高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时三角函数的图像与性质(原卷版+解析)

第4课时三角函数的图像与性质编写：廖云波【回归教材】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无3.函数（A>0,ω>0）的性质(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.(2)周期性：的最小正周期为；的最小正周期为.(3)单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.(4)对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.

【典例讲练】题型一三角函数的周期性【例1-1】求下列函数的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．【例1-2】求函数的最小正周期并作出函数图像．【例1-3】设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（

）A．2 B． C． D．【例1-4】函数的周期为___________；归纳总结：【练习1-1】求下列函数的周期.（1）；（2）.【练习1-2】函数的最小正周期为，则的值为（

）．A．2 B．4 C．1 D．【练习1-3】已知函数的最小正周期为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二三角函数的奇偶性【例2-1】判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【例2-2】已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）归纳总结：【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【练习2-2】若，是偶函数，则的值为________．题型三三角函数的对称性【例3-1】求函数的对称轴和对称中心.【例3-2】函数的图像关于直线对称，则可以为（

）A． B． C． D．1【例3-3】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）归纳总结：【练习3-1】已知函数，.求：(1)的图像的对称轴方程；(2)的图像的对称中心坐标.【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．题型四三角函数的单调性【例4-1】函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【例4-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习4-1】已知函数.（1）求函数的值域；（2）求函数单调递增区间.【练习4-2】函数在上单调递增，则取值范围为_____【完成课时作业（二十七）】

【课时作业（二十七）】A组础题巩固1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（

）A． B． C． D．2．函数的单调递增区间是（

）A．， B．C． D．3．设函数，则下列结论错误的是（

）A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．在上单调递减 D．的一个零点为4．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则5．函数为偶函数的一个充分条件是（

）A．B．C． D．6．已知函数，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．7．已知函数有三个不同的零点，且，则（

）A．4π B．2π C． D．8．【多选题】已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期是πC．的一个对称中心是 D．的一个递增区间是9．【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上单调递减10．【多选题】已知的最小正周期为，则下列说法正确的是（

）A．B．的最大值为2C．为的一条对称轴D．为的一个对称中心11．函数图象的一个对称中心的坐标是______．12．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.13．设，若在上为增函数，则的取值范围是___．14．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.B组挑战自我1．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（

）A． B． C． D．2．【多选题】已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．函数在上单调递减C．当时，，D．当函数在上有4个零点时，3．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．4．已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为______．第4课时三角函数的图像与性质编写：廖云波【回归教材】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无3.函数（A>0,ω>0）的性质(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.(2)周期性：的最小正周期为T=；的最小正周期为T=.(3)单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.(4)对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.【典例讲练】题型一三角函数的周期性【例1-1】求下列函数的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果.(1)∵∴周期；(2)∵，∴周期；(3)∵，∴周期；(4)∵，∴周期.【例1-2】求函数的最小正周期．【答案】【解析】【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期；【详解】解：函数是将位于轴下方的图象关于翻折上去，函数图象如下所示，所以最小正周期为【例1-3】设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案.【详解】由题意可得，则，故选:.【例1-4】函数的周期为___________；【答案】【解析】【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.【详解】,所以的周期为：故答案为：.归纳总结：【练习1-1】求下列函数的周期.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）由求解即可；（2）画出函数图像,根据图像得到周期即可【详解】（1）由题,,则（2）（图像法）作出函数的图像,如图所示,由图像可得,函数的周期为【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,考查正弦型函数的图像的应用【练习1-2】函数的最小正周期为，则的值为（

