2021年中考数学分类突破26 四边形中的线段长度问题(解析版)

专题26四边形中的线段长度问题

1、如图，平行四边形A8CZ）的对角线AC与8。相交于点O,ZBAC=90°,AC=6,BD=8,则CD的长

为（）

解：•.•QABCO的对角线AC与8c相交于点。，

.•.80=。。，A0=C0,AB=CD,

'：ZBAC=90°,AC=6,80=8,

：.BO=4,0A=3,

AB=VOB2-OA2=V16-9=V7-

1'"CD="'/7.

故选：A.

2、如图，E、尸分别是正方形ABC。边A£＞、3c上的两定点，M是线段EF上的一点，过M的直线与正方

形ABC。的边交于点P和点H,且PH=EF,则满足条件的直线PH最多有（）条.

A.1B.2C.3D.4

证明：如图1,过8作8G〃EF,过C作CQ〃PH,

•.•四边形A8CD是正方形，

C.AD//BC,AH//CD,NA=NC8Q=90°,

GE

D

。卜/j」

BFC

图1

・・.四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形,

：.EF=BGfPH=CQ,

,:PH=EF,

:.BG=CQ,

■:AB=BC,

.'.RtABCQ(HL),

J/ABG=/BCQ,

・•・/ABG+NCBG=NC8G+N8CQ=90。，

・・・CQ_LBG,

:.PHLEF,

所以图1中过M与所垂直满足条件有一条，

图2

如图2,还有两条：PM,P2H2,

故选：C.

3、如图，在矩形A5CQ中对角线AC与3。相交于点0,CELBD,垂足为点E,CE=5,且E0=2DE,则

AD的长为.

B

解：•.•四边形48CD是矩形，

ZADC=90°,BD=AC9OD吾BD,OC=/AC,

，OC=OD,

•；E0=2DE,

设DE=xf0E=2x,

：.OD=OC=3X9AC=6X,

•:CELBD,

：.ZDEC=ZOEC=90°f

在RsOCE中，

■:OP+C瑶=OC2,

・工(2x)2+52=(3x)2,

Vx>0,

,,DE=yJ"^,

•••CD=VDE2-K：E2=V(V5)2+52=V30-

•,MD=VAC2-CD2=7(W5)2-(V30)2=5通,

故答案为：576.

4、如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作。E〃AC,且。氏AC=1：2,连接CE、

OE,连接AE交OD于点E

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形A8CO的边长为2,NABC=60。，求AE的长.

(1)证明：在菱形A8CO中，OC=/AC.

,:DE：AC=\：2,

：.DE=OC,

\'DE//AC,

...四边形OCED是平行四边形.

•；ACLBD,

平行四边形OCEC是矩形.

：.OE=CD.

(2)解：在菱形A8CO中，NA8C=60。，

：.AC=AB^2.

二在矩形OCEC中，

22=22

CE=^=VAD-AO72-I=«•

在Rs4CE中，

A£=VAC24CE2=V22+(V3)2=V7.

5、四边形A8CO是平行四边形，NA=/B.

(1)求证：0ABe。是矩形；

(2)若求/ACB的度数；

(3)在(2)的条件下，点E,尸分别在A8,AQ上，且CE=b,/ECF=30。，AC=4,求2AE-FC

；四边形ABCD是平行四边形,

J.AD//BC,

：./A+/B=I8O°,

•/ZA=ZB,

/.ZA=ZB=90°,

二四边形A8c。是矩形;

图2_

在RtZkACB中，tan/ACB=^=返

BC3

・・・ZAC8=30°；

(3)解：如图3中，作FHLAC于从

•/ZACB=ZECF=30°,

：.ZBCE=ZFCHf

,:CE=CF,NB=NFHC=9U。,

:./XBCE@AHCF,

:.BE=FH,

在RSAFT/中，VZM//=30°,

：.FH=^AF,

：.AE-^AF^AE+FH=AE+BE=AB,

在RtZiACB中，VZACB=30°,

.,.AB--^AC=2,

：.AE-^AF=2,

：.2AE+AF=49

：.AF=4-2AEf

：.DF=AD-AF=2y/3-(4-2AE),

：.2AE-FD=4-

一，5

6、如图所不，四边形48co为平行四边形，AD=\3,AB=25,NDAB=a,且cosa=7jw，点E为直线CD

上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转a得到线段EF,连接CF.

