2008年全国初中数学竞赛试题含答案

精品文档2008年全国初中数学竞赛试题”《数学周报》杯"

—得分班级——学号——姓名BA,一、选择题（共5

小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为，火的四个选项，

其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号，0分）

里.不填、多填或错填都得442,”yy到y）的值为.已知实数（，满足：一=3,

++=3,则1_______,加优¥137+1+135

）（（A）7（BC）D）（22次，若6的质地均匀的正方体骰子先后投掷23,4,

5,2.把一枚六个面编号分别为1,2,2人力孙侬“〃轴有两个不同交+两个正面朝

上的编号分别为的图象与，+，则二次函数=）点的概率是（

15417）D）（（（B）CA（）__________236129个点可确6个不同的点，小圆

周上有3.有两个同心圆，大圆周上有42个不同的点，则这定的不同直线最少

有）（

条（B）8（（C）10条（D）12

Q6条ABCOABOABaAB,1的圆内作正△的一条弦，且为一边在圆=.以＜4.己

知1是半径为2£必而〃。切如如的长=,则的一点，且，点=为圆于点上不同于

点的延长线交圆）（为35aaD）C）（A）（（B）1

（22这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个，53,

4,5.将1,2）（数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要

求的排法有种D）5（（C）4种）（A2种（B）3种

分）6分，满分30二、填空题（共5小题，每小题有，定义

一种运算“*”为：的方程***（+.对于实数6）=一,.若关于_4a.的取值

范围是两个不同的实数根，则满足条件的实数分钟从迎面驶318路公交

车，每隔7.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆路公交车总站

每隔固18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车.假设每辆18来一辆

分钟.定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是/〃跖。3。胡。是N是的中点，

=7,11=，点8.如图，在中，AFCADBACMF_____的平分线，的长为〃.，则

FDEIABCABCABBCCA作$9.△,过△中，=7,的内切圆圆心=8,=DEEBCABACD,

分别与的长为，_____相交于点，.，则〃“。珈少孙孙）的所有正整数解为10.关

于，的方程+208（=.-60分）15三、解答题（共4题，每题分，满

分轴的正半轴分别交）的图象与0（.在直角坐标系11中，一次

函数+W轴、精品文档.

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ABOABOAOBbk-,（2）求△.（1,）用两点，且使得△的面积值等于I表示I+II

+3于的8面积的最小值.

qxpxppqx=0,有有理数根？，使得关于的一元二次方程+-12.是否存在质

数

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角

2倍的△/比？证明你的结论.

〃个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)中任取，…,

9,2114.从，〃的最小值.10它们的和能被整除，求精品文档.

精品文档简答：ACBBD选择题；16xaax=,；4；8.10.9=；9.

二.填空题6.48>0或<一1；7.3160,

yy=32.=32；

M-2kbbk=-i△2+10；(2)当，三.解答题：11.(1)==,>

26+2(3)物助奶<?=5时，=；12.存在满足题设条件的质数2,,.当面积

的最小值为7+210Lxxxx=2.它们都是有理数；13.=0的两根为方程2

存在满足条件的三=—5,+2u2ABCa=bcABn的最小值是.14.5=2N6,,

证明=4,,证明略=5角形.△,且/的边略.

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“《数学周报》杯"2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为

A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代

号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得。分)

2ba?4?b2a?2?(a?3)?2a?4ba?b等于()，则.1.已知非零实数，满足

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答】C.

2ab3出2?,于是，从3,所以，题设的等式为解：由题设知》2?,b?a?3a?b=l

而.

的/如比加上的一点，且，点2.如图，菱形的边长为是对角线如)，

则=,===1等于(.精品文档.

精品文档、/AI-

15?5?J2D))1(AOBO(C2题)(第22A.【答】

BCBOABCBOC,所以因为4,即s△解：？.

ACABaX，?.l'?aG所

I

以，.01a??a?l5?10tz?由.，解得加2的质地均匀的正

方体骰子先5,6,3,4,3.将一枚六个面编号分别为1,2yxM的方程组后投

掷两次，记第一次掷出的点数为，则使关于，第二次掷出的点数为，.

