2022-2023学年人教版八年级数学上册《轴对称》辅助线练习（含答案）

辅助线专题练习

1.如图，已知在△A8C中，CD是48边上的高线，BE平分N4BC,交C。于点E,BC=

10,DE=4,则△8CE的面积等于（)

B.20C.28D.40

2.如图，△48C内有一点。，/£＞平分NCZ8,CDJ_/O于点。，连接。8,若的面

积为3CV»2,则△/BC的面积为（)

A.5cmB.6cm2C.7cm2D.8cm2

3.如图，点尸是/8/C平分线上的一点,AC=9,AB=5,尸8=3,则PC的长不可能

A.4B.5C.6D.7

4.如图.四边形48。中，AD//BC,BC=3,AB=5,AD=6.若点例是线段8。的中点,

则CM的长为（）

AD

35

-2c-a3

A.2B.2

,5.已知△ABC是等边三角形，点P在N8上，过点P作尸C,垂足为。，延长8c至

点。，使CQ=ZP,连接P0交ZC于点£,如图所示.如果等边三角形/8C的边长为4,

那么线段。E的长为（）

A.1B.2C.1.8D.2.5

6.如图，△Z8C中，为中线，ADLAC,NBAD=30°,AB=3,则4c长()

7.如图，N8=/C=90°,〃为是8c的中点，4M平分NB4D,且/C£）A/=55°,则/

8.如图，2。是△Z8C的角平分线，DEL4B于E，点、F,G分别在边AC±,且。尸

=DG,ZX/lDG与△ZDF的面积分别是14和4,则的面积是（）

9.如图，△X8C中，N/8C=90°,点/为△/8C各内角平分线的交点，过/点作NC的

垂线，垂足为H,若EC=6,/B=8,AC=10,那么的值为（）

B.3C.4D.5

10.如图，在△408和△COD中，O/=08,OC=OD,OA<OC,N4OB=NCOD=36°.连

接ZC,8。交于点连接OM.下列结论，其中错误的是()

平分D.平分/ZOD

11.已知：如图，N3/C的平分线与BC的垂直平分线相交于点尸，PELAB,PFLAC,

垂足分别为E、F.若/8=8,AC=4,!)lljAE=

12.如图，把△Z8C放置在平面直角坐标系中，已知/8=8C,ZABC=90°,A(3,0),

B(0,-1)，点C在第四象限，则点C的坐标是.

/同侧有三个正方形4B,C,若4C的面积分别为9

和4,则阴影部分的总面积为

B

14.如图，已知/8=8C=4。，4DLBC于点E,ACLCD,若C£>=之，则△/(?£)的面积

15.如图，已知/。是△/BC的中线，E是NC上的一点，8£1交4)于F,AC=BF,ADAC

=24°,NEBC=32°,则NNC8=

16.如图，已知乙408=60°,点P在04上，0P=8,点/、N在边。8上，PM=PN,

若MN=2,则OM=

17.如图，△IB。是等边三角形，延长BC到点E,使CE=48C,若。是/C的中点，连

接并延长交于点尸.

(1)若/尸=3,求的长;

(2)证明：DE=2DF.

18.如图，在等边△/BC中，已知点E在直线上(不与点N、8重合)，点。在直线

8c上，且EO=EC.

(1)若点E为线段48的中点时，试说明的理由;

(2)若△/8C的边长为2,AE=1,求CD的长.

备用图

19.已知4(-10,0),以。1为边在第二象限作等边△力08.

(1)求点8的横坐标；

(2)如下图，点M,N分别为。小OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△

MNE,连结OE,当NE"O=45°时，求的度数.

20.如图所示，已知△/8C中，AB=AC,NDBC=ND=60：/E平分NB4C,若BD=

8cw,DE=3cm,求BC的长.

21.如图，AB=BD,AE=EB,NACB=NABC,证明：CD=2CE.

