选择性必修第一册模块检测B（解析版）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典

选择性必修第一册模块检测B解析版

学校:姓名：班级：考号：

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题

1.在棱长为1的正方体ABCD-中,P是底面ABCD上（含边界）一动点,满足\P±AQ,

则线段AP长度的取值范围（）

A.J',行B.",8C.口,行］D.［后,6］

【答案】A

【解析】

【分析】

利用线面垂直的判定定理可以证明，平面这样可以确定P的轨迹，利用平面几何的知

识求出AP的最值，选出答案.

【详解】

因为CG，底面ABCQ,QBu底面ABC。，所以底面ABC。是正方形，所以有

CA±BD,C£cC4=C,C£,CAu平面CC]A,因此有平面CC]A,u平面CQA,

所以有3DLAC1，同理可证明出AC,因为5。门必=。，5D,D4］u平面5D4］，所

以AC1，平面所以点尸的轨迹就是线段2D,所以尸在3或。时AP最长为后，在瓦）中

点时AP最短为述.

2

故选：A

【点睛】

本题考查了空间点的轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力.

22

2.已知双曲线二-1=1（°>01>0）的焦距为2石，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0平行,

ab

则双曲线的方程为（）

222

X21Q2y2X3x3y2

A.-----y=1B.x-------=1C.-----------=1D.--------------=1

44164520

【答案】B

【解析】

【分析】

利用双曲线二-=l（。＞0,b＞0）的焦距为2岔，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0平

ab

行，求出几何量mb,c,即可求出双曲线的方程.

【详解】

22

..•双曲线二-：=1（。＞0,匕＞0）的焦距为26,且双曲线的一条渐近线与直线2尤+y=0平行，

ab

.•心=-2,

a

••b'='-2a,

■:心=建+吩,

1?。=2,

2

双曲线的方程为炉―21=1.

4

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键.

3.设点4（2,-3）,直线/过点P（l,l）且与线段AB相交，贝！1/的斜率左的取值范围是

（）

333

A.左2—或左W-4B.-4＜k＜-C.—＜左＜4D.以上都不对

444

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设直线/的方程为y—l=Mx—1）,即依—y+1—左=0,由一元二次不等式的几何意义

可得（2左+3+1—左）（—3左+2+1—左）,,0,解可得上的取值范围，即可得答案.

【详解】

根据题意，设直线/的方程为y—l=Mx—1）,即区—y+1—左=。，

直线/过尸（U）且与线段A6相交，则4、B在/的两侧或在直线上，

则有（2k+3+1—k）（—3k+2+1—k\,0,即（左+4）（4左—3）..0,

3,

解得：左…一或匕,—4,

4

故选：A.

【点睛】

本题考查一元二次不等式表示平面区域的问题，注意直线与线段相交，即线段的2个端点在直线的

两侧或在直线上.

4.若圆。：/+/+2》—4y+3=0关于直线2a%+勿+6=0对称，则由点（。3）向圆所作的切线

长的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意圆C的圆心（一1,2）在直线2ax+勿+6=0上，可得—2a+26+6=0,即点（。力）在直线

x+y+3=0上，过点作圆C的切线，切点为E,则DE=JCD?_4=k斤-2，只需CD

最短，可得答案.

【详解】

由将圆C的方程化为标准方程为：（x+iy+（y-2『=2,

圆心为（—1,2）,半径为0,

因为圆C关于直线2ax+纱+6=0对称，

所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，

有-2a+2b+6=0,即点（。力）在直线/：-工+y+3=0上,

设。（。8），过点作圆C的切线，切点为E

则DE=巧2_干=-2

要使得切线OE长最短，则只需CD最短.

CD的最小值为过点C作直线/：—x+y+3=0的垂线.

此时CD=口±泮1

=3\/2,CE=r=夜

V2

所以根据勾股定理，得DE=《CD2—CE2=4

故选：C

【点睛】

本题考查了求圆的切线长,解题关键是掌握圆的定义和圆切线的长的求法,，考查了分析能力和计算能

力,属于中档题.