3?勿?"？.)只有正数解的概率为(？2?2yx??21351)(D()C)

(B)(A.,,9361812.【答】D

0??82a时，方程组无解.解：当b26??,x??,?b?2H)b2q??时，方程组的解

为当?3a?2?.y?,?ba?2?,?04?ba?6?0,22??b?26?,?0???33???6?2a或由

已知，得即,a?。?,??？,,3?2。22???,?0?,3b?b?3,??b2a????ab6,可得4,5,,

2的实际意义为1,,3由，，？12,a,4,56,a?3,??种情况.种情况；或共32

共有5X=10??,4b?b6,?1,2,5,??13.种情况，故所求的概率为X6=36

又掷两次骰子出现的基本事件共6、，36PABDCAB5B?9s.动点，14.如图所

示，在直角梯形从点中，〃"。力为84%看运动的路程为.，△的面积为把设

点沿梯形的边由出发，运动.

ABCx.2作的函数，函数的图像如图所示，则△的面积为()精品文档.

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(A)10(B)16(C)18(D)32

图2

图1二(第4题)【答】B.比切如/=8,故=根据图像可得5=4,,

进而求得=5,解：1S16.

X8X4==i.222MKX.,)的组数为(的方程的整数解()，5.关于

29?2卢?孙？)无穷多组(D)3组(C4组(A)2组(B).【答】

Cx解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为

22.029»x?(2y?x??02,且是完全平方数.由于该方

程有整数根，则判别式?现0116?29)??7??抄?4(2y?由1162.于是

解得Wyl6.57?.7l2yo14916

4

116

109

53

88

?2?16y时，显然，只有是完全平方数，符合要求.4??2X??U??3；时，原方程为

当，此时O3?X??4X4?AI2"?1K?3.4时，原方程为当，此时=—O?x4?x?3a3所以，

原方程的整数解为

%?1/??1/??3/?3,????如？???y?4y?4;y??4j??4.????324i二、填空题

(共5小题，每小题7分，共35分)

6.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把

它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、

后轮胎.如果交换前、精品文档.

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后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶

km,_

【答】3750.

A,则安装在前轮的轮胎每行驶1km解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为凝，

安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前

50003000^km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

走了km,交换位置后走了®丘???左？,750003000?kykx??k?,、

,?50003000?%(x?y)A(x?y),两式相加，得力??2,

,300050002则.3750v??x?..11?

.30005000/8(X4548的延长线上的中点为为圆心，，以点7.已知线段

的长为半径作圆，在线段胸切物破'G两点，取点为圆心，，使得分别相交于=

的长为半径作圆，与。；再以点，AHFGABH,则的值为于点.连接交，

ABADDEAFEF.,连接解：如图，延长与。，交于点11硼跖4中，和

△,，在△由题设知/E4抑C??/。33?EE4??FH4?9。？,EAF???E4H

成4砌Rt△△所以Rt,^AFAH''!.

AEAFAHl.而，所以?/8Z尸？（第7题）AB3b9??aa2,a,aaalala,aa,

是关.8已知是满足条件的五个不同的整数，若

534U24532??????????xb2009?x?ax?x?ax?a?xaa的值为于的整数根,

则的方程.53【答】10.??????????2009aaab??b??bab?ab?,,,,

aaaaa且是五个不同的,解:因为2451353ab,?,ab,?ba?ba?整数，所有也是

五个不同的整数.54123精品文档.

精品文档？？？？41?17?7?2009?1???又因为，所

以.41a??a?b?a?b?a?b?a?帅?”3240?b，可得由.9a??aa?a?a?加3CDBCCEACABCCDACB?,

12=是高，=为20,的平分线.若=9.如图，在a15中，，CE.的长等于则

260.【答】----1BDABADBDAD25+,=9.=16,所以=解：如图，由勾股

定理知=/侬?90?NC6故由勾股定理逆定理知△.为直角三角形，且

\BFCFxBCFEFxEF-=.设=,于是，由作，得，20,垂足为=?45ZC8??ECF??_

2ACxEF.由于，所以〃

BFEF,?________

BCACx20?x,即？----------2015题）（第9

—26060=.所以解得.?CE?2x?x一77

每个人心里都10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是：个人，然后每

并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两想好一个数，报出来的数如个人将他两

旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若•图所示，则报3的人心里想的数

是

【答]2?题)(第ioxr?8.的人心里想的数是5,则报的人心里想的数应是

解：设报3于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是x?4?12?(8?x),

报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是x8??20?(12x)?16(4?x?12?x)?.所