辅助线专题练习（答案）

1.如图，已知在AIBC中，CO是边上的高线，BE平分NABC,交CD于点E,BC=

10,DE=4,则△8CE的面积等于（）

A

A.16B.20C.28D.40

【解答】解：过E作于

A

B~~i~c

CDLAB,EMLBC,BE平分N4BC,DE=4,

:・EM=DE=4,

V5C=10,

・・.4BCE的面积是-xBCxEM

2

=1x10x4

=20,

故选：B.

2.如图，内有一点O,4。平分NC4&。。_1_4。于点。，连接。8,若△力。8的面

积为3加2,则△/8C的面积为（）

A-5cm'B.6cm2C.1cm4D.8cm

【解答】解：延长8交ZB于E,

••I。平分NC48,CDLAD于点、D,

：.ZCAD=ZEADfZADC=ZADE=90°,

在△4DC与△力。E中,

/.CAD=/.EAD

AD=AD

Z-ADC=Z.ADE

./XADC^/XADECASA),

・♦CD=DE,

:♦SAACD=SMDE,SABCD=S&BDE,

:*S沙BC=2S^ADB，

△4D8的面积为3C/«2,

△/8C的面积为6cm1,

故选：B.

3.如图，点尸是N8/C平分线上的一点，AC=9,AB=5,尸5=3,则PC的长不可能

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：在/C上截取4E=/8=5,连接PE,

•.1C=9,

：.CE=AC-AE=9-5=4,

；点尸是NA4c平分线ZZ)上的一点,

：.ZCAD=ZBAD,

在和△NPB中，

AE=AB

乙CAP=乙BAD,

AP=AP

：.l\APE^l\APB(&4S),

：.PE=PB=3,

V4-3<PC<4+3,

解得1VpeV7,

・,・PC不可能为7,

故选：D.

4.如图.四边形48CD中，AD//BC,BC=3,AB=5,AD=6.若点用是线段8。的中点,

则CW的长为（）

5

C.一D.3

2

【解答】解：延长CM交4。于N,如图所示:

•・•点M是线段8。的中点,

:・BM=DM,

YAD〃BC,

：./CBM=/NDM,ZBCM=ZDNMf

在△3CW和△QMW中，

2cBM=乙NDM

乙BCM=LDNM，

BM=DM

：・4BCMm/\DNM(AAS),

1

：.NM=CM=DN=BC=3,

:.AN=AD-DN=6-3=3,

：.AN=BC,

*：AD〃BC,

.・・四边形ABCN是平行四边形，

:・CN=AB=5,

・・・CM=|,

故选：C.

AD

-------V

5.已知△48C是等边三角形，点尸在月8上，过点尸作垂足为。，延长2c至

点。，使CQRP,连接PQ交/C于点区如图所示.如果等边三角形/8C的边长为4,

那么线段。E的长为（）

A.1B.2C.1.8D.2.5

【解答】解：如图，过点P作P尸〃8C,交NC于点尸，

则/EP尸=NQ,ZAPF=ZABC

•.,△48C是等边三角形，

：.ZABC=ZACB=60°,

；.N4PF=N4FP=60°,

.♦.△/PF也是等边三角形，而C0=/P

：.PF=AP=CQ,

又,：NPEF=NQEC,

：.l\PEF^/\QEC,

：.EF=EC,

•.•PD_L4c于。，△ZP/7是等边三角形，

：.AD=DF,

：.AD+EC=DF+EF=DE=^AF+^CF=1(AF+CF)=1/1C,

：.DE=^AC=2.

故选:B.

A

/\D

E

BcO

6.如图，△45。中，40为中线，ADLAC,NBAD=30°,AB=3,则4c长()

D.1.5

:.BD=CD,

在△48。与△EC。中，

(AD=ED

</LADB=乙EDC,

[BD=CD

：./\ABD^/\ECD(SAS),

:./BAD=/CED,AB=EC,

•:NBAD=30°,

：.ZCED=30°,

*：AD.LAC,

：.ZCAD=90°,

：.AC=^EC,

:,AB=EC,

13

'.AC=[48=2'

即AC=\.5,

故选：D.

