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文档简介
辅助线专题练习
1.如图,已知在△A8C中,CD是48边上的高线,BE平分N4BC,交C。于点E,BC=
10,DE=4,则△8CE的面积等于()
B.20C.28D.40
2.如图,△48C内有一点。,/£>平分NCZ8,CDJ_/O于点。,连接。8,若的面
积为3CV»2,则△/BC的面积为()
A.5cmB.6cm2C.7cm2D.8cm2
3.如图,点尸是/8/C平分线上的一点,AC=9,AB=5,尸8=3,则PC的长不可能
A.4B.5C.6D.7
4.如图.四边形48。中,AD//BC,BC=3,AB=5,AD=6.若点例是线段8。的中点,
则CM的长为()
AD
35
-2c-a3
A.2B.2
,5.已知△ABC是等边三角形,点P在N8上,过点P作尸C,垂足为。,延长8c至
点。,使CQ=ZP,连接P0交ZC于点£,如图所示.如果等边三角形/8C的边长为4,
那么线段。E的长为()
A.1B.2C.1.8D.2.5
6.如图,△Z8C中,为中线,ADLAC,NBAD=30°,AB=3,则4c长()
7.如图,N8=/C=90°,〃为是8c的中点,4M平分NB4D,且/C£)A/=55°,则/
8.如图,2。是△Z8C的角平分线,DEL4B于E,点、F,G分别在边AC±,且。尸
=DG,ZX/lDG与△ZDF的面积分别是14和4,则的面积是()
9.如图,△X8C中,N/8C=90°,点/为△/8C各内角平分线的交点,过/点作NC的
垂线,垂足为H,若EC=6,/B=8,AC=10,那么的值为()
B.3C.4D.5
10.如图,在△408和△COD中,O/=08,OC=OD,OA<OC,N4OB=NCOD=36°.连
接ZC,8。交于点连接OM.下列结论,其中错误的是()
平分D.平分/ZOD
11.已知:如图,N3/C的平分线与BC的垂直平分线相交于点尸,PELAB,PFLAC,
垂足分别为E、F.若/8=8,AC=4,!)lljAE=
12.如图,把△Z8C放置在平面直角坐标系中,已知/8=8C,ZABC=90°,A(3,0),
B(0,-1),点C在第四象限,则点C的坐标是.
/同侧有三个正方形4B,C,若4C的面积分别为9
和4,则阴影部分的总面积为
B
14.如图,已知/8=8C=4。,4DLBC于点E,ACLCD,若C£>=之,则△/(?£)的面积
15.如图,已知/。是△/BC的中线,E是NC上的一点,8£1交4)于F,AC=BF,ADAC
=24°,NEBC=32°,则NNC8=
16.如图,已知乙408=60°,点P在04上,0P=8,点/、N在边。8上,PM=PN,
若MN=2,则OM=
17.如图,△IB。是等边三角形,延长BC到点E,使CE=48C,若。是/C的中点,连
接并延长交于点尸.
(1)若/尸=3,求的长;
(2)证明:DE=2DF.
18.如图,在等边△/BC中,已知点E在直线上(不与点N、8重合),点。在直线
8c上,且EO=EC.
(1)若点E为线段48的中点时,试说明的理由;
(2)若△/8C的边长为2,AE=1,求CD的长.
备用图
19.已知4(-10,0),以。1为边在第二象限作等边△力08.
(1)求点8的横坐标;
(2)如下图,点M,N分别为。小OB边上的动点,以MN为边在x轴上方作等边△
MNE,连结OE,当NE"O=45°时,求的度数.
20.如图所示,已知△/8C中,AB=AC,NDBC=ND=60:/E平分NB4C,若BD=
8cw,DE=3cm,求BC的长.
21.如图,AB=BD,AE=EB,NACB=NABC,证明:CD=2CE.