以x??x)?4(84??x??4?x,

x??2.解得三、解答题(共4题，每题20分，共80分)

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2y?⑵?l)x?c(x))(x,y),与动直线,11.已知抛物线有公共点X?#U2222且.？xx?2f?3?mt

的取值范围；(1)求实数

以c的最小值为何值时，.(2)当取到最小值，并求出2"?l)x?(2/?y得二次方

程与解：(1)联立，消去x?/①0??l)x?xc?(2,有

实数根，，则.所以我3?21?1内?》?2口12/222)]?x?(x?xr?[(x?.x)c_

2H22I211222.②==4)/6(3f??3)|[⑵？1)?。??2f.,

22.............5分

把②式代入方程①得

122.③()?〃?6?x4)?(2f?l)x?(3.

2..............10分

t的取值应满足

22220,④X?X/??2f?32l且使方程③有实数根，即

2224)?62(3"???⑵？1)?20,二⑤7??2〃?8二，22〃fWW-3或21,

W??22.—221所以，的取值范围为J

解不等式⑤得.解不等式④得

22行??2.⑥W<22..............15分

13122.

(2)由②式知?f(?l)f?6f?4)?c?(3222222132/?2?2时是递增的,

所以，当WW由于在?2f??l)?行以22222精品文档.

—V

精品文档一L

2H?632h,.............20时分?c?l)???(2,_mi„22243-

a?2009的191192。?的和.满足，且12.已知正整数，求满足条件的所有可能的

正整数3361la?192191?192a,且可得解：

由.2?192?3????3?(a?l)a(a?1?1)?(a?1?aa?1?1)a(a?1).

............5分

??3=63；.?alll?a3a?l)a?l)a(a?3(所以因为所以又因为，是奇数，，等价于

lal?22a?a?192依lla?1192a?3于是可得.因此有等价

于...........15分

aiQ,01,,a?200%?0?的和为.因此，满足条件的所有可能的正整数又，所以

11+192(1+24---1-10)=10571.............20分

ABCADBEABOCCABC7的13.如图，给定锐角三角形，，是它的两条高，过点，

作-丛DEFGDFEdl的大N,,过点，，和分别作.试比较线段的垂线，垂足分别为外

接圆的切线并证明你的结论.

DF2EG.下面给出证明............5解法1：结论是分

EABFCDEAB222FCDRtA,所以因为RtZi.于是可得s。.?'?BEDF

ABCE.同理可得?ADEG?AB10分.........

（第13A题）BEADCE?AD??BECD又因为，所以有，于是可得??/CBtan?CECD

EGWF.............20分

DF2EG.下面给出证明.：结论是2解法...........5分

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I

然伤无??90?/。8??4£8四点共圆，故，连接，，因为，所以，1

ABCTHCED...........分10.13A(第题)lOClACG^ABC.的切

线，所以...........15又分是。的过点、DEFGDFEGACG22CED?.,故，于是所

以，〃=...........20分

〃个正整数满足如下条件：.；142009?a??a?o,a,q，a?l”2⑵5〃的最大值.1个不

同的数的算术平均数都是正整数.求且中任意一m,a,a

7

一—nunbaa,a,a,,数正

整平均数为下的数解：设一1个的算中去掉术后剩

—""2i(a?a??a)?q〃，，Z?1,

.即?6J

,源？1

n,都有W于是，对

于任意的lWj?i；

a?a"?bb,.〃1?〃|从

而............5

分）〃?l（a?aM?a2008i“是正整数，故由于??b?b..

3..........................10分

25112?〃?？？？？？？aaa?1??a?q??q?a?由于

\2n'?\n'!]nrinn??????21）?〃1〃??〃？1???（〃？1,2

I2/7W45.