7.如图，ZB=ZC=90°,M为是8c的中点，AM平分/BAD,且/CDW=55°,则/

的度数是（）

DC

J

A.35°B.45°C.55°D.65°

【解答】解：过M作于M

则N/NZ=NMN£>=90°,

VZB=90°,

平分N84),

:.MN=MB,

•；M为是8C的中点，

：.MB=MC,

:.MN=MC,

在RtAMND和RtAMCD中，

(MD=MD

iMN=MC'

ARtAMND^RtAMCD(HL),

：・4NDM=/CDM=5寸,

AZCDA=ZNDM+ZCDM=110°,

VZ5=ZC=90°,

・・・N8+NC=180°,

:.CD〃AB,

：.ZBAD^-ZCDA=\S0°,

AZBAD=\S0°-ZCDJ=180°-110°=70°,

•・ZM平分N84),

1

AZBAM=^ZBAD=35°,

AZAMB=900-ZBAM=90°-35°=55°,

故选：C.

8.如图，4。是△48C的角平分线，DEL4B于E,点RG分别在边Z3,AC±f且。/

=DG,△力。G与尸的面积分别是14和4,则△。所的面积是（)

A

B

A.10B.6C.5D.4

【解答】解：如图，过点。作。〃J_4C于H,

・・・4D是△43。的角平分线，DEL4B,

:・DE=DH,

在Rt/XDEF和Rt/XDHG中，

(DE=DH

IDF=DG'

:・RtADEFgRt/\DHG(HL),

:・S4EDF=S4HGD，

同理RtAADE咨RtAADH,

♦・SAADE=SAADH，

,//XADG与/\ADF的面积分别是14和4,

14-4

/•S&DEF=_2-=5,

故选：C.

9.如图，△ZBC中，NZ5C=90°,点/为△Z8C各内角平分线的交点，过/点作ZC的

垂线，垂足为H,若8C=6,AB=8,AC=10,那么出的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：连接"、IB、IC,过/作于M,IN1BC于N,

A,

［虫C

N

・・•点/为△45。各内角平分线的交点，IML4B,IN工BC,IHLAC,

：・IH=IM=IN,

•・・AB=8,BC=6,ZABC=90°,

11

・・SA/BC=2xABxBC=1x8x6=24,

,•*s5BC=sMI且S△BIdsMIC，

111

A24=^xABxIM+^xBCXIN^-^xACxIH,

•・Z8=8,BC=6,4c=10,IH=IM=IN,

ill

A24=x8x/H+x6x/H+x10x/H,

・•・"/=2,

故选：A.

10.如图，在△408和△C。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,NAOB/COD=36°.连

接4C,BD交于点M,连接OM.下列结论，其中错误的是()

A.AC=BDB.ZAMB=36°C.MO平分NZMDD.OAf平分

【解答】解：・・・N4O8=NCOO=36°,

・・・NAOC=/BOD,

在△4OC和△80。中，

OA=OB

Z.AOC=乙BOD,

OC=OD

：./\AOC^/\BOD(SAS),

:・AC=BD,/OAC=/OBD,

故4选项不符合题意；

・・・NO/8+NZ8O=180°-36°=144°,

AZMAB+ZABM=\44°,

AZAMB=180°-144°=36°,

故8选项不符合题意；

过点。作。G_L/C于点G,过点。作于点”，如图所示:

:・S^AOC=SABOD，

11

即一AC-0G=-BD-OH,

22

:AC=BD,

：.OH=OG,

在RtAOHAf和RtZXOGM中，

(OG=OH

lOM=OM'

：.Rt^OHM^Rt/XOGM(HL),

：.ZOMG=ZOMH,

即OM平分乙4皿，

故C选项不符合题意；

假设0M平分//QD,

则NAOM=Z.DOM,

•.•。用平分/4WZ),

/AM0=NDM0,

,：OM=OM,

：./\AMO^/\DMO(ASA),

：.AO=DO,

'：OD=OC,AO<OC,

：.AO<DO,

；♦假设不成立，

二。加不平分乙40。，

故。选项符合题意，

故选：D.