5.已知圆C经过原点。且圆心在X轴正半轴上，经过点N(-2,0)且倾斜角为30。的直线/与圆C相

\MN\

切于点Q,点。在x轴上的射影为点p,设点以为圆C上的任意一点，则―=()

\MP\

A.4B.3c.2D.1

【答案】C

【解析】

分析：根据题干写出直线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标为(2,0),写出圆的方程，得出P

点坐标，设并将圆的方程代入上\MVN\可求得值为2.

\MP\

详解：由题可知直线/:y=?(x+2)，即x—6y+2=0，

|«+2|

设圆心C(a,0)(a>0),则(而解得a=2.

所以圆C的方程为：(x—2)2+)?=4,

将/：y=*(x+2)代入圆。的方程，可解得〜=1,故尸(L0)，

则解(x+2)2+y2_x2+y2+4x+4

设M(x,y),

(x-1)2+y2x2+y2-2x+l

II2x2+y2+4x+4_8x+4

将圆C的方程V+/=4x代入得M途N‘

x?+—2x+12x+1

所以局\MN\=2'故选C.

点睛：已知直线方程/：At+为+C=0,和圆的方程C:(x—a了+⑶―⑨2=/，且设圆心(久切

到直线/的距离为d,则d<ro直线与圆相交；d=r。直线与圆相交.

6.设P为直线3x—4y+13=0上的动点，PA,依为圆C:(x—2y+(y—=1的两条切线，人、

3为切点，则四边形AP3C面积的最小值为()

A.V2B.2V2c.VwD.2M

【答案】B

【解析】

【分析】

作出图形，求得|PA|的最小值，进而可求得四边形APfiC面积的最小值.

【详解】

如下图所示：

易知圆心。(2,1),圆的半径为1，由圆的几何性质可得AC，44,

由勾股定理得|PA|=J|PCf一1,当怛。取最小值时，|PA|最小，

|3x2-4xl+13|

\PC\的最小值为点C到直线3x—4y+13=0的距离d=5.一=3

=A/32-1=2A/2,

:.\IPA\Imi.n

由切线长定理得Q4=PB，又AC=6C,PC=PC,.•.△B4cM△PBC,

所以，四边形APBC面积S=2s滓=2X||PA|X1>2A/2.

故选:B.

【点睛】

本题考查两切线围成的四边形面积最值的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

221Q

7.已知B，B是椭圆C：土+4=1的左、右焦点，离心率为二，点A的坐标为(1,—)，则/KA色

4厅22

的平分线所在直线的斜率为()

A.2B,1C.73D.72

【答案】A

【解析】

【分析】

由题得：片=4,结合e=g得出椭圆方程，根据角平分线的性质，过点片作角平分线的对称点尸,

由中点坐标公式求出F］F的中点Q,即可求得的平分线所在直线的斜率.

【详解】

2*4222

由题可知：/=4，c=a-b=4-Z?，

已知e=—,则e2=t=LL=L,得出廿=3，

2a244

22

所以椭圆方程为：—+^=1.

43

焦点耳(—1,0),与(1,0)而即：AF21X^.\AF2\=^,

又因为：|秋|=|A阊=2a=4得恒用=*

设：Nf；A层的角平分线所在直线为/,

则点入关于/的对称的点为

所以：R在人工的延长线上，但|AF|=|A用=}则但闾=1

所以：网-)

设耳厂的中点为Q,有。［。，―；］,

3

得出AQ所在直线的斜率，2

kAQ=~=2'

即ZFtAF2的平分线所在直线的斜率为2.

本题主要考查椭圆的标准方程，利用了椭圆的几何性质、离心率和角平分线的性质，以及中点坐标

公式和斜率公式相结合.