W2008所以，,于是1）?（〃

I

II3〃W

9.,所以，...........15分结合

25112??na?8?O?1,a?8?1?1,a?8?2?1a?8?7?1,,…，另一方面，令8小。?8?251?1,则这9

个数满足题设要求.刈的最大值为9..........................

综上所述，20分

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中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯"2010年全国初中数

学竞赛试题参考答案“请将正确.其中有且只有一个选项是正确的.5小题，每

小题7分，共35分一、选择题(共不填、多填或错填都得。分)选项的代号填

入题后的括号里，baba?,则.的值为(1.若)10??20,.

c/)?c/>2102111011D)(C)(((A)B)一.

11112121al?210?la?/>20b解：.由题设得???D____

lcllcb??l?l106b

代数式变形，同除haab.2.若实数，(满足，则)的取值范围是0?62?a?M?

_laaaacAW)W或W24((A)(B)D4(C)??2???22解.Ckbb

的一元二次方程因为是实数，所以关于026??"?“?，2Laa解得4W或.2的判

别式20,2)(a?)??4?l??=(a2?,2方程思想，未达定理；要解一元二次不等式

‘'1_|CDBCBCABABCDZ4222432,=3.如图，在四边形中，Z==135°,/,

=120°,,=AD.边的长为()则

・6264))(AB(6?46?22)(D(C)3(第题)D

解：

8。协物垂足分别，，分别作垂直于直线如图，过点，FE,为.由已知可得

DFBEAE氏,==题(3EF6于是.=4+ADGGAGADF.在Rt过点△作_L中，根

据勾股定理得，垂足为血血24)(2??(??(46)?6)622?=.精品文档.

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勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法

?左?次?2?????Alx?N2时，，且当4.在一列数...中，已知，，x,xx??4?x?lx??????

__"⑵垢44????????????呢?0.2?22.60),则表示不超过实数x的最大整

数，例如等于().，(取整符号20.0(A)1(B)2(C)3

(D)4

解：B

?上?次?2?????x?l和可得由？l?4x?x???????_”?M44??????X?1,,,,

4X2?X?3X?M,,,，4XX?3?X?1?X2S657.........

x=2.2010=4X502+2,所以因为25。高斯函数；找规律。

xOyABCDAB(2,,一1,5.如图，在平面直角坐标系1中，等腰梯形)的顶点坐

标分别为(CDyPAPP绕同)绕点，点:旋转).180°得点轴上一点，(01),,一(-

21),2(-1,1“皮羽如叨绕点旋转旋转180°得点180°得点，点点绕点，

sPPPP的,则点，旋转180。得点……，，重复操作依次得到点…，

.)坐标是(,)A()(2010,2)(B)(20102?

0(2012,)(D)(,2)(C)2?Z-(第5题)

PP)2,由已知可以得到，点解:B.,,的坐标分别为(20),(2?2.,a?)(ba?2,b?2P

记.，其中22222根据对称关系，依次可以求得：)baP(47,b(?b)P?a,?2?)4?尸一a(P?4?,

—2b)Qa,.,,,226223242225PPb,?2?a4a)aP(,64?力的坐标为()，)，即令(，同样可以

求得，点⑼02662622P).2010,所以点502+2由于2010=4的坐标为(，2??刈。精品

文档.

精品文档二、填空题*aaaa5.12的值等于一=2—1,则2+76.已

知一0

解：

^aaa,于是，所以=+由已知得(2+1)4=^^aaaaaaaaa.=62—702

-12=212=+43—+3122++在某一时刻，一辆货车和一辆小轿车在一条笔直

的公路上朝同一方向匀速行驶..一辆客车、7小轿车追上了货车；分钟，过了

10客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.tt货

车追上了客车，则.小轿车追上了客车；又过了5分钟，再过=分钟，

15

解：S千米，小轿车、货车、客车的速度分设在某一时刻，货车与客车、小轿车

的距离均为胎，a,b别为分钟追上客车，由题意得（千米/分），并设货车经

??S?a?610①，？？？？57bc??2sxi5或？③.，

②

xl5?10?5f?30?（分）由①②，得.，所以，=30.故S??c30）b

{AOxOyOABCDE,.如怪I,在平面直角坐标系86中，多边形（的顶点坐标分

别是0（0,0处比场刀如完瓦且将多边形）2,,0）.若直线经过点3）6,,（4,4）

（（6,4）,（6（4,/的函数表达式分割成面积相等的两部分，则直线

是.