）．A．2 B．4 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合求最小正周期的公式计算即可.【详解】解：，由得函数的最小正周期为，∴，故选：A．【练习1-3】已知函数的最小正周期为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由正切函数的周期公式可求解.【详解】由题意，.故选：B题型二三角函数的奇偶性【例2-1】判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)偶函数；(4)既不是奇函数，也不是偶函数.【解析】【分析】根据给定的各个函数，结合奇偶函数的定义逐一判断分别作答.(1)函数的定义域为R，因，所以是奇函数.(2)函数的定义域为R，因，所以是偶函数.(3)函数的定义域为R，因，所以是偶函数.(4)函数的定义域为，而，显然，并且，所以既不是奇函数，也不是偶函数.【例2-2】已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为是奇函数，所以，，解得，．故答案为：（答案不唯一）归纳总结：【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【答案】(1)函数为奇函数(2)函数为非奇非偶函数(3)函数既是奇函数又是偶函数【解析】【分析】(1)把解析式化简成型或型，来判断其奇偶性；(2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断；(3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断；(1)函数的定义域为R,故，故函数为奇函数(2)函数定义域为,不关于原点中心对称，故函数为非奇非偶函数(3)由，得函数定义域为，关于原点中心对称，此时，则有，且故函数既是奇函数又是偶函数【练习2-2】若，是偶函数，则的值为________．【答案】【解析】【分析】正弦型函数若成为偶函数，则必有一条对称轴是y轴，即，解之即可.【详解】要使成为偶函数，则必有即，故,又有，所以故答案为：题型三三角函数的对称性【例3-1】求函数的对称轴和对称中心.【答案】对称轴为；对称中心为【解析】【分析】结合的性质，分别令和可解得对称轴和对称中心.【详解】由，得，所以对称轴为.由，得，所以对称中心为.【例3-2】函数的图像关于直线对称，则可以为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】【分析】的对称轴为，化简得到得到答案.【详解】对称轴为：当时，取值为.故选:C.【例3-3】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【答案】C【解析】【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.【详解】解：，令，，则，，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：C.归纳总结：【练习3-1】已知函数，.求：(1)的图像的对称轴方程；(2)的图像的对称中心坐标.【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】先将函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后整体代换ωx＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒(1)由，得；(2)由，得，∴对称中心为【练习3-2】已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，则．故选：B题型四三角函数的单调性【例4-1】函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答.【详解】由，解得，所以所求函数的增区间为.故选：C【例4-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依题意可得，再根据周期公式即可求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：依题意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函数在内单调递减，所以，解得，即；故选：B归纳总结：【练习4-1】已知函数.（1）求函数的值域；（2）求函数单调递增区间.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）先对函数化简为，然后利用正弦函数的取值范围可求出的值域；（2）由解出的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：（1）因为，所以所以的值域为；（2）由，得，所以单调递增区间为【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.【练习4-2】函数在上单调递增，则取值范围为_____【答案】【解析】【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求得答案.【详解】令，可得，因为函数在上单调递增，故，解得，结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，故取值范围为，故答案为：【完成课时作业（二十七）】

【课时作业（二十七）】A组础题巩固1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解.【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；故选：B2．函数的单调递增区间是（

）A．， B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据正切函数的单调区间，即可求解.【详解】因为函数，令，，解得，．所以函数的单调递增区间是.故选：B3．设函数，则下列结论错误的是（

）A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．在上单调递减 D．的一个零点为【答案】C【解析】【分析】结合函数的图象与性质，逐项分析即可.【详解】解：因为，所以最小正周期，所以为也是的一个周期，故A正确；对称轴为，即，则当时，，故B正确；因为在上单调递减，所以，即，当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故C错误;，零点为，即，则当时，，故D正确.故选：C.4．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则【答案】B【解析】【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；对于C，不是奇函数，C不正确；对于D，取，显然有，而，，D不正确.故选：B5．函数为偶函数的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的奇偶性求参数，结合选项确定一个满足要求的值即可.【详解】若函数为偶函数，所以，则.故选：A6．已知函数，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，，所以最小正周期为.故选：B7．已知函数有三个不同的零点，且，则（

）A．4π B．2π C． D．【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可.【详解】令，当时，函数有三个零点，因此函数的图象有三个不同的交点，因为，所以，显然有，而关于直线对称，关于直线对称，所以，故选：A8．【多选题】已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期是πC．的一个对称中心是 D．的一个递增区间是【答案】BD【解析】【分析】根据题目可以判断，所以，所以的对称中心为，递增区间为.【详解】B．的最小正周期是，B正确；A．由于的图象关于直线对称，且最小正周期是，因此的图象也关于直线对称，故是偶函数，A错误；C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则或，根据可得解析式为前者．的对称中心为，，C错误；D．由于，在单调递增，D正确．故选：BD.9．【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；，所以的图象关于点对称，故C正确；若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；故选：BCD10．【多选题】已知的最小正周期为，则下列说法正确的是（

）A．B．的最大值为2C．为的一条对称轴D．为的一个对称中心【答案】ACD【解析】【分析】由题意利用三角函数恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．【详解】解：，即，所以，解得，故A正确；所以，因为，所以，故B错误；，所以函数关于对称，故C正确；，所以为的一个对称中心，故D正确；故选：ACD11．函数图象的一个对称中心的坐标是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据正切型函数的对称中心可直接求出答案.【详解】令，解得,则图象的对称中心的坐标是．当时，，则是图像的一个对称中心．故答案为：（答案不唯一）.12．设函数，若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由的取值范围，求出，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，当，所以，因为在上有且仅有个零点，所以，解得，即；故答案为：13．设，若在上为增函数，则的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】由时，,根据单调区间列出不等关系，即可求解.【详解】，当时，,由于为增函数，∴，即，又，所以，故答案为：14．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（