(1)求平行四边形ABC。的面积；

(2)当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G,求线段8G的长；

(3)求线段CF的长度的最小值.

图1

•.•将线段EA绕点E逆时针旋转a得到线段EF,

:./AEF=a,AE=EF,

在RtAD4K中，

cosZDAK—cosa="^=^',且A〃=I3,

：.AK=5,

D^=VAD2-AK2=V132-52=12，

••S平行四边形48co=48x/)K=25x12=300：

(2)如图2,延长CD至兄作NA”O=a,

丁

ZAHD=ZADH=af

.\AH=AD=13,

过点A作AM，。”于点M,

由(1)知AM=12,

•■•DM=VAD2-AM2=5'

：.DH=10,

"：NFEH=ZDEA+Za=ZF+a,

：.NDEA=NF,

在△4石〃和4EFC中,

'NAEH=/F

,ZH=ZC,

AE=EF

/./XAEH^^EFC(A4S),

：.EH=CF,CE=AH=\3,

:.DE=CD-CE=12,BF=CF-BC=22-13=9,

\'BG//CE,

：.4FBGs丛FCE,

.BFBG

(3)如图3,延长CO至尸，使NP=NA。尸=a,过点尸作根〃BC,交CO于点M,过点FN，C£>,

交8于点N,

图3

由(2)可知/AEP=NEFM,

在4丛2和^FE历中.

，ZP=ZFME

<ZAEP=ZEFM.

AE=EF

:.△EAP9XFEM(AAS),

：.EM=AP=\3,FM=EP,

设OE=x,则FM=EP=10+x,CM=25-(13+x)=12-x,

：(10+x),R

.FN=FM>sma=-^MN=FM*cosa=-77-(10+x)

xo13

x+•誉(10+x)=206-8x

：.CN=CM+MN=\2

13

19

在RsCFN中，CF2=C^+NF2=(-y)(208A--416x+56836),

Xo

am川b-416

对称轴片-^=/丽I,

.•.当x=l时，C尸的值最小，C尸的最小值为黑亘•.

xo

7、如图，已知QA8CD,E是C4延长线上一点，且NEAB=90。，AB=AE,点F是BC下方一点,且尸E=

FD,/EF£>=90°,

(1)求证：NFEA=/FDC；

(2)若AF=3,求AC的长.

BC

(1)证明：设AC与。尸交于点0,如图1所示:

'：ZEAB=90°f

AZBAC=90°,

V四边形ABCD是平行四边形，

:・AB=CD,AB//CD,

：.ZACD=ZBAC=90°f

：.ZFDC+ZCOD=90°9

u

：ZEFD=90°f

：.ZFEA+ZFOE=90°,

又丁ZFOE=ZCOD,

：.ZFEA=ZFDC；

(2)解：连接CR如图2所示：

9

：AB=AEfAB=CD,

:.AE=CD,

'AE=CD

在AAEF和AC。尸中，ZFEA=ZFDC，

FE=FD

:.XAEFQ丛CDF(SAS),

:.AF=CF,/AFE=/CFD,

：.ZAFC=ZEFD=90°t

•••△ACF是等腰直角三角形，

・:AC=^^/4尸=

图2

8、已知在四边形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2,AB=4,BC=6.

(1)如图1,P为48边上一点，以PD,PC为边作平行四边形PCQD,过点。作QHJ_8C,交8c的

延长线于H.求证：&ADP妾△HCQ；

(2)若P为48边上任意一点，延长PD到E,DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE.请

问对角线尸Q的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.

(3)如图2,若P为。C边上任意一点，延长PA到E,使AE=〃PA(〃为常数)，以PE,PB为边作

平行四边形P8QE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在,

请说明理由.