题（第8

题）（第8111解：+初?？33NCEDFxFOBAFBC轴千点，;连接交，.如图，延长，

且相交于点；连接4跖〃M始劭77把矩形的中点，即点，的中心，所以直线）是由

已知得点（2,3为矩形CDEFABFON2）是矩形的中心，所以，分成面积相等的两

部分.又因为点，（5CDEFN）的直线把矩形5,2分成面积相等的两部分.过点

QIMN于是，直线即为所求的直线.精品文档.

精品文档，?3k+b2?l的函数表达式为设直线，则6?丘?y?,?2左?b5?l?,??左？,

11173/.，故所求直线的函数表达式为解得+?孙?？..11337.6?.

?3?4%困物如例为8分别交为作9.如图，射线，上一点，过点都垂直于线段的

垂线，点AECFCDDCDBNFCCAMBE若，过点=作的垂线，贝！I,,垂

I

AB

I--------------

\/

\/

\✓

、/

足为于点？ADI、'、/r\---------D

1?5解：2.见题图，设〃?尸尸题）（第9248勿反Rt因为△sRt/\.,

所以/08??/尸〃〃22月物CFC,,所以又因为=即=,5）?〃（〃?机0??1（）?

mm1?〃?51〃5?（舍去）.，或解得?？2m2m

1\5151nAEAFAEAECFB即=.A^RtA,,所以又Rt????AFE

22ADmBCFCAD

力而满足所得的余数为的最小值=2,3,…，一，正整数1除以.若10.对

于今.，则正整数的最小值为300()?20()()?”(>,_nn9k,,

3,〃？12的倍数，所以为解：因为满足的最小值。？？左3?〃？1,2,,,

II。?？,，左23,左32,,,

表示其中的最小公倍

数.II????.,,2,3,

9725202,,3,8?840由于

II????,,727720

11,,,,10725203,232,

------1-------------------------1------------►9A3000?n?2000的

正整数的最小值为因此满

足.UI七人。精品文档.

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三、解答题(共4题，每题20分，共80分)

ABCAPBCDPCBE和为等腰三角形,是线段是底边上的一点，上的高，点11.如图，

丛EFEFACDCFABD..和△求证：的外接圆直径，连接分别是△：*4Dtan?_BC

DM

题）（第11

CFFDBEED直径，.因为都是证明：如图，连接和，

所以BCEDBCFD±±,,

FDE.......（,5,分）三县共线.因此力有伤连接，则，

AFD???ABC??ACBAEF??,丁n题）（第Z跖/C所以，△分）s

△........COAEFEFAHHAHPDABC由A.作可得，，垂足为s△，则=/〃跖，

?APBCPDEF,从而？

APBCEFPD分）20所以........（?以。?tan?

BCAP

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精品文档段laEl,已知点相交于点1,12.如图，抛物线的坐标为（（.0）与双

曲线g?ax??y?_x%08原（在第三象限内，且△为坐标的面积为3）4,点

点）kba,）求实数的值；，（1x4。另〃于作直线轴，交抛物线（2）过抛物线上

点、EAOBCEOC.一点的点，求所有满足△的坐标64

k（第12题）在双曲线（1上，，）因为点解：（14?y_x4.

k=故双曲线的函数表达式为所以4?y_x4/瓦胡加x?y?OZ?所在直线的函数表达

式为，，则有设点，（，）_t,?加?〃4?1）44（/??.解得，？机??〃4?__tt,

〃加£???_〃l）?4（f??川8,故于是，直线轴的交点坐标为与0,??/??）?11

（4/??2,,整理得3?RS??10?3f?22t?Ao321Bt2??t.所以点解得.的坐

标为（，），或（舍去）=22??223绻c?or?y以0（因为点）上，，都在抛物线所

2

,4b?a?La???分）.......（10解得??32?22,4a?b????COCACx是（,4）

（2）如图，因为，〃轴，所以于4?CO.6622.又4,所以==22?BOiDxabx^yax

于点轴负半轴相交（0）与，设抛物线?为?.

