高中数学试卷18

数学试卷18

本试题分为第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

第I卷(选择题，共60分

参考公式：

球的表面积公式：S=4JTR2,其中R是球的半径.

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k

次的概率：

nk

Pn(k)=C〉/(1-p)'(k=0,1,2,…，n).

如果事件A.B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A.8相互独立，那么P(AB)=P(A)•P(6).

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.一知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的6值为16,则循环体的判断框内①

处应填的是()

A.2B.3C.4D.16

2.已知是夹角为120。的单位向量，则向量+B与£-2反垂直的充要条件是实数X的

值为()

5533

A.-B.-C.-D.一

4242

3.设p:/(x)=x3+2%2+/HX+1在(一oo,+8)内单调递增,函数q:g(x)=1-4x+3加不

存在零点则p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.设集合A={xly=log(x—3)},B={xlx2_5x+4<0},则()

A.0B.(3,4)C.(-2,1)D.(4.+00)

5.若复数z与（z+2）2-8i都是纯虚数，则丁+z所对应的点在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.•个空间几何体的三视图如下，则这个空间几何体的体积是()

D.10+8万

7.设函数/（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=l对称，且当x21时,

/(x)=lnx-x,则有)

A./（!）＜/（|）＜/（|）B./（|）＜/（|）＜/（!）

c./（|）＜/（!）＜/（|）D./（|）＜/（|）＜/（!）

8.已知函数/（x）=sin（公c+2）（xeR,o＞0）的最小正周期为万，为了得到函数

4

g（x）=cos（5+上7T）的图象，只要将y=/（x）的图象（

A.向左平移三TT个单位长度B.向右平移三JT个单位长度

88

C.向左平移工7T个单位长度D.向右平移三7T个单位长度

44

22

9.在椭圆0+2F=l（a＞b＞O）中，片,F2分别是其左右焦点，若|P用=2|尸产2|,则该椭

圆离心率的取值范围是（）

x-y>Q,

2x+y<2,

10.若不等式组《表示的平面区域是一个四边形，则。的取值范围是()

y>0,

x+y<a

4

A.a>—B.0<a<1

3

,,44

C.1<a<一D.0<aWl或一

33

11.设函数/(x)=g(x)+x+Inx,曲线y=g(x)在点(1,g⑴)处的切线方程为y=2x+1,

则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为()

A.y=4xB.y-4x-8C.y-2x+2D.y--^x+1

12.市内某公共汽车站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，

则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是()

A.240B.480C.600D.720

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。

13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1,用分

层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用

寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均

值分别为980/1,102031042力，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为一

_____ho

14.已知关于元的不等式竺二＞0的解集是(—oo,-l)U(L+°o).则。=________.

x+l2

15.直线y=x+a与圆/+丁=4交于点A],若与砺=—2(。为坐标原点)，则实

数a的值为。

16.对正整数〃，设抛物线V=2(2〃+1)X,过P(2〃,0)任作直线/交抛物线于纥两

点，则数列,,次的前〃项和公式是

2(n+1)

三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

17.(本题满分12分)已知函数/(x)=cosx―亚上+sinxJ1—竺士

Vl+sinxV1+cosx

(1)求的值;

（2）写出函数函数在H，万匕的单调区间和值域。

18.（本题满分12分）某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用J表示，据统计，随机变量J

的概率分布如下

0123

P().1().32aa

（1）求。的值和J的数学期望;

（2）假设第一年和第二年该地区遭到暴雨的次数互不影响，求这两年内该地区共遭到

暴雨袭击2次的概率。

19.(本题满分12分)如图，沿等腰直角三角形A8C的中位线将平面AOE折起，

使得平面ADE_L平面BCDE得到四棱锥4-BCDE.