22

8.已知月，产2分别为双曲线C：,—当=1的左，右焦点，过点工的直线与双曲线C的右支交于

ab

A,B两点,设点H%，%)，G(XG，〉G)分别为△"$△即8的内心,若|%|=3|%|，则

双曲线离心率的取值范围为()

A.[2,+00)B.(1,V2]C.(1,2]D.(1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得人片-4鸟=可口-芈，即5=a,同理可得

xG=a,从而可得4心，再由血|=3仅G|，可得FH=3FG,设直线A3的倾斜角为氏

在即△KFG和放△心切中，分别将“，EG用。表示代入即可求出直线的斜率，再结合

直线A6与双曲线右支交于两点，即可求出一＜3，进而可求出离心率的取值范围.

a

【详解】

不妨设直线的斜率大于0.如图：

连接HG.HF2,GF2,设△△月月的内切圆与三边分别切于点。，E，F，则

人耳―Ag=(AE+Eg)=D「—Eg=片/—

所以2a=c+5一（。一%）,即x“=a,同理可得加=。，所以心,

00

设直线A5的倾斜角为8,在口尸G中，FG=FF2tan-=（c-a）tan-,

71—0710

在Rt/\FFH中，FH=FF(〃

22tan---=(?-)•tan~2~2

又W=3仅G|，所以FH=3FG,

gp(c-a)tan=3(c-a)tan—,解得tan—=，

23

ce

2tan—

所以tan9=--------%=布，即直线A3的斜率为6,

1-tan2—

2

由题意，直线与双曲线右支交于两点，故

a

【点睛】

本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.

二、多选题

9.如图四棱锥尸-A5CD,平面上M>J_平面ABC。，侧面上4D是边长为2#的正三角形，底

面ABC。为矩形，CD=2日点。是的中点，则下列结论正确的是（）

尸

A.CQ，平面上4D

B.PC与平面AQC所成角的余弦值为逑

3

C.三棱锥3-AC。的体积为6虚

D.四棱锥Q-A5C。外接球的内接正四面体的表面积为24月

【答案】BD

【解析】

【分析】

取A。的中点。，的中点E，连接OE,OP,则由已知可得。尸，平面ABCD,而底面ABCD

为矩形，所以以。为坐标原点，分别以OD,OE,OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系，利用空间向量依次求解即可.

【详解】

解：取A。的中点。，8c的中点E，连接OE,OP,

因为三角形为等边三角形，所以OPLAD,

因为平面上40,平面ABCD,所以OPL平面ABCD,

因为所以OD,OE,OP两两垂直，

所以，如下图，以。为坐标原点，分别以0。,02。尸所在的直线为》轴，V轴，z轴,

建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),D(#,0,0),A(—JG,0,0),

P(0,0,3y/2),C(A/6,273,0),B(-y/6,2A0),

因为点。是尸。的中点，所以。(日,0,半)，

平面上4D的一个法向量为根=(0,1,0)，

,显然m与QC不共线,

所以。。与平面B4D不垂直，所以A不正确;

PC=（瓜2省,-30）,AQ=（当,0,孚）,AC=（2瓜26,0），

设平面AQC的法向量为〃=（x,y,z）,则

一.八376342

n-AQ=-----xH--------z=。n

<22,

n-AC=2A/6X+2布y=0

令x=l,则y=-0,z=-6，

所以〃=（1,—0,一百），

设PC与平面AQC所成角为e,

ruun

n-PC276_1

则sin0=

6A/63

所以COS6=R2,所以B正确;

3

三棱锥5—ACQ的体积为

VB-ACQ=%-ABC=gS..,gOP

=ix-x2^x2V6x-x3V2=6,

322

所以C不正确；

设四棱锥Q—A3CD外接球的球心为V（0,、Q,a），则MQ=MD,

解得«=0,即M(0,0,0)为矩形A3CD对角线的交点，

所以四棱锥Q-ABCD外接球的半径为3,

设四棱锥Q-A3CD外接球的内接正四面体的棱长为x,

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线,

故正方体的棱长为叱》,所以362,得J=24,

2

所以正四面体的表面积为4x^x2=24百，所以D正确.