0的坐标为（），则点12题）（第々2瞅勿6切?9045?.

因为/==/=,所以/?敛7??8。490。/8的中点，，）将^。绕点顺时针旋转（，

得到△.这时，点是2）2?为精品文档.

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点的坐标为（4,）.

加？।延长到点，使得=,这时点（8,）是符合条件的点.

ElEOAOEOAllm^xBOA,得到点(1,)关于；延长轴的对称图形△到点，(ii)

作△胡。为0/34?2222£?8)是符合条件的点.2,=使得，这时点(0A0E2?

22?8).............................(20),或(2,分)所以，点的坐标是(8,及？

的所有素数13.求满足和正整数机??加2P2?p?8

.解：由题设得，2)/n??l)O?4)Q?(2p?j0:4)p(〃z(加??2)夕2)4)(("?加?p....(5

是素数，故分)，由于，或所以％：4)?(〃卬是正整数，于是，(1,)若，

令kp2?mm?4?kp?222,p42)?1)?(〃7?4)(加3"??〃(22?2左？1.

,从而故3?加?4?p,p?5,??所以解得.......(10分)

??加?9"?2?22?1,??：42)??(加是正整数.,令)若，(2切?相?2当时，有，

5p?l)k??p?p(m?42kp?6?kp^p?1)?A(44)(1)?(阳?加?2)30(2?如？，

HI,或故,从而2.

3(a?1)?左?2左？1.

由于，从而是奇数，所以2)?叫以2?1)?(加?4)(加?4?2p?l,?于是？m?2?p,

?这不可能.

2i9?m,无正整数解；当时，当时，，；当，29?/»加?2?63?2相机2?52?即?32,无正整数

解.

2Pm=9.........(20,正整数综上所述，所求素数=5

分)

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14.从1,2,…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取

出的数中任意三个数之和都能被33整除？

ll?3311?2?3311?6O?33(BP1991,…，，)满足题设条解：首先，如下61个数：

[],彳************(5)

a?a??a是从1另一方面，设，2,…，2010中取出的满足题设条件的数，对

1।

于这心n个数中的任意4个数，因为a,,a,aa\士|)?aa?a33(,,)a?a?33(a“由研

所以)”(a?33v因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数........

(10分)

,…，，设，3=1,2M。)33(3。?33/335。??33田，，得由3刈2。33。11。心

11.........(15,分)，即所以M4?a2010?lh.W,61?J?

,3333MW6L

60.故所以，的最大值为61.........(20综上

所述，分)

2011年全国初中数学竞赛试题及答案

一二三总题号分1451—106—121311

评卷

复查

答题时注意：精品文档.

精品文档1.用圆珠笔或钢笔作答；2.解答书写时不要超过装订线；.

3.草稿纸不上交DC,A,B,分一、选择题(共5小题，每小题7分，共35.每

道小题均给出了代号为不请将正确选项的代号填入题后的括号里，的四个选项,

其中有且只有一个选项是正确的.

0分)填、多填或错填都得.•2().

1的值为.设，则代数式12?2?mla?7?l।(D(B)24(O)

(A)-612477?10?必?y,k?kx?y0kk?0?x.在同一直角坐标系中，函数

()的图象大致是()与2

(D)B)(C)(A)(请PAC都是等腰

三角形.P，使/PAB、ZPBC,23、在等边三角形ABC所在的平面内存在点的个

数()指出具有这种性质的点P

15D)(C)10()(Al(B)7

xy^y?x1x?xry?x?,().

4.若，则的值为，且满足，0?》j；911(D)2(O)B

(A)1(.,22

11114s的整数部分等于5,则.设().?????S_________333399123(A)4

(B)5(C)6(D)7

IIIIII

二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)

6.若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是.。

II

2X?4x?/n)?0x?(x2)(有三个根，且这三个根恰好可.若关于的方程7机的取值范围

是

以作为一个三角形的三条边的长，则，,精品文档.