(1)求证：平面ABC_L平面ACD；

(2)过CO的中点M的平面二与平面A8C平行，试求平面a与四棱锥A-8COE各

个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比。

(3)求二面角A-BE—O的余弦值。

20.（本题满分12分）设数列｛%｝的前〃项和为S“=3勺一3"+，

（1）证明：goj为等比数列；

（2）证明：求数列｛%｝的通项公式；

（3）确定多•与一^一的大小关系，并加以证明

3"2n+1

21.（本题满分12分）设.函数/（x）=x2-2x+alnx。

（1）若函数/（x）是定义域上的单调函数，求实数。的取值范围;

（2）求函数/（x）的极值点。

22.(本题满分14分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,-G),(0,百)的距离之和

等于4,设点P的轨迹为C。

(1)求曲线。的方程；

(2)过点(0,6)作两条互相垂直的直线Z,,Z2分别与曲线C交于A,8和CD。

①以线段4B为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的k值，若不能说明理

由；

②求四边形ABC。面积的取值范围。

参考答案

1.【解析】Ba=1时进入循环，此时6=21=2,a=2时再进入循环此时b=2?=4,a=3,

再进入循环此时6=24=16,，a=4时应跳出循环，.•.循环满足的条件为a>3,

填3。

2.【解析】A根据已知忖=W=i,ZB=—向量;+区与£一23垂直的充要条件是

(2«+&).(«-2&)=/la+(l-22)ab-2b=2——(1-22)-2=0,解得力=上。

24

3.【解析】B/(x)在(—oo,+oo)内单调递增，则/'(X)在(-oo,+oo)上恒成立，即

,4

3x~+4x+zn20在(-oo,+oo)上怛成立，即=16-12〃?W0,即加g(x)不

4

存在零点，则A2=16-12m<0,即机>§。故p成立q不一定成立，q成立p一定

成立，故p是q的必要不充分条件。正确选项B。

4•【解析】B集合

A=(3,+oo),8={xl(x—l)(x—4)<0}={xll<x<4}..•.4[18=(3,4).故选B.

5.【解析】C设z=4SeR),则(z+2>—8i=(2+bi)2—8i=4—从+(4匕-8",由于

该复数为纯虚数，故4一/=0且4匕—8工0,解得力=—2,故z?+z=—4—2i,z?+z

所对应的点在第三象限。

6•【解析】B这个空间几何体下面部分是一个同.一顶点处三棱长分别为2,1,1长方体，上面

是两个半径为1的球，故其体积为2xlxl+2x也=2+竺。

33

7.【解析】A当X>1时，/'(X)=--l<0,故函数/(X)在(1,+00)单调递减，

X

/(I)=/(2-1)=/(|),/(|)=/(2-|)=/(1),泻<|,

故/§)</(!)</()，GP/(!)</(|)</(|)»正确选项A。或者根据图象的对

称性，离X=1距离近的函数值大解决。

8.【解析】C由题知0=2,所以

TCTC7C7TTC7T

/(x)=sin(2xd——)=cos[---(2xd——)]=cos(2x---)=cos2(x)+—,只要

424444

jrTT

把这个的x变成X+—即可，即只要把函数y=/(x)的图象向左平移2个单位长度。

44

正确选项Co

9.【解析】B根据椭圆定义|P4|+|P闻=2a,将设|P用=2|明代入得熙|卷，根

G11

据椭圆的几何性质，|PF,|2a—c,^—>a-c,即aW3c,故工29，即e2L

1213a33

又e<l,故该椭圆离心率的取值范围是1,1L

x-y>0,

2x+y<2,“

10.【解析】C不等式组《,将前三个

y>0,

x+y<a

不等式所表示的平面区域，三个顶点分别为

22

(0,0),(1,0),,第四个不等式x+y«a,

3'3

表示的是斜率为-1的直线的下方，如图，只

有当直线x+y=〃和直线2x+y=2的交点介于点A,B之间时，不等式组所表示的区

4

域才是四边形，此时1<。<—。选C。

3

11•【解析】A由已知g'⑴=2,而/'(x)=g'(x)+l+L所以八l)=g，⑴+1+1=4,

x

即切线斜率为4,又g(l)=3,故/(l)=g(l)+l+lnl=4,故曲线y=/(x)在点

(1,/(1))处的切线方程为了—4=4(》—1),即y=4x,故选A。

12•【解析】B把四位乘客当作4个元素作全排列有A：种排法，将一个空位和余下的4个

空位作为一个元素插空有A；种排法..I&=480.