4

故选：BD

【点睛】

此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属

于较难题.

10.如图，正三棱柱ABC—4旦。中，BCX1ABt,点。为AC中点，点E为四边形5。。由内

（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）

A.DA=1（741A-JB1A+BC）

B.若DE〃平面A5与4,则动点E的轨迹的长度等于巫AC

2

C.异面直线AO与8G，所成角的余弦值为亚

6

D.若点E到平面ACG4的距离等于且EB,则动点E的轨迹为抛物线的一部分

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.

【详解】

解析：对于选项A,=—4A+3C）,选项A错误;

对于选项B,过点D作A4的平行线交AG于点2.

以。为坐标原点，DA,DB,DD[分别为K%z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

设棱柱底面边长为。，侧棱长为力,则A^.O.OjB]b,G[—,0,b

I2J12

~.八〃faV3八…（a6

所以BC]=——,—~a^，AB[=——-

2222

：.BCrAB1=0,

即------CL+/=0,解得b=*a.

12J2

阿1=受a.选项B正确.

因为〃平面A8与A，则动点E的轨迹的长度等于

/3〕

对于选项C,在选项A的基础上，—,0,0j,Bo,0,Z）（0,0,0）,G——,0,----a

2

7）

所以D4=5,0,0,3G=15,一耳。，耳。）

2

BC]DA=-%所以异面直线叫冲所成角的余弦值

因为cos<Bq,DA>=1_

I||DA|a2

为逅，选项C正确.

6

对于选项D,设点E在底面ABC的射影为E1,作血/垂直于AC,垂足为F,若点E到平面ACQA

的距离等于立EB,即有=仍，又因为在ACE1产中，E1F=—E1C，得EB=E1C,

222

其中E1C等于点E到直线CC1的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形3CG4内（包

含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.

11.以下四个命题表述正确的是()

A.直线(3+加卜+4丁-3+3机=0(机62恒过定点(-3,-3)

B.已知圆。：/+丁2=4,点P为直线5+5=1上一动点，过点尸向圆C引两条切线协、PB,4、

B为切点,则直线A3经过定点(1,2)

C.曲线G；/+V+2x=0与曲线。2；/+V-4x-8y+机=0恰有三条公切线，则加=4

D.圆式+/=4上存在4个点到直线l:x-y+s/2=0的距离都等于1

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出.直线恒过定点(-3,3),判断A错误；求出直

线方程制X-£+2〉-4=0,判断直线经过定点(L2),3正确；根据两圆外切，二条公切线，

可得C正确；根据圆心(0,0)到直线l:x-y+0=O的距离等于1,判断。错误.

【详解】

对于A，直线方程可化为机(％+3)+3x+4y—3=0,令x+3=0,则3x+4y—3=0,x=-3,

>=3,所以直线恒过定点(—3,3),4错误；

m»7

对于3,设点尸的坐标为(私”)，所以，-+以。尸为直径的圆的方程为f+y2TM-“y=o,

两圆的方程作差得直线A3的方程为：阳+〃y=4,消去"得，%(尤-/+2y-4=0,

令x-g=0,2j-4=0,解得x=l,y=2,故直线A3经过定点(1,2),3正确；

对于C,根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线G.•/+丁2+2%=。化为标准式得,

(x+l)2+y2=1

曲线C2:/一4x-8y+m=0化为标准式得，（了一2）2+（y-4了=20-m>0

所以，圆心距为5,因为有三条公切线，所以两圆外切，即1+而二而=5,解得加=4,C正确；

对于。，因为圆心（0,0）到直线l:x-y+女=0的距离等于1,所以直线与圆相交，而圆的半径为2,

故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线

l:x-y+后=0的距离等于1,。错误；

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题.