解：(1)'：AD//BC,

：.NADC=NDCH,

：.4ADP+/PDC=ZDCQ+ZQCH,

,：四边形PCQD是平行四边形，

：.PD//CQ,PD=CQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：.NADP=NQCH,

在△和AHCQ中，

，ZA=ZH

<ZADP=ZHCQ.

PD=QC

/△HC。(A45)；

(2)存在最小值，最小值为10,

如图1,作交BC的延长线于H,设尸Q与。C相交于点G,

'：PE//CQ,

JtXDPGsXCQG,

,DG=PD=1

"GC~CQ~~2f

由(1)可知，ZADP=ZQCH,

；.RSAOPsRsQCH,

.AD_PD_1

•"CH~CQ~~2'

：.CH=2AD=4,

：.BH=BC+CH=(>+4=10,

.*.当PQ_LAB时,PQ的长最小,即为10；

(3)存在最小值，最小值为(n+4),

如图2,作Q”〃OC,交C8的延长线于从作CK_LC£>,交。，的延长线于K,

"JPE//BQ,AE^nPA,

.AG_PA_1

•♦西一西—Q，

'JAD//BC,

：.ZADP+ZDCH=90°,

'：CD//QK,

：.ZQHC+ZDCH=\SO0,

：.ZQHC=ZADQ,

'：NPAD+NPAG=NQBH+NQBG=90。,NPAG=NQBG,

：.^PAD=ZQBH,

:.△ADPsABHQ,

.AD_PA_1

••丽一的一启，

/.BH=2〃+2,

・・・C”=BC+B”=6+2〃+2=2〃+8,

过点。作。M_L8c于M,又ND48=NA8M=90。，

・・・四边形A8例。是矩形，

：.BM=AD=2,DM=AB=4,

；・MC=BC-BM=6-2=4=DM,

：.ZDCM=45°f

・・・N"CK=45。，

；.CK=CH・cos450=返(2”+8)=近(n+4),

2

...当PQLCO时，PQ的长最小，最小值为&(n+4).

9、如图①，正方形ABC。的边长为2,点P是正方形ABC。内一点，连结PA,PB,PD,△PAB为等边三

角形.

(1)求点P到边AO,AB的距离之和；

AF

(2)如图②，连结8。交尸4于点E,求△的面积以及黑的值.

①②

解：(1)如图①，过P作于M,PN1AB于N,

:四边形A8c。是正方形,

...ND4B=90°,

NPMA=NDAB=NPNB=90。,

四边形ANPM是矩形，

：.PM=AN,AM=PN,

•••△A5P是等边三角形，

：.AN=^AB^\,PN=M，

:.PM=AN=1,

:.PM+PN=M+1,

即点P到边A。，AB的距离之和为标1：

(2)SAPBD=S四边形ABPD-SAABD=~AD(PM+PN)-•^AZ)XB=/x2x(1+5/3)-yx2x2=V3-1：

如图②，过P作PGLBO于G,过A作AHLBO于”，

：.ZPGE^ZAHE=90°,

,:NPEG=NAEH,

：./\PGE^^AHE,

,AE_AH

,*PEPG'

BD，AH

..SAABD_~2_AH_2&

S/kPBD1BD.PGPG愿-l'

••♦罂=«+L

1c

10、已知：如图①，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=8,48=10,点P,E,尸分别是A8,AC,BC上

的动点，且AP=2CE=2BF,连结PE,PF,以PE,PF为邻边作平行四边形PFQE.

(1)当点P是A8的中点时，试求线段尸尸的长.

(2)在运动过程中，设CE=〃?，若平行四边形PF0E的面积恰好被线段8C或射线AC分成1：3的两

部分，试求成的值.

(3)如图②，设直找FQ与直线AC交于点N,在运动过程中，以点Q,N,E为顶点的三角形能否构成

直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由.

解：(1)如图①，作于点H,

图①

VZACB=90°,BC=8,AB=IO,

.".AC=6.

"：AP=2CE=2BF,

:点P是A8的中点,

；.PA=P8=5.