辅助线专题练习(答案)
1.如图,已知在AIBC中,CO是边上的高线,BE平分NABC,交CD于点E,BC=
10,DE=4,则△8CE的面积等于()
A
A.16B.20C.28D.40
【解答】解:过E作于
A
B~~i~c
CDLAB,EMLBC,BE平分N4BC,DE=4,
:・EM=DE=4,
V5C=10,
・・.4BCE的面积是-xBCxEM
2
=1x10x4
=20,
故选:B.
2.如图,内有一点O,4。平分NC4&。。_1_4。于点。,连接。8,若△力。8的面
积为3加2,则△/8C的面积为()
A-5cm'B.6cm2C.1cm4D.8cm
【解答】解:延长8交ZB于E,
••I。平分NC48,CDLAD于点、D,
:.ZCAD=ZEADfZADC=ZADE=90°,
在△4DC与△力。E中,
/.CAD=/.EAD
AD=AD
Z-ADC=Z.ADE
./XADC^/XADECASA),
・♦CD=DE,
:♦SAACD=SMDE,SABCD=S&BDE,
:*S沙BC=2S^ADB,
△4D8的面积为3C/«2,
△/8C的面积为6cm1,
故选:B.
3.如图,点尸是N8/C平分线上的一点,AC=9,AB=5,尸5=3,则PC的长不可能
A.4B.5C.6D.7
【解答】解:在/C上截取4E=/8=5,连接PE,
•.1C=9,
:.CE=AC-AE=9-5=4,
;点尸是NA4c平分线ZZ)上的一点,
:.ZCAD=ZBAD,
在和△NPB中,
AE=AB
乙CAP=乙BAD,
AP=AP
:.l\APE^l\APB(&4S),
:.PE=PB=3,
V4-3<PC<4+3,
解得1VpeV7,
・,・PC不可能为7,
故选:D.
4.如图.四边形48CD中,AD//BC,BC=3,AB=5,AD=6.若点用是线段8。的中点,
则CW的长为()
5
C.一D.3
2
【解答】解:延长CM交4。于N,如图所示:
•・•点M是线段8。的中点,
:・BM=DM,
YAD〃BC,
:./CBM=/NDM,ZBCM=ZDNMf
在△3CW和△QMW中,
2cBM=乙NDM
乙BCM=LDNM,
BM=DM
:・4BCMm/\DNM(AAS),
1
:.NM=CM=DN=BC=3,
:.AN=AD-DN=6-3=3,
:.AN=BC,
*:AD〃BC,
.・・四边形ABCN是平行四边形,
:・CN=AB=5,
・・・CM=|,
故选:C.
AD
-------V
5.已知△48C是等边三角形,点尸在月8上,过点尸作垂足为。,延长2c至
点。,使CQRP,连接PQ交/C于点区如图所示.如果等边三角形/8C的边长为4,
那么线段。E的长为()
A.1B.2C.1.8D.2.5
【解答】解:如图,过点P作P尸〃8C,交NC于点尸,
则/EP尸=NQ,ZAPF=ZABC
•.,△48C是等边三角形,
:.ZABC=ZACB=60°,
;.N4PF=N4FP=60°,
.♦.△/PF也是等边三角形,而C0=/P
:.PF=AP=CQ,
又,:NPEF=NQEC,
:.l\PEF^/\QEC,
:.EF=EC,
•.•PD_L4c于。,△ZP/7是等边三角形,
:.AD=DF,
:.AD+EC=DF+EF=DE=^AF+^CF=1(AF+CF)=1/1C,
:.DE=^AC=2.
故选:B.
A
/\D
E
BcO
6.如图,△45。中,40为中线,ADLAC,NBAD=30°,AB=3,则4c长()
D.1.5
:.BD=CD,
在△48。与△EC。中,
(AD=ED
</LADB=乙EDC,
[BD=CD
:./\ABD^/\ECD(SAS),
:./BAD=/CED,AB=EC,
•:NBAD=30°,
:.ZCED=30°,
*:AD.LAC,
:.ZCAD=90°,
:.AC=^EC,
:,AB=EC,
13
'.AC=[48=2'
即AC=\.5,
故选:D.
