2024河南中考数学复习 二次函数与线段、面积问题 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习二次函数与线段、面积问题强化精练1.(一题多设问)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于C点，连接直线BC.(1)求抛物线的解析式；(2)求BC的长；(3)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点Q，交直线BC于点M.①求PM的最大值；②当PQ＝2QM时，连接CQ，求△QBC的面积．第1题图2.(一题多设问)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过M(0，5)，N(4，5)两点，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).(1)求b，c的值；(2)若抛物线对称轴上有一点C，连接AC，MC，求AC＋MC的最小值，并求出此时点C坐标；(3)连接BM，在线段BM上方的抛物线上有一点D，连接DM，BD，设点D的横坐标为t，请求出S△BDM关于t的函数解析式，并求出S△BDM的最大值；(4)在(3)的条件下，连接AM，请判断是否存在点D，使得S△ABM＝S△BDM，并说明理由．第2题图参考答案与解析1.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋2＝0,16a＋4b＋2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4),b＝\f(1,2)))，∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2；(2)∵抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2，∴C(0，2)，∴BC＝eq\r(42＋（0－2）2)＝2eq\r(5)；(3)①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，将B，C两点的坐标代入直线BC的解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋m＝0,m＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),m＝2))，∴直线BC的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋2，设P(x，－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2)，则M(x，－eq\f(1,2)x＋2)，∴PM＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2－(－eq\f(1,2)x＋2)＝－eq\f(1,4)x2＋x＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋1，∵－eq\f(1,4)<0，0<x<4，∴当x＝2时，PM取得最大值，最大值为1；②由①可得PQ＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2，QM＝－eq\f(1,2)x＋2，∵PQ＝2QM，∴－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋2＝2(－eq\f(1,2)x＋2)，解得x1＝2，x2＝4(舍去)，∴OQ＝2，BQ＝2，∴S△QBC＝2×2×eq\f(1,2)＝2.2.解：(1)∵M(0，5)，N(4，5)两点在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴c＝5，M，N关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2×（－1）)＝eq\f(0＋4,2)＝2.∴b＝4，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5，b＝4，c＝5；(2)如解图①，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，BM，∴BC＝AC，∴AC＋MC＝BC＋MC≥BM，当B，C，M三点共线时，AC＋MC取得最小值，最小值为BM的长，令y＝－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∴A(－1，0)，B(5，0)，∴BM＝eq\r(52＋（0－5）2)＝5eq\r(2)；设直线BM的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，∴将B，M两点的坐标代入直线BM的解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5k＋m＝0,m＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,m＝5))，∴直线BM的解析式为y＝－x＋5，由于点C是抛物线对称轴上一点，∴当x＝2时，y＝3，∴AC＋MC的最小值为5eq\r(2)，此时点C坐标为(2，3)；第2题解图①(3)如解图②，过点D作x轴的垂线交BM于点F，∵点D是抛物线上一点，且横坐标为t，∴D(t，－t2＋4t＋5)，F(t，－t＋5)，∴DF＝－t2＋4t＋5－(－t＋5)＝－t2＋5t＝－(t－eq\f(5,2))2＋eq\f(25,4)，∴S△BDM＝eq\f(1,2)DF·OB＝eq\f(1,2)×[－(t－eq\f(5,2))2＋eq\f(25,4)]×5＝－eq\f(5,2)(t－eq\f(5,2))2＋eq\f(125,8)，∵－eq\f(5,2)<0，0<t<5，∴S△BDM的最大值为eq\f(125,8)；第2题解图②(4)存在，理由如下：S△ABM＝eq\f(1,2)AB·OM＝