13•【解析】1013由于是按照分层抽样，故抽取的100件产品的比例和产量的比例是相同

的，即在第一、二、三分厂抽取的产品数量之比是1:2:1,也即在第一、二、三分厂抽

取的产品数量分别为25,50,25件，故这的100件产品的使用寿命的平均值

-980x25+1020x50+1032x25980x1+1020x2+1032x1

x=----------------------------=----------------------=1013(/7)o

1004

14•【解析】2由不等式判断可得且不等式等价于a(x+l)(x-1)〉0,由解集特点

可得。＞0且一,故。=2。

a2

15.【解析】±6方法1.设4(阳,y),8(々,%)，将直线方程代入圆的方程得

八4

2x2+2ax+a2-4=0,则玉+%=—。,玉々

OAOB=x1x2+yxy2=x1x2+(玉+a)(x2+〃)=2x}x2+。(玉+x2)+a

=+—4=—2,即。2=2,即Q=±5/2O

方法2.34砺=-2=2-2cosNAO8=-2,即NAO3=12(r,问题等价于圆心到

直线的距离等于半径的一半，即裳=葭故a=±五。

16•【解析】-〃(〃+1)设直线方程为x=)+2〃，代入抛物线方程得

y2-2(2M+1)。-4〃(2〃+1)=0,设4(怎I，),B(x.2,%2)，

2

则西・西=X,(1X„2+ynly„2=(『+l)ynlyn2+2nt(ynl+y„2)+4n,用韦达定理代

入得西•西=-4〃(2〃+1)(f2+1)+4〃(2〃+l)f2+4n2=-4n2-4〃，

，“，一..---1

,,OAlt,OBnc.OAn•OBn,,工工

故---------=-2n,故(数歹U《----------卜的刖〃项和一〃(〃+1)o

2(〃+1)2(〃+1)J

…——、/1-sinx./1-cosx

17•【解析】f(x)=cosxJ---；----FsinxJ-------

1+sinx1+cosx

(1-cosx)2

=cosx"""7

COSXsinx

1-sinx.1一COSX

=cosx-：----r-+sinx（4分）

|cosx\|sinx|

(1)当x时，f(x)=2-sinx-cosx,故/=2-&。(6分)

(2)当XE一,万时，|cosx\=-cosx,|sinx\=sinx,

//、1-sinx.1-cosx.07•/兀、/八、

故L/j(X)=cosx------+sinx-------=sinx-cosx=72sin(x---),(8分)

-cosxsinx4

W(冗7t3〃TT37r

当XE一,乃时X---€故当xe是，函数/（x）单调递增,

(2)445T

当xe今，乃时，函数/（x）单调递减；函数的值域是（1,、历］。（12分）

18.【解析】（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=l,解得a=0.2,（2分）

J的概率分布为

0123

P0.10.30.40.2

.•.塔=0x0.1+1x03+2x0.4+3x02=1.7。（6分）

（2）设事件A表示"两年内共遭到暴雨袭击2次"，

事件A,表示"两年内有一个年遭到.暴雨袭击2次，

另外一年遭到暴雨袭击0次"；事件A2表示"两年内各自遭到暴雨袭击1次”