7.如图,ZB=ZC=90°,M为是8c的中点,AM平分/BAD,且/CDW=55°,则/
的度数是()
DC
J
A.35°B.45°C.55°D.65°
【解答】解:过M作于M
则N/NZ=NMN£>=90°,
VZB=90°,
平分N84),
:.MN=MB,
•;M为是8C的中点,
:.MB=MC,
:.MN=MC,
在RtAMND和RtAMCD中,
(MD=MD
iMN=MC'
ARtAMND^RtAMCD(HL),
:・4NDM=/CDM=5寸,
AZCDA=ZNDM+ZCDM=110°,
VZ5=ZC=90°,
・・・N8+NC=180°,
:.CD〃AB,
:.ZBAD^-ZCDA=\S0°,
AZBAD=\S0°-ZCDJ=180°-110°=70°,
•・ZM平分N84),
1
AZBAM=^ZBAD=35°,
AZAMB=900-ZBAM=90°-35°=55°,
故选:C.
8.如图,4。是△48C的角平分线,DEL4B于E,点RG分别在边Z3,AC±f且。/
=DG,△力。G与尸的面积分别是14和4,则△。所的面积是()
A
B
A.10B.6C.5D.4
【解答】解:如图,过点。作。〃J_4C于H,
・・・4D是△43。的角平分线,DEL4B,
:・DE=DH,
在Rt/XDEF和Rt/XDHG中,
(DE=DH
IDF=DG'
:・RtADEFgRt/\DHG(HL),
:・S4EDF=S4HGD,
同理RtAADE咨RtAADH,
♦・SAADE=SAADH,
,//XADG与/\ADF的面积分别是14和4,
14-4
/•S&DEF=_2-=5,
故选:C.
9.如图,△ZBC中,NZ5C=90°,点/为△Z8C各内角平分线的交点,过/点作ZC的
垂线,垂足为H,若8C=6,AB=8,AC=10,那么出的值为()
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:连接"、IB、IC,过/作于M,IN1BC于N,
A,
[虫C
N
・・•点/为△45。各内角平分线的交点,IML4B,IN工BC,IHLAC,
:・IH=IM=IN,
•・・AB=8,BC=6,ZABC=90°,
11
・・SA/BC=2xABxBC=1x8x6=24,
,•*s5BC=sMI且S△BIdsMIC,
111
A24=^xABxIM+^xBCXIN^-^xACxIH,
•・Z8=8,BC=6,4c=10,IH=IM=IN,
ill
A24=x8x/H+x6x/H+x10x/H,
・•・"/=2,
故选:A.
10.如图,在△408和△C。。中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,NAOB/COD=36°.连
接4C,BD交于点M,连接OM.下列结论,其中错误的是()
A.AC=BDB.ZAMB=36°C.MO平分NZMDD.OAf平分
【解答】解:・・・N4O8=NCOO=36°,
・・・NAOC=/BOD,
在△4OC和△80。中,
OA=OB
Z.AOC=乙BOD,
OC=OD
:./\AOC^/\BOD(SAS),
:・AC=BD,/OAC=/OBD,
故4选项不符合题意;
・・・NO/8+NZ8O=180°-36°=144°,
AZMAB+ZABM=\44°,
AZAMB=180°-144°=36°,
故8选项不符合题意;
过点。作。G_L/C于点G,过点。作于点”,如图所示:
:・S^AOC=SABOD,
11
即一AC-0G=-BD-OH,
22
:AC=BD,
:.OH=OG,
在RtAOHAf和RtZXOGM中,
(OG=OH
lOM=OM'
:.Rt^OHM^Rt/XOGM(HL),
:.ZOMG=ZOMH,
即OM平分乙4皿,
故C选项不符合题意;
假设0M平分//QD,
则NAOM=Z.DOM,
•.•。用平分/4WZ),
/AM0=NDM0,
,:OM=OM,
:./\AMO^/\DMO(ASA),
:.AO=DO,
':OD=OC,AO<OC,
:.AO<DO,
;♦假设不成立,
二。加不平分乙40。,
故。选项符合题意,
故选:D.