22

12.已知点尸是双曲线E:土-匕=1的右支上一点，耳耳双曲线E的左、右焦点，△尸打鸟的面

169

积为20,则下列说法正确的有（）

onQH

A.点尸的横坐标为§B.的周长为三

TT3

C./与2工小于gD.鸟的内切圆半径为3

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

在焦点三角形中利用S两&=5.2c|y/=—O=因三种表达形式，可判定ACZ）选项正

tan—

2

确，由两点间的距离公式表示归闾，利用双曲线的定义表示|尸£|,从而表示鸟的周长，即

可判定3选项正确.

【详解】

22________

因为双曲线E:二匕=1,所以c=J16+9=5

169

又因为S"向=g-2c|yJ=g-10-|y/=20,所以|力|=4

Y~丫2尤24220

将其代入E:二—匕=1得二—t=1,即》=一，所以选项A正确；

1691693

所以P的坐标为6,±4）由对称性可知|*手―5+42=~,

1337

由双曲线定义可知|P周=|和|+24=《+8=可

1337co

所以C"心=|P^|+|P^|+2c=y+y+10=y,所以选项8正确;

b29r-

q---7T=----7\—20由a09v37i

因为「"200f所以tan———<——tan—，

tan-tan-22036

即,〈工，所以/耳尸月=。(工，所以选项c正确;

26123

11QA3

因为•一=20,所以r=一,所以选项。正确.

SrMriFr2=n--r-CPrrFirF2=n--ro)

故选：ABCD

【点睛】

本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.

三、填空题

13.在y轴上的截距为-6,且与y轴的夹角为30。的直线方程是.

【答案】＞=氐_6或＞=_岛_6

【解析】

试题分析:因为与y轴相交成30。角，所以直线的倾斜角为60。或120。，所以直线的斜率为6或-6,

所以又与y轴上的截距为一6,所以直线方程为＞=0x-6或丁=-氐-6.

考点：直线的方程

14.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分

线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心

到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知AABC的顶

点B(-l,0),C(0,3),AB=AC,则AABC的欧拉线方程为

【答案】x+3y-4=0

【解析】

【分析】

因为AB=AC,所以AABC外心，重心，乖心都位于线段的垂宜平分线上，由两直线垂直斜

率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出的中点

坐标，最后由点斜式写出方程.

【详解】

因为AB=AC,所以AABC外心，重心，垂心都位于线段的垂直平分线上

设线段5C的垂直平分线的斜率为左，则左x左.=-1

k3-0=3,:.k=-L

ZBC

0-(-1)3

又因为BC的中点坐标为

311

所以A4BC的欧拉线方程为y—a=—3口+万），即龙+3y-4=0

故答案为：x+3y—4=0

【点睛】

本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.

15.如图，抛物线。：丁=20%（。＞0）的焦点为R，准线4与*轴交于点M，过〃点且斜率为左

的直线/与抛物线C交于第一象限内的A,3两点，若贝（JcosNAEB=.

【解析】

【分析】

过点4作AE，/。，垂足为点E,抛物线的定义知|AE|=|”|,在RtZVU"中，利用题干条件和

333

三角函数可得tanNMAE1=—，sinZAFN=—,同理可得sin/BEr=—,由

444

cosZAFB=cos（7T-2ZAFN）即可得出答案.

【详解】

如图所示，过点A作AE，/°，垂足为点E.

由抛物线的定义知|4同=|人/|,

在RtAAME中,

-：\AM\=^\AF\,：.cosZMAE=|,

3

tanZMAE=—.

4

过点人作AN，％轴，垂足为点N,

EANEM/…L3

则sinZAFN==----=tan/MAE=—,

AFAE4

3

同理得sinNBBc=—,

4

...cosZAFB=cos（乃—2/AFN）=2sin2ZAFN-1=1.

故答案为：-

8

【点睛】

本题考查了抛物线的定义、直角三角形的边角关系、三角函数、直线的斜率等基础知识与基本技能

方法的综合应用，属于中档题.

22

16.已知月，B分别为双曲线亍-齐=1（。〉0力〉0）的左、右焦点，以百耳为直径的圆与双曲

线在第一象限和第三象限的交点分别为"，N,设四边形耳转〃的周长为夕，面积为S,且满

足32S=P2,则该双曲线的离心率为.