则由事件的独立性得

尸⑷=C\P^=0）=2x0.4x0.1=0.08

P（A）=［P^=I）］2=0.32=0.09（10分）

二尸（A）=尸（4）+尸（A2）=0.08+0.09=0.17

故两年内该地区共遭到暴雨袭击2次的概率为0.17。（12分）

19.【解析】（1）AD1DE,平面AOEJ•平面

根据两个平面垂直的性质定理得AD，平面BCDE,

所以AO_L8C,又CDLBC,根据线面垂直的判定定理8C,平面ACD,

BCu平面ABC,所以平面ABCJ_平面AC。。（4分）

（2）由于平面a平面ABC,故平面AC。与平面a的交线MQAC,

M是CO的中点，故。是AD的中点；同理平面BCDE与平面a的交线MNBC,

N为BE的中点；平面ABE的交线NPAB,P为AE的中点,

连接PQ即为平面a与平面AOE的交线,

故平面a与四棱锥A-5COE各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ,

由于P。DE,DEMN,故PQMN,根据(1)BC1AC,

由MNBC,MQAC,故MQ1.MN,即四边形MNP。'是直角梯形。（6分）

设CM=a,则MQ=0a,MN=3a,PQ=a,8C=4a,AC=2V^a,

故四边形MNP。的面积是号的乂缶=2后外,

三角形ABC的面积是-x4«x2&a=,

2

故平面a与四棱锥A-BCDE各个面

的交线所围成多边形的面积与

三角形ABC的面积之比为空二=,。（8分）

4缶22

（3）方法1.AOJ.平面BCOE,AOJ.8E,

过点D做BE的垂线交BE的延长线于点G,

连接AG,则BG1■平面ADG,

从而AGL8G,

所以NAGO即为二面角A—8E—£>的平面角。（10分）

设0E=2,则4。=2,£>E=g,则AG=V^,

V2V3

故二面角A-BE-D的余弦值等于=—»(12分)

3

方法2.建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求解。

设OE=1,则E(0,l,0),A(0,0,l),5(1,2,0),A£=(0,1,-1),EB=(1,1,0),

设〃=(x,y,z)为平面ABE的法向量,

则谶3=0且而3=0,

即y-z=O且x+y=0,

取z=-l，则x=l,y=-l.

即平面A8E的一个法向量为£=（1,—1,一1）,（10分）

又而=（0,0,1）为平面DBE的一个法向量，

\nom\iJ3

二面角A-BE—。是锐二面角，故其余弦值为谷目====巨。（12分）

同时63

n+,n+1

20•【解析】（1）S„=3an-3得Sn+l=3an-3,

相减得S“+1—S“=3%+1—3a.—3"+2+3向，（2分）

即4川=］%+3"“，故％.「3“=3向。

故数列<为首项是9、公比为3的等比数列。（4分）

（2）生用=』6,+3日得餐=■!■•%+1,

"+i2"3,"+|23"3"+|2（3"）

所以4=2—1,-3"=23—(|)。(8分)

(3)5„=323Tli

即比较31-（-］与一^一的大小关系，

\2）2〃+1

6〃.2"-I2n.2"-(2〃+1)

-------=3------------------=3------------------

2/2+1L2"2/1+1J(2〃+1)2"

即比较2"与2〃+1的大小。（10分）

当〃=1,2时，2"<2〃+1,当〃23时，2">2"+1。

方法1.数学归纳法：当〃=3时，23=8,2x3+1=7,8〉7结论成立；

设〃=灯火23）时结论成立,即2*>2、+1,则当〃=攵+1时，

2日=2-2«〉2（2k+l）=2（A+l）+2k〉2（A+l）+l,即〃=%+1时结论也成立

根据数学归纳法，对〃23,不等式2">2〃+1成立。（12分）

方法2.二项式定理法：

当”23时，2"=C：+C：+…+C：T+C：>C：+C：+C；T=2"+1。

故当〃=1,2时，鼠当〃23时，&>e_。(12分)

3"2/1+13"2〃+1

02c]

21.【解析】(1)f\x)=2x-2+-=X~Xa,若函数/(x)是定义域上的单调函数,

XX

则只能/'(x)20在(0,+8)上恒成立，即2/-2x+a20在(0,+8)上恒成立恒成立,

令g(x)=X?-2x+a,则函数g(x)图象的对称轴方程是x=g,故只要△=4-8a40

恒成立，即只要a2,。(5分)

2

(2)有(1)知当时，/'(x)=0的点是导数不变号的点，

故a2工时，函数无极值点；

2

12al+Jl-2a

当。时，/")=0的根是％=」^——,x2

2

若a<0,Vl-2a>1,此时玉<0,x2>0,且在(O,x?)上/'(x)<0,

1+J1一2a

在(々,+oo)上/(x)〉0,故函数/(x)有唯一的极小值点々=—乙——；(7分)

当0<a<g时，0<Jl-2a<1,此时内>0,x2>0,

f'⑶在(0,%,),(乙,e)都大于0,