11.已知:如图,N84C的平分线与8c的垂直平分线相交于点P,PEYAB,PFLAC,垂
足分别为E、F.若N8=8,4C=4,则NE=6.
【解答】解:连接P8,PC,
・・•点尸在BC的垂直平分线上,
:・PB=PC,
「力。平分N5ZC,PE上AB,PFUC,
:・PE=PF,NPEB=NPFC=90°,
・・・ZAPE=NAPF,
;.AE=AF,
在RtAPBE和RtAPCF中,
(PB=PC
IPE=PF'
••.RtAPBEgRtAPCF(HL),
:・BE=CF,
•:AB=AE+BE,AF=AC+CF,
:.AB=AC+CF+BE.
,.・4B=8,AC=4f
:.BE=CF=2,
:.AE=AC+CF=6.
12.如图,把△45C放置在平面直角坐标系中,已知ZABC=90°,A(3,0),
B(0,7),点。在第四象限,则点。的坐标是(1,-4)
【解答】解:过点C作C£)Lv轴于点3,如图所示.
VZ/1SC=90°,ZAOB=90°,
:.ZOAB+ZOBA=90°,ZOBA+ZDBC=90°,
:.NOAB=NDBC.
/.AOB=乙BDC=90°
在△0/8和△D8C中,1/.OAB=乙DBC,
AB=BC
:./\OAB^^DBC(AAS),
:.BD=AO,DC=OB.
':A(3,0),B(0,-1),
:.BD=AO=3,DC=OB=],OD=OB+BD=4,
...点C的坐标为(1,-4).
13.如图,在同一平面内,直线/同侧有三个正方形/,B,C,若4C的面积分别为9和
4,则阴影部分的总面积为6.
【解答】解:如图,作乙用_L所交所的延长线于点M,交〃的延长线于点N,
•.•四边形AB、C都是正方形,且正方形4C的面积分别为9、4,
/.ZEKI=ZEDR-ZIHG=90°,DE2=9,HI2=4,
:.DE=3,HI=2,
VZEDK=ZKHI=180°-90°=90°,
J/DKE=900-ZKHI=ZHIKf
在△EDK和△K/〃中,
(Z.EDK=乙KHI
△OKE=乙HIK,
\EK=KI
・•・△EDK名△KHI(AAS),
:.DK=HI=2,DE=HK=3,
:♦SAEDK=S£\KH『2x3X2=3;
VZDEF=ZHIJ=90°,
ZDEM=lS0°-ZDEF=90°,NHIN=1800-NHIJ=90°,
VZKEL=ZKIL=90°,
:・/MEL=NDEK=90°-ZKEM,ZNIL=ZHIK=90°-/KIN,
,:EFh,UHI,
C.EF//IJ,
:・/EML=NEMN=NN=90°,
在〃和△EOK中,
2MIL=乙DEK
乙EML=乙EDK,
EL=EK
:.4EMLmAEDK(AAS),
:・EM=ED=EF,
S&EFL=S^EML=SAEDK=3;
在△LN/和△K〃/中,
NNIL=Z.H1K
乙N=Z.KHl,
IL=IK
:•△LNI经4KHICAAS),
9:IN=IE=IJ,
:♦S/\LJI=S>LNI=SAKHI=3,
S^EFL+SAUI=3+3=6,
,阴影部分的总面积为6.
L
14.如图,已知AD工BC于点、E,AC±CD,若CO=|,则△48的面积为
25
AZACD=ZAEC=90Q,
:•ND+NDCE=NDCE+/ACE=90°,
・・・/D=/ACB,
■:AB=BC,
・・・NBAH=/BCA,
:.ND=NBAC,
过8作BHLAC于H,
:・NAHB=90°,AH=1^C,
在△48〃与△QZC中,
(^AHB=Z.DCA=90°
\z-BAH=Z.D,
VAB=AD
:./\ABH^/\DACCAAS),
:.BH=AC,AH=CD,
:.AC=2CD=^-f
*,*/\ACD的面积=2AC9CD=2xx=
故答案为:
9
D
15.如图,已知40是△45C的中线,E是4C上的一点,BE交AD于F,AC=BF,NDAC
=24°,ZEBC=32°,则NZC8=100°.