5

:.CE=BF=WPH=3,BH=CH=4,

2

PF=VPH2+FH2=^^

(2)如图②，平行四边形PF0E的面积恰好被线段BC分成1：3的两部分时，则

Q

图②

:PHLBC,

:.NPHF=90°=NACB，

：.PH//AC,

/.△CEM^AZ/PF,4PBHsAABC,

puPH

；.PH=2CE=2m,要=端.

ACAB

.2m10-2m

610

・15

••加=一7T.

8

如图③，平行四边形力边£的面积恰好被线段AC分成1：3的两部分时，则尸O=QO,QN*PG,

图③

：.CF=^=-PG.

2

,PG=AP

'*BC-AB'

.16-2m2m

8

...n?=-470—.

9

•••，”的值为1令5或卷40.

oy

（3）如图④，当/QNE=90。时，则点N与点C重合，设CE=x,

,:△PBHsMBC,

,PH=PB

^AC-AB

.x_10-2x

•石=10

._30

*五

如图⑤，当NQNE=90。时，则点P与点8重合,

.\x=5.

如图⑥，当/QNE=90。时,

图⑥

■:AFPRS^PES,

,PS_FR

*'ES-RP'

2x-1'(6-x)■|-x

=I'

E(6-X)10^T-X-2X

Db

._83±V769

•*X-1-*

34

经检验，x值符合题意.

综上，CE的长为因超迤或5或普.

11、已知菱形A8C。中，AB=4,NBAZ）=120。，点P是直线AB上任意一点，连接PC,在NPC。内部作

射线C。与对角线8。交于点Q（与8、。不重合），且NPCQ=30。.

（1）如图，当点P在边AB上，且BP=3时，求PC的长；

（2）当点P在射线8A上，且3P="（0<n<8）时，求QC的长；（用含〃的式子表示）

（3）连接P。，直线PQ与直线BC相交于点E,如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长.

备用图

解：（1）如图1中，作8c于H.

D

图1

•・,四边形ABC。是菱形,

・・・AB=BC=4,AD//BC,

：.NA+NA8C=180。,

VNA=120。,

：.ZPBH=60°f

•:PB=3,/PHB=90。,

：.BH=PB«cos60°,PH=PB«sin60°=刍区,

22

3R

:.CH=BC-BH=4-

22

PC=7PH2KH2=，2+6)2=V13,

(2)如图1中，作8c于，，连接P0,设PC交8。于O.

;四边形A88是菱形，

NABD=NCBD=3Q0,

"：ZPCQ=30°,

:.NPBO=NQCO,

；NPOB=NQOC,

:.丛POBs丛QOC,

.PQBQ

,质F，

.OPQO

"BO=CD)

■:/尸0。=ZBOC,

.•.△POQS2XBOC,

ZOPQ^ZOBC=30°=ZPCQ,

:.PQ=QC,

•••PC=«QC，

在RSPHB中，BP=n,

1Vs

：.BH=-=-n,PH="联,

22

'JPC^^Ptf+CH1,

3QC2=C^-n')2+(4-a”)2,

QC=J3R2-.1ZR+蝮,(0<n<8).

3

(3)①如图2中，若直线QP交直线8c于B点左侧的点艮

此时/CQE=120。，

,：ZPBC=60°,

.•.△PBC中，不存在角与NCQE相等,

此时△QCE与小BCP不可能相似.

②如图3中，若直线QP交直线BC于点C右侧的点E.

则NCQE=ZB=QBC+ZQCP=60°^ZCBP,

•:NPCB>/E,

/.只可能NBCP=NQCE=75°,

作C尸_LA8于F,则BF=2,CF=2«,ZPCF=45°,

:.PF=CF=2。

此时BP=2+2«,

③如图4中，当点P在A8的延长线上时，

图4

VACBE与4C8P相似，

.../CQE=NCBP=120。，

.'.ZQCE=ZCBP=i5°,

作CFLAB于F.

,/NFCB=30。，

/.ZFCB=45°,

：.BF=^BC=2,CF=PF=2瓜