【答案】国

2

【解析】

【分析】

本题首先可根据题意绘出图像并设出M点坐标为“（玉,％）,然后通过圆与双曲线的对称性得出

=SmBN，再根据“点M（玉,％）即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出V1=—,然后

C

根据图像以及32s="可得s=202和p=8b,接下来利用双曲线定义得出M4=2b+a以及

MF2=2b-a,最后根据〃耳2+班2=耳玛2并通过化简求值即可得出结果。

如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设

由圆与双曲线的对称性可知，点M与点N关于原点对称，所以Sm&"=5巧&心

因为圆是以耳区为直径，所以圆的半径为。，

「22

工』=1

2

因为点"（石，x）在圆上，也在双曲线上，所以有d/b,

222

K+v=c-

22

联立化简可得》2（。2-靖）-。2靖=ab,整理得62c2-42,2=人2y2+/%2,

1,2

4222

b=cyi,»=幺，所以S=2S邙E〃=2C?X2b,

c

因为32s=02,所以夕？=64廿，p=8b,

因为P=MR+MF、+NF1+NE,=21MF[+MF,,所以A/片+加工=46,

MF,+MF,=4b

因为A/片-A/8=2。，联立《可得A/G=2b+〃，MF2-lb-a,

'-~MF2=2a一

因为EK为圆的直径，所以*2+/招2=耳心2,

即(2Z?+a『+(2匕-=4<?,8b2+2a2=4c2>4b2+a2=2c2，

4c2-4a2+a~=2c2>2c2=3a2>;=?,所以离心率e=£=^^。

a22a2

【点睛】

本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵

活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题。

四、解答题

17.如图，四棱锥S—的底面是正方形，即，平面4BCD,SD=2a,AD=叵a苴E是SD

上的点，且。E=4a(0<4<2)

(1)求证：对任意的Xw(0,2],都有

(2)设二面角CTE—O的大小为6»,直线BE与平面ABC。所成的角为9,若sino=cos。，

求彳的值

【答案】(1)证明见解析；(2)0.

【解析】

【分析】

(1)以。为原点，£>AOC,OS的方向分别作为尤，》z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出

AC,BE,证明AC.BE=0即可；

(2)利用向量法表示出sin。,cos。，即可建立方程求解.

【详解】

(1)证法：以。为原点，的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系,

则D(0,0,0),A(0a,0,0),B®a,插a,0),C(0,缶,0),E(0,0,Aa),

AC=(—y/2ct,A/24Z,0),BE=(--x/zicz,—y/2,ci,Act)

•■AC-BE=2a2—2a?+0-Act=0,

即AC±BE；

(2)由(1)得£A=(0a,O,—几。),石。=(0,缶,—％a),BE=(—"z,—缶,/la).

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由〃_LEA,n_LEC得

n-EA=0yflx-^z-0

,即《

n,EC=042y-Az=0

取z=V^，^n=(2,7l,^/2)•

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为DS=(0,0,2a)与

2

DC=(0,0a,0)sincp=弋产=,cos9=J"："=间.

3\DS\.\BE\\Dc\.\n\7^2

XA

sin(b=cos0,即/==/-----=2.

“2+4，2%+2

由于丸e(0,2],解得彳=0,即为所求.

【点睛】

本题考查空间直线垂直的证明，考查空间角的求解，属于中档题.

18.如图1,在边长为2的菱形ABC。中，ZJB4D=60°,DELAB于点E,将AAT石沿。石折起

到AA|DE的位置，使a。，BE,如图2.

D

(1)求证：AE，平面3CDE；

BP

(2)在线段6。上是否存在点P,使平面AEP，平面A3。？若存在，求而的值；若不存在,

说明理由.