【解答】解:如图,延长力。到",使得。"=力。,连接如图所示:
在和中,
DM=Z.DA
Z.BDM=Z-CDA,
、BD=CD
:./\BDM^/\CDA(SAS),
:.BM=AC=BF,NM=NDAC=24°,4c=4DBM,
*:BF=AC,
:・BF=BM,
:.ZM=ZBFM=24°,
:.ZMBF=\S0°-NM-/BFM=132°,
VZEBC=32°,
:・/DBM=NMBF-/EBC=100°,
:.ZC=ZDBM=[QQ0,
故答案为:100°.
16.如图,已知/4。8=60°,点P在。4上,0P=8,点M、N在边08上,PM=PN,
若MN=2,则0M=3.
【解答】解:过P作PC_LMN,
":PM=PN,
1
C为MN中点,即MC=NC=加N=1,
在RtZXOPC中,ZAOB=60Q,
/.ZC?PC=30°,
1
・・・OC=为尸=4,
则0M=0C-MC=4-1=3,
故答案为:3
17.如图,△/8C是等边三角形,延长8c到点E,使CE=*8C,若。是4c的中点,连
接并延长交N8于点尸.
(1)若彳尸=3,求的长;
(2)证明:DE=2DF.
A
【解答】(1)解:•••△/8C为等边三角形,
:.AC=BC,ZA=ZACB=60°,
•.,。为ZC中点,
:.CD=AD=^AC,
1
■:CE=倒C,
:.CD=CE,
:./E=/CDE,
*.*/ACB=NE+/CDE,
:.ZE=ZCDE=3Q0,
:./ADF=NCDE=30°,
•・•4=60°
AZAFD=180°-N4-NZ。尸=90°,
*:AF=3
:.4。=24b=6;
(2)证明:连接加),
・・•△ABC为等边三角形,。为4c中点,
・・・8。平分N/8C,ZABC=60°,
・•・ZDBC=ZABD=|ZJBC=3O°,
,?ZBFD=90°
:.BD=2DF
*.•/DBC=NE=30°
:.BD=DE
:.DE=2DF.
18.如图,在等边△Z8C中,已知点E在直线48上(不与点4、8重合),点。在直线
8c上,且EQ=EC
(1)若点E为线段46的中点时,试说明。8=ZE的理由;
(2)若△4BC的边长为2,AE=\,求CD的长.
备用图
【解答】解:(1)•・・△ABC是等边三角形,E为的中点,
:.ZBCE=30°,BE=AE,
•:ED=EC,
:・NEDB=NBCE=30",
VZABD=\20°,
:・NDEB=30°,
:・DB=EB,
:.AE=DB;
(2)如图1,E在线段力8上时,
♦:AB=2,AE=lf
・••点E是48的中点,
由(1)知,BD=AE=1,
:・CD=BC+BD=3;
如图2,E在线段48的反向延长线上时,
VJ£=1,AB=2,
:.BE=3,
是等边三角形,
:.ZBAC=ZBCA=60°,AB=BC=AC=2,
过上作EH//AC交BC的延长线于H,
:・/BEH=NBHE=60°,
•二/\BEH是等边三角形,
:.BE=EH=BH=3,NB=/H=60°,
■:ED=EC,
:.ZEDC=ZECD,
・•・ZB+ZBED=/H+/HEC,
:./BED=NHEC,
在△&)£:和中,
BE=HE
乙BED=^HEC,
ED=EC
:.4BDE学/\HCE(SAS),
:.BD=HC=BH-BC=3-2=1,
:.CD=BH-BD-HC=3-1-1=1.
综上所述,8的长为1或3.
19.已知力(-10,0),以。力为边在第二象限作等边△Z08.
(1)求点3的横坐标;
(2)如下图,点”、N分别为04、08边上的动点,以MN为边在x轴上方作等边△
MNE,连结OE,当NEMO=45。时,求NMEO的度数.
【解答】解:(1)如图,过B作于点
图1
为等边
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