AB－BE，∴CF＝AE＝10.5.2eq\r(5)【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝6，AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，在△ABE和△FCB中，∠A＝∠BFC，∠AEB＝∠FBC，BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS)，∴BF＝AE，∵BE＝CB＝6，∴AE＝eq\r(BE2－AB2)＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5)，∴BF＝2eq\r(5).6.eq\f(1,2)m【解析】如解图，连接BD，过点A作AM⊥BD于点M，交EH于点N，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD，∴AN⊥EH，∵E为AB的中点，EH∥BD，∴AN＝eq\f(1,2)AM，∴S△AEH＝eq\f(1,4)S△ABD，同理可得，S△FCG＝eq\f(1,4)S△BCD，∴S△AEH＋S△FCG＝eq\f(1,4)(S△ABD＋S△BCD)＝eq\f(1,4)m，∴S△BEF＋S△DHG＝eq\f(1,4)m，∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD－(S△AEH＋S△FCG)－(S△BEF＋S△DHG)＝eq\f(1,2)m.第6题解图7.9【解析】如解图，连接AC交BD于点O，记EF交BD于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，且AO＝CO，BO＝DO＝eq\f(1,2)BD＝4，在Rt△ABO中，AB＝5，BO＝4，∴AO＝3，∴AC＝6，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴线段EF为△ABC的中位线，∴EF＝3，设EF与BD的交点为G，则GO＝eq\f(1,2)BO＝2，∵DO＝4，∴DG＝6，∴S△EFD＝eq\f(1,2)EF·DG＝eq\f(1,2)×3×6＝9.第7题解图8.8【解析】由题知，∠BDC＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB＝∠EBD＝∠EDB，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AB＝BE＝AD＝DE，∴四边形ABED的周长为2＋2＋2＋2＝8.9.14【解析】如解图，∵点D是AB靠近A的三等分点，∴BD＝2AD，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴eq\f(DF,BC)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(DF,9)＝eq\f(1,3)，∴DF＝3，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BD,BA)，即eq\f(DE,6)＝eq\f(2,3)，∴DE＝4，∵得到的四边形DFCE为平行四边形，∴CE＝DF＝3，CF＝DE＝4，∴得到的平行四边形纸片的周长为2(DF＋DE)＝2×(3＋4)＝14.第9题解图10.2eq\r(3)【解析】如解图，连接BD交AC于点O，则AO＝CO，BO＝OD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO＝eq\r(AB2－BO2)＝3eq\r(3)(cm)，∴AC＝2AO＝6eq\r(3)(cm)，∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE(ASA)，∴AE＝CF，∵AE＝CF＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(6,\f(\r(3),2))＝4eq\r(3)(cm)，∴EF＝AE＋CF－AC＝2eq\r(3)(cm).第10题解图11.2α【解析】在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠ABG＝∠ADC＝90°，∴∠ABG＋∠ABC＝180°，∴G，B，E，三点共线，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△FAE和△GAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝AG,∠FAE＝∠GAE,AE＝AE))，∴△FAE≌△GAE(SAS)，∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2×(90°－α)＝2α.第11题解图12.15【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴eq\f(GL,CJ)＝eq\f(GH,CH)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝eq\f(1,2)(EJ＋FL)·EF＝eq\f(1,2)×(1＋4)×6＝15.第12题解图13.eq\f(5－\r(7),2)或1【解析】∵AE＝2DE＝2，∴AE＝2，DE＝1，∴AD＝AE＋DE＝2＋1＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝3，∠DAB＝90°，由折叠的性质可得，AE＝A′E＝2，∠DAB＝∠PA′E＝90°，AP＝A′P，∠AEP＝∠A′EP，①当点A′落在对角线AC上时，此时点P与点F重合，如解图①，连接AC，∴∠EA′F＝∠AFA′＝∠EAF＝90°，∴四边形AEA′F为矩形，AE＝A′E，∴四边形AEA′F为正方形，∴AF＝AE＝2，∴BF＝AB－AF＝3－2＝1；②当点A′落在对角线BD上时，如解图②所示，以A为原点，建立直角坐标系，使AB边落在x轴上，AD边落在y轴上，则点D(0，3)，B(3，0)，E(0，2)，设BD所在直线解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝b,0＝3k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3))，∴BD所在直线解析式为y＝－x＋3，设点A′的坐标为(a，－a＋3)，∵E(0，2)，A′E＝2，∴(0－a)2＋[2－(－a＋3)]2＝22，解得a＝eq\f(1＋\r(7),2)或eq\f(1－\r(7),2)(舍去)，∴AF＝eq\f(1＋\r(7),2)，∴BF＝AB－AF＝3－eq\f(1＋\r(7),2)＝eq\f(5－\r(7),2)；综上，线段BF的长为eq\f(5－\r(7),2)或1.第13题解图14.解：分类讨论：①如解图①，若∠AEF＝90°，∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，∴四边形BCFE是矩形，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF，∴四边形BCFE是正方形，∴BE＝BC＝AD＝6；②如解图②，若∠AFE＝90°，∵将△BEC沿着CE翻折，∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，∵∠AFE＋∠EFC＝180°，∴A，F，C三点共线，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，∴AF＝AC－CF＝4，∵AE2＝AF2＋EF2，∴(8－BE)2＝16＋BE2，∴BE＝3；③若∠EAF＝90°，∵CD＝8＞CF＝6，∴点F不可能落在直线AD上，∴不存在∠EAF＝90°，综上所述，BE＝3或6.第14题解图15.解：如解图，当CD绕点C顺时针旋转时，过点E作EF⊥CD于点F，∴∠EFC＝∠BCD＝90°，CE＝CD＝5，∵BD∥CE，∴∠FCE＝∠BDC，∴△EFC∽△BCD，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\f(15,4),5)＝eq\f(3,4)，∵CE＝5，∴EF＝3，CF＝