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8.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4；另

一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时

掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是

\yB,,BAA轴的平行线交双曲线两点分别作9.如图，点为直线上的两点，过?

.X22AC2BDC,£>?

（）于，则的值为两点.若。D?4OC0>x.

题）（第9（第io题）/比功跖①。8,且其边长为内接于△的长为10.如图，

在Rt435中，斜边，正方形48C

12,则△的周长为分）题，每题20分，共80三、解答题（共4原血?x?21??36

是常数）的根总ak取什么实数，关于x、b的方程（11.已知：不论、b的值。

是x=l,试求a?式的的一元二次方程的两个整数根恰好比方程12.已知关于

Oax??bx??cxa?0?xc?a?b.,求两个根都大1的值

84x任作直线交抛物13.如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点

44y2叩?.两点，于线QP3=1）求证：NN；（/80/8P的函数解=60,01）,且

Zo,试求所有满足条件的直线的坐标为（）若点（2PQPBQA析式.

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（第13题）

ABCPABCAC2?BAC?60?^S?2,R4?3,PB15PC1.在4,内，，14如图，△中，点且

力比1求△的面积.

题）（第14

考答案2011年全国初中数学竞赛试题参一、选择题

A.2.C.3.C.4.C.5.A.1二、填空题b破4..9.6.107.3

<.W4.86.l）a?（9三、解答题2a

7—4代入原方程并整理得（b+）k=ll.解：把x=10?b?4??0?2a7??取什么实

数均成立，只有）b+4k=7-2a不论k要使等式（7?〃4??b2解之得，

2??????,则方程12的两个根为为整数，且W.解：设方程，其中（）b?x??ax,,力？的

两根为，由题意得O?cx?a?xl??l,????????a?ll?,??a??,????两式相加

得,0?1?2??2??即，32）（?2）（????,

3??2?2??1,??或所以????；3??2?2??1.??精品文档.

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????5?1,,???或解得????3.??1；?????????所以又因为，1）?1）??（）,6?],

c??（[?«??（a?O,b??Lc??2a?8,b?15,c?6,；或者a?b?c??3,或故29.

13.解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.D,CP,Qy

.）0,则点的坐标为（0设点的坐标为（，I也力的坐并设设直线的函数解

析式为，分标0PQ,Pf?y?fcc）声（,由，别为.）x,yW?fcv???2?2,y?x?,3?2z，

得O??xt?kx.3（第13题）23.

,即于是x?x?t?xtx?„”网322222R?x）??xmr（xxt?yBCr,."。3333

于是/>??/>.????

2222ty?BDx22)x(x??xxxxtx?QQPQQPQQQI333PCBCxPC.

又因为，所以,??？BDQDXQD^BCP?BCP因为Ns4,所以

△N,BDQ2BDQ790.

=z故/ABQ4BPbaPC?a2）可知（2）设＞0,由（，不妨设，IbDQ?

BC，，/=/=,=?ABQ?30BDABPba33AC.

,=所以=AD23a?b223ACPPC.〃，所以△因为。

ACPC2a3a?，于是，即?？bADDQb?23精品文档.

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.所以33333）中，即，所以由（1??6,lab,a???abxx??t_______82222

—于是可求得3.b?a?2二=3123“

）代入将的坐标（，得到点，？60盯？2232三3,求得再将点的坐标代入

^k.Q\kx?y^3.的函数解析式为所以直线PQ1???孙3«\33的函数解析式

为根据对称性知，所求直线，或.尸0?抄?x?l?x?l33/80,使得.解：如图，

作AM

ACP.ABQ则ACR4BQ??QAB??R4C,??AC2AB?2.由于，所以相似比

为于是丁.4,BQ?2CP?4Q?24P?2314题）（第.

???BAC?6Q??QAB?BAm?以C??BAP?QAP?L由知，.，于是

3AP?3PQ??9SAPQAQ:AP?2:l?*iPQBQBP??25?，从而.所以？9O?80P?于是222.

3?28）?/8PQ?8?（4P?8Q、37136??.故%8/8?/Csin?S60??