11.已知：如图，N84C的平分线与8c的垂直平分线相交于点P,PEYAB,PFLAC,垂

足分别为E、F.若N8=8,4C=4,则NE=6.

【解答】解：连接P8,PC,

・・•点尸在BC的垂直平分线上，

:・PB=PC,

「力。平分N5ZC,PE上AB,PFUC,

:・PE=PF,NPEB=NPFC=90°,

・・・ZAPE=NAPF,

；.AE=AF,

在RtAPBE和RtAPCF中，

(PB=PC

IPE=PF'

••.RtAPBEgRtAPCF(HL),

：・BE=CF,

•：AB=AE+BE,AF=AC+CF,

：.AB=AC+CF+BE.

,.・4B=8,AC=4f

：.BE=CF=2,

：.AE=AC+CF=6.

12.如图，把△45C放置在平面直角坐标系中，已知ZABC=90°,A(3,0),

B(0,7)，点。在第四象限，则点。的坐标是(1,-4)

【解答】解：过点C作C£)Lv轴于点3,如图所示.

VZ/1SC=90°,ZAOB=90°,

：.ZOAB+ZOBA=90°,ZOBA+ZDBC=90°,

：.NOAB=NDBC.

/.AOB=乙BDC=90°

在△0/8和△D8C中，1/.OAB=乙DBC,

AB=BC

：./\OAB^^DBC(AAS),

：.BD=AO,DC=OB.

'：A(3,0),B(0,-1),

：.BD=AO=3,DC=OB=],OD=OB+BD=4,

...点C的坐标为(1,-4).

13.如图，在同一平面内，直线/同侧有三个正方形/,B,C,若4C的面积分别为9和

4,则阴影部分的总面积为6.

【解答】解：如图，作乙用_L所交所的延长线于点M,交〃的延长线于点N,

•.•四边形AB、C都是正方形，且正方形4C的面积分别为9、4,

/.ZEKI=ZEDR-ZIHG=90°,DE2=9,HI2=4,

:.DE=3,HI=2,

VZEDK=ZKHI=180°-90°=90°,

J/DKE=900-ZKHI=ZHIKf

在△EDK和△K/〃中，

(Z.EDK=乙KHI

△OKE=乙HIK,

\EK=KI

・•・△EDK名△KHI(AAS),

：.DK=HI=2,DE=HK=3,

:♦SAEDK=S£\KH『2x3X2=3；

VZDEF=ZHIJ=90°,

ZDEM=lS0°-ZDEF=90°,NHIN=1800-NHIJ=90°,

VZKEL=ZKIL=90°,

:・/MEL=NDEK=90°-ZKEM,ZNIL=ZHIK=90°-/KIN,

,:EFh,UHI,

C.EF//IJ,

:・/EML=NEMN=NN=90°,

在〃和△EOK中，

2MIL=乙DEK

乙EML=乙EDK,

EL=EK

：.4EMLmAEDK(AAS),

:・EM=ED=EF,

S&EFL=S^EML=SAEDK=3;

在△LN/和△K〃/中，

NNIL=Z.H1K

乙N=Z.KHl,

IL=IK

:•△LNI经4KHICAAS),

9：IN=IE=IJ,

:♦S/\LJI=S>LNI=SAKHI=3,

S^EFL+SAUI=3+3=6,

，阴影部分的总面积为6.

L

14.如图，已知AD工BC于点、E,AC±CD,若CO=|,则△48的面积为

25

AZACD=ZAEC=90Q,

：•ND+NDCE=NDCE+/ACE=90°,

・・・/D=/ACB,

■:AB=BC,

・・・NBAH=/BCA,

：.ND=NBAC,

过8作BHLAC于H,

:・NAHB=90°,AH=1^C,

在△48〃与△QZC中，

(^AHB=Z.DCA=90°

\z-BAH=Z.D,

VAB=AD

：./\ABH^/\DACCAAS),

：.BH=AC,AH=CD,

：.AC=2CD=^-f

*,*/\ACD的面积=2AC9CD=2xx=

故答案为：

9

D

15.如图，已知40是△45C的中线，E是4C上的一点，BE交AD于F,AC=BF,NDAC

=24°,ZEBC=32°,则NZC8=100°.