BP1

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，且二=:

BD4

【解析】

【分析】

(1)^DIBE,EDLBE,由线面垂直的判定定理得到班1平血4。石，从而有BE^AE，又

\EVDE,再由线面垂直的判定定理证明。

(2)假设在线段5。上是否存在点P，使平面AEP，平面Af。，根据(1)建立空间直角坐标系,

设尸(无,y,z),8P=ZBD(0W44l),则(x-l,y,z)=从一1,也,0),所以41一尢四,0),若使平面

AEP，平面A0。，分别求得两个平面的法向量，再通过两个法向量数量积为零求解.

【详解】

(1)证明：因为于点E，

所以AE^OE，

A^DIBE,EDLBE,且打小”=。，

3£1平面4。七，

BE1A.EBEcDE=E,

4EL平面5CDE.

(2)假设在线段5。上是否存在点尸，使平面AEP，平面450.

根据(1)建立如图所示空间直角坐标系:

图2

则5（1,0,0）,D（0,Ao）,A（0,0,1）,AB=（1,0-1）,415=（o,A-i）,

设P（x,y,z）,BP=ABD^Q<2<1）,

则（%-1,%2）=/1（-1,也,0）,所以P（1-2,A/3A,0）,

所以吗=（0,0,1）,9=（1_4后,0）,

设平面AEP一个法向量为："2=（七,%,zj,

m-5=。，即Z1=0

则《

m-EP=Q（T）%+后%=0，

令玉=A/3/1,yx=A-1,所以机=-1,0）,

设平面48。一个法向量为：n=（x2,y2,z2）,

n,A.B-02二0

则《―,即

=

n-\D-0—z20

令%=I*?=%=百，所以〃=,

因为平面4石尸，平面AB。，

所以777•〃=0，即32+2—1=0,

解得X=J.

4

所以在线段上是否存在点P，使平面4EP，平面入出。，且黑=〈

BD4

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定定理和面面垂直问题，还考查了逻辑推理，探究问题的能力，属于

中档题.

19.对于半径为厂的P及一个正方形给出如下定义：若P上存在到此正方形四条边距离都相等

的点，则称P是该正方形的“等距圆”。如图1,在平面直角坐标系xQy中，正方形ABC。的顶点

A的坐标为（2,4）,顶点C、。在x轴上，且点。在点。的左侧.

(1)当r=40时，已知两点6(0,-3),6(4,6),则可以成为正方形ABC。的“等距圆”的圆心

的是；

(2)如图2,在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点R的坐标为(6,

2),顶点E,H在>轴上，且点H在点E的上方.若P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且P

与所在直线相切，求圆心P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将正方形ABC。绕着点。旋转一周，在旋转的过程中，线段HG上没有

一个点能成为它的“等距圆”的圆心，写出厂的取值范围.(不必说明理由)

【答案】⑴⑵(5+2］，-2君)或(5-2日,2百)；(3)0<10或r>2&7+20.

【解析】

【分析】

(1)连接AC和BD，交于点A1，设。尸的圆心坐标是(x，y),列出圆心到M的关系式，把

6(0,—3),舄(4,6)代入，看是否成立即可得出结果；

(2)先求出为等腰直角三角形，得到乙(0,5),进而得出△LOW为等腰直角三角形，设

P(p,-p+5)据关系列出方程，即可求出圆心的坐标；

(3)连接£归，作。于点T，以。为圆心，。石为半径作圆，交。T于点耳，交印)的

延长线于后2,作图，可知当。<厂<。7-。与时和当时，线段HG上没有一个点能成为它的

“等距圆”的圆心.

【详解】

解：(1)连接AC和BD,交于点”，如图1所示：

V四边形ABCD是正方形，

.•.闻到正方形ABCD四条边距离都相等，

eP一定通过点"，

VA(2,4),-.M(0,2)

设。P的圆心坐标是(x,y),

;.r=4友时，…+(丫-2)2=(4忘)2,

即：丁+(＞一2)2=32,

把々(0,—3),2(4,6)代入，鸟成立，

二可以成为正方形A3CD的“等距圆”的圆心的是巴，

故答案为：鸟；

(2)如图