ABC?22S

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）

得分

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评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答；

2.解答书写时不要超过装订线；

3.草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,

C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入

题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)«

在数轴上的位置如图所示，，那么代数式如果实数1(甲).，可以化简为

(),£

(第1(甲)题)

£

£

£

£

r

/\

XI7

caabaa、--------1--------1-----一2C

(B)2D(A>TII1(乙).如

果，那么的值为().I一

2(D)(B))(C)(Ayaxay6WO)的图象有(=2(甲).如果正比例

函数W0)与反比例函数=(两个交点，其中一个交点的坐标为(-3,—2),

那么另一个交点的坐标为().

(A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(3,2)

”灯x灯y)+中，满足不等式2+,W2在平面直角坐标系2(乙).的整数点坐

标().的个数为(5

79)(C)(D)BIOA()(//这四个数据

(甲).如果3为给定的实数，且，那么的平均数与中位数之差的绝对值是().

(A)1(B)(C)(D)

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精品文档II

ABCACBDABCD是等边三角形.,3(乙).如图，四边形，中，是对角线，XADBD

b0

切的长为，则，=5=3().

(第3(乙)题)

)(D))4(C4.5

(A()B4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小

玲说：“你若给切元，我的钱数将是你的2倍”；小玲对小倩说：“你若给我2

我元，我的钱数将是你的“的可能值的个数是()•倍”，其中为正整数，则

(A)1(B)2(C)3(D)4

x是正整数)的正根小于3的方程，(乙).如果关于4那么这样).的方程

的个数是(8

)6)(C)7(D(A)5(B,掷两，34,5,65(甲).一枚质地均匀的正方

体骰子的六个面上的数字分别是1,2,的概率为1,2,34次骰子，设其朝上的

面上的两个数字之和除以的余数分别是0,,

则).中最大的是(()DC(A)(B)()

(乙).黑板上写有共5100个数字.每次操作先从黑板上的数中选

,并在黑板上写上数，然后删去，则经过99次操作后，黑板上取2个数

剩下的数是().

(A)2012(B)101(C)100(D)99

二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)

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，到''结果是否''输入一个值〉487?”6(甲).按如图的程序进行操作，规定：

程序运行从x的取值范围是.

Z--JU

D

如果操作进行四次才停止，那么为一次操作./

(第6(甲)题)ZXI/,

cab,.如果，那么，是正数，且满足，6(乙)/V的值为..

EFABBCABCDAFDE,分别是(甲).如图，正方形7的中点，的边长为，2,与，DBMNDMN

的面积是,

分别交于点，则^,•

2、行

.X--px-q=0(p,

Ro

，#1，PT巧

4o

，PvPTP3

po

plh

.

r^

（第7（甲）题）（第7（乙）题）

且•为对角线作矩形，是上一点.，（乙）7.的半径为如图，20以的值等于分

别交于，与两点，则.延长22比那么，=—30,8（甲）.如果关于的

方程++的两个实数根分别为+的值为.

〃能被8（乙）.设为整数，且W若5整除，则所有的个1W2012.

数为加位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有位八年级同学

和9（甲）.2参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负

者得0分；平局各得1分.

加的值130比赛结束后，所有同学的得分总和为分，而且平局数不超过比赛局数

的一半，则为.

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精品文档必1।—>

zyx那么称是三角形数.如果正数可以是一个三角形的三边长，，若，9

u

（乙）.a+h+e：-----------jcba,则均为三角形数，且的取值范围是W.

&和..ABCDOABADDCBACD,交分别延长（甲）.如图，四边形10=内接于。，，.

是直径，EBFEC,并与，.作点为aE"/徽"的长为，则，的延长线交于点.

---+----+----

b+cc+aa+b

国

.若=6=

（第10（甲）题）"1J

使得100成.若有唯一的正整数对（乙）.已知10是偶数，且1WW的个

数为.立，则这样的,分）4题，每题20分，共80三、解答题（共

/Vc//%关于时，恒有11，当（甲）.已知

\

二次函数108）。的两个实数根的倒数和小于.求的取值

口，

范围.的方程n,D：

ABCACxOyAOAB=.=,sin如图，在平面直角坐标系11（乙）.N中，=8,

三点的图象是一条抛物线，求这条抛轴交于点已知经过，且=.,,