【解答】解：如图，延长力。到"，使得。"=力。，连接如图所示:

在和中，

DM=Z.DA

Z.BDM=Z-CDA,

、BD=CD

：./\BDM^/\CDA(SAS),

：.BM=AC=BF,NM=NDAC=24°,4c=4DBM,

*：BF=AC,

:・BF=BM,

：.ZM=ZBFM=24°,

：.ZMBF=\S0°-NM-/BFM=132°,

VZEBC=32°,

:・/DBM=NMBF-/EBC=100°,

：.ZC=ZDBM=[QQ0,

故答案为：100°.

16.如图，已知/4。8=60°,点P在。4上，0P=8,点M、N在边08上，PM=PN,

若MN=2,则0M=3.

【解答】解：过P作PC_LMN,

"：PM=PN,

1

C为MN中点，即MC=NC=加N=1,

在RtZXOPC中，ZAOB=60Q,

/.ZC?PC=30°,

1

・・・OC=为尸=4,

则0M=0C-MC=4-1=3,

故答案为：3

17.如图，△/8C是等边三角形，延长8c到点E,使CE=*8C,若。是4c的中点，连

接并延长交N8于点尸.

(1)若彳尸=3,求的长;

(2)证明：DE=2DF.

A

【解答】（1）解：•••△/8C为等边三角形,

:.AC=BC,ZA=ZACB=60°,

•.,。为ZC中点，

：.CD=AD=^AC,

1

■:CE=倒C,

：.CD=CE,

：./E=/CDE,

*.*/ACB=NE+/CDE,

：.ZE=ZCDE=3Q0,

:./ADF=NCDE=30°,

•・•4=60°

AZAFD=180°-N4-NZ。尸=90°,

*：AF=3

:.4。=24b=6；

（2）证明：连接加）,

・・•△ABC为等边三角形，。为4c中点,

・・・8。平分N/8C,ZABC=60°,

・•・ZDBC=ZABD=|ZJBC=3O°,

,?ZBFD=90°

：.BD=2DF

*.•/DBC=NE=30°

：.BD=DE

：.DE=2DF.

18.如图，在等边△Z8C中，已知点E在直线48上(不与点4、8重合)，点。在直线

8c上，且EQ=EC

(1)若点E为线段46的中点时，试说明。8=ZE的理由;

(2)若△4BC的边长为2,AE=\,求CD的长.

备用图

【解答】解：（1）•・・△ABC是等边三角形，E为的中点,

：.ZBCE=30°,BE=AE,

•:ED=EC,

:・NEDB=NBCE=30",

VZABD=\20°,

:・NDEB=30°,

:・DB=EB,

:.AE=DB；

（2）如图1,E在线段力8上时，

♦：AB=2,AE=lf

・••点E是48的中点，

由（1）知，BD=AE=1,

:・CD=BC+BD=3；

如图2,E在线段48的反向延长线上时，

VJ£=1,AB=2,

:.BE=3,

是等边三角形，

：.ZBAC=ZBCA=60°,AB=BC=AC=2,

过上作EH//AC交BC的延长线于H,

:・/BEH=NBHE=60°,

•二/\BEH是等边三角形，

:.BE=EH=BH=3,NB=/H=60°,

■:ED=EC,

：.ZEDC=ZECD,

・•・ZB+ZBED=/H+/HEC,

：./BED=NHEC,

在△&)£：和中，

BE=HE

乙BED=^HEC，

ED=EC

:.4BDE学/\HCE(SAS),

：.BD=HC=BH-BC=3-2=1,

：.CD=BH-BD-HC=3-1-1=1.

综上所述，8的长为1或3.

19.已知力(-10,0),以。力为边在第二象限作等边△Z08.

(1)求点3的横坐标；

(2)如下图，点”、N分别为04、08边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△

MNE,连结OE,当NEMO=45。时，求NMEO的度数.

【解答】解：（1）如图，过B作于点